Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/35/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 5 3 2 6 5 5 7 3 5 3 4 4 3 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Vereinigung der Mengen und .
  2. Eine streng wachsende Funktion .
  3. Eine Cauchy-Folge in .
  4. Die Differenzierbarkeit einer Abbildung
    in einem Punkt .
  5. Eine Stammfunktion zu einer Funktion .
  6. Eine Basis eines -Vektorraums .


Lösung

  1. Die Menge

    heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

  2. Die Funktion

    heißt streng wachsend, wenn

  3. Eine reelle Folge heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  4. Die Funktion heißt differenzierbar in , wenn der Limes

    existiert.

  5. Eine Funktion heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.
  6. Eine Familie , , von Vektoren in heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Konvergenz und Beschränktheit von Folgen.
  2. Das Ableitungskriterium für konstante Funktionen.
  3. Der Satz über die Eigenschaft der Determinante, alternierend zu sein (mit Erläuterung).


Lösung

  1. Eine konvergente reelle Folge ist beschränkt.
  2. Sei

    eine differenzierbare Funktion mit für alle .

    Dann ist konstant.
  3. Es sei ein Körper und . Dann ist die Determinante

    alternierend. D.h. wenn in zwei Zeilen übereinstimmen, so ist

    .


Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

  1. Löse das folgende Minisudoku
  2. Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
  3. Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?


Lösung

  1. Wir gehen von

    aus. In der dritten Stelle der zweiten Zeile muss eine sein und somit muss rechts oben eine stehen. Dies ergibt

    An der vierten Stelle der dritten Zeile muss eine stehen. In der vierten Zeile muss an der dritten Stelle eine und somit in der vierten Zeile an der ersten Stelle eine stehen. Dies ergibt

    Dies erzwingt

    An der zweiten Stelle der ersten Zeile muss eine stehen, dies ergibt dann die eindeutige Lösung

    1. Direkter Beweis: Durch Betrachten der schon gefundenen Zahlen erschließt man, welche Zahl in ein bestimmtes Feld gesetzt werden muss.
    2. Beweis durch Fallunterscheidung: Man weiß, dass in einem gewissen Feld nur noch zwei Zahlen, sagen wir oder möglich sind. Wenn man nun in beiden Fällen, dass es sich um oder um handelt, jeweils erschließen kann, dass in einem bestimmten anderen Feld die Zahl stehen muss, so steht diese Zahl fest.
    3. Beweis durch Widerspruch: Man weiß, dass in einem gewissen Feld nur noch zwei Zahlen, sagen wir oder möglich sind. Man nimmt nun an, dass es sich um handelt. Wenn man nun erschließen kann, dass sich daraus an irgendeiner Stelle ein Widerspruch ergibt, so kann die Belegung durch nicht gelten und ist richtig.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien Mengen. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

  1. .
  2. .


Lösung

Von (1) nach (2). Es gelte also und es ist zu zeigen. Sei also . Das bedeutet und . Nach Voraussetzung (1) gilt wegen auch und wegen gilt .

Von (2) nach (1). Es gelte also und es ist zu zeigen. Sei also . Wir machen eine Fallunterscheidung. Bei ist auch . Bei gilt wegen zunächst und daher wegen der Voraussetzung auch , also wieder .

Die Äquivalenz von (1) und (3) ergibt sich genauso mit vertauschten Rollen von und .


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne


Lösung

Es ist


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Wir betrachten eine Rekursionsvorschrift, die zu einen Zahlendreieck (analog zum Pascalschen Dreieck) führt. In der ersten Zeile steht zentral die , links und rechts davon stehen unendlich viele (die nicht aufgeführt werden müssen). Die jeweils nächste Zeile entsteht, indem man von zwei benachbarten Zahlen der Vorgängerzeile das geometrische Mittel nimmt und das Ergebnis darunter in der neuen Zeile platziert.

  1. Bestimme die ersten Zeilen dieses Zahlendreiecks, bis sämtliche Einträge kleiner als sind.
  2. Welche Eigenschaft gilt in jeder Zeile? Warum?


Lösung

  1. Es ergibt sich das folgende Schema.

    Wegen

    sind wir fertig.

  2. In jeder Zeile ist das Produkt über alle Zahlen gleich . Dies beweist man durch Induktion über den Zeilenindex. In der Startzeile ist das richtig (die nicht hingeschriebenen Zahlen sind ). Sei also das Produkt der Zahlen in einer Zeile gleich . Jede Zahl dieser Zeile geht zweifach in die folgende Zeile ein, einmal als Beitrag zum geometrischen Mittel mit der linken Zahl und einmal als Beitrag zum geometrischen Mittel mit der rechten Zahl. Dabei geht wegen jeweils die Quadratwurzel ein. Das Gesamtprodukt bleibt dabei erhalten.


Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

  1. Es sei ein Polynom über einem Körper der Form

    mit und . Zeige, dass die als einzige Nullstelle besitzt.

  2. Es sei ein Polynom mit der Eigenschaft, dass die einzige komplexe Nullstelle von ist. Zeige, dass die Form

    mit und hat.

  3. Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom mit der Eigenschaft, dass die einzige reelle Nullstelle von ist, dass aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.


Lösung

  1. Die angegebenen Polynome haben die gewünschte Eigenschaft über jedem Körper nach [[Körper/Integritätsbereich/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Körper/Integritätsbereich/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))]]. Aus folgt zunächst und daraus .
  2. Es sei ein Polynom mit der angegebenen Nullstelleneigenschaft. Wenn konstant ist, so besitzt bei jedes Element als Nullstelle und bei überhaupt keine Nullstelle. Der Grad von muss also zumindest sein. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt eine Faktorzerlegung

    mit . Die sind die Nullstellen von . Da diese alle sein sollen, ist

  3. Wir betrachten

    das nicht die Form aus Teil (1) besitzt. Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die Nullstelle eines Faktors. Das Polynom ist reell immer positiv und somit nullstellenfrei, also ist die einzige Nullstelle von .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine reelle Folge und sei ein Element mit . Es gebe ein derart, dass

gelte für alle . Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.


Lösung

Die Eigenschaft, eine Cauchy-Folge zu sein, ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder der Folge abändert. Wir können also annehmen, dass

für alle gilt. Für gilt

Der rechte Faktor ist dabei (endliche geometrische Reihe) gleich . Wegen ist der Nenner wohldefiniert und ist , also kann man diesen Faktor nach oben durch abschätzen. Insgesamt haben wir also

Nach Aufgabe 8.22 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist eine Nullfolge und dies gilt auch für , da man ja mit einer festen Zahl multipliziert. Zum Nachweis, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, sei ein gegeben. Dann gibt es ein mit für und somit gilt für alle die Abschätzung


Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

Es sei und . Wir betrachten die Hintereinanderschaltung .

  1. Berechne (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
  2. Berechne die Ableitung von mit Hilfe von Teil 1.
  3. Berechne die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel.


Lösung

  1. Es ist
  2. Die Ableitung von ist nach der Quotientenregel gleich
  3. Es ist

    und

    Gemäß der Kettenregel ist somit


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich

ist.


Lösung

Die Aussage ist für richtig. Als Induktionsvoraussetzung können wir

annehmen. Dann ist

was die Aussage für bedeutet.


Aufgabe (5 Punkte)

Ein Dreieck soll die Grundseite und die Höhe besitzen (). Für welchen Höhenfußpunkt besitzt das Dreieck einen minimalen Umfang, und wie lange ist dieser?


Lösung

Wenn der (neben und ) dritte Eckpunkt des Dreieckes ist, so ist der Umfang gleich

Wir müssen also die Funktion

minimieren. Da positiv ist, ist diese Funktion differenzierbar, und zwar ist

Die Bedingung führt auf

bzw. auf

Quadrieren führt auf

und dies auf

und somit ist

und daher (der Fall ist ausgeschlossen)

und somit

Dies muss ein Minimum sein, da für der Umfang gegen strebt. Der minimale Umfang ist daher


Aufgabe (3 Punkte)

Begründe den Zusammenhang

für allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.


Lösung

Wir betrachten die Substitution

bzw.

Aus den Grenzen und werden dabei die Grenzen und und es gilt

Somit ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?


Lösung

Wegen

für alle ist das Nulltupel eine Lösung. Es seien und Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu ist dann für jedes

Entsprechend ist

für alle . Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.

Der Gesamtlösungsraum ist der Durchschnitt der Lösungsräume zu den einzelnen Gleichungen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Lösung

Es geht um das lineare Gleichungssystem

Es ist I+2III gleich

und II+III ist gleich

Es ist -IV+12 V gleich

Also kann man frei vorgeben und es ist

Der Kern ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und seien Elemente in . Zeige, dass

ist.


Lösung

Sei . Dann ist

Also ist

woraus wegen direkt folgt.