Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/46/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 3 3 1 2 2 5 3 3 5 3 5 3 3 2 4 1 9 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein angeordneter Körper.
  2. Die absolute Konvergenz einer reellen Reihe .
  3. Eine ungerade Funktion .
  4. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  5. Ein Erzeugendensystem eines -Vektorraumes .
  6. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .


Lösung

  1. Ein Körper heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von eine Beziehung („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt ( bedeutet oder ).
    1. Für je zwei Elemente gilt entweder oder oder .
    2. Aus und folgt (für beliebige ).
    3. Aus folgt (für beliebige ).
    4. Aus und folgt (für beliebige ).
  2. Die Reihe

    heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

    konvergiert.

  3. Eine Funktion heißt ungerade, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.

  4. Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Obersummen von oberen Treppenfunktionen von .
  5. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem von , wenn man jeden Vektor als Linearkombination der darstellen kann.
  6. Man nennt

    den Kern von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Regel für die Konvergenz der inversen Folge einer reellen Folge.
  2. Die Periodizätseigenschaften für Sinus und Kosinus (ohne spezielle Werte).
  3. Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.


Lösung

  1. Es sei eine konvergente Folge in mit dem Grenzwert und mit für alle . Dann ist ebenfalls konvergent mit
  2. Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in folgende Periodizitätseigenschaften.
    1. Es ist und für alle .
    2. Es ist und für alle .
    3. Es ist und für alle .
  3. Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei , , eine Basis von und es seien , , Elemente in . Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
    mit


Aufgabe (1 Punkt)

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.

Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?

  1. Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
  2. Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
  3. Linda engagiert sich bei Attac.


Lösung

(2) ist am unwahrscheinlichsten. Dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreffen ist stets unwahrscheinlicher als die beiden einzelnen Ereignisse.


Aufgabe (3 Punkte)

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung

auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.


Lösung

Die Bedingungen sind:

Für jedes

ist die Abbildung

bijektiv.

Für jedes

ist die Abbildung

bijektiv.

Für jedes Paar

ist die Abbildung

bijektiv.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Lösung

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir . Man betrachtet die Zahl

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen teilbar, da bei Division von durch immer ein Rest verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von , die es nach Satz 2.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Funktion


Lösung Gaußklammer/Minus innen und außen/Skizze/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die Gleichung


Lösung

Auf der einen Seite ist

und

die Summe daraus ist . Auf der anderen Seite ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion


Lösung

Wir schreiben

Daher ist die durch gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne


Lösung

Um die Brüche wegzukriegen, multiplizieren wir den Term mit und erhalten

Es ist

und

Deren Produkt ist

und die Koeffizienten sind

und

Der lineare Term hebt sich weg und somit ist der Gesamtausdruck gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Konzept „Approximation“ anhand typischer Beispiele.


Lösung Approximation/Erläuterung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Für kann man die Folge (durch Erweiterung mit ) als

schreiben. Folgen vom Typ und sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen und der Nenner gegen , so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen konvergiert.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine Teilmenge,

eine Funktion und . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist stetig im Punkt .
  2. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent.


Lösung

Aufgrund des Folgenkriteriums müssen wir zeigen, dass wenn (2) erfüllt ist, dass dann der Grenzwert stets der Funktionswert des Grenzwertes ist. Sei also eine Folge in , die gegen konvergiert. Die Bildfolge konvergiert nach Voraussetzung, sagen wir gegen . Wir müssen zeigen. Wir betrachten dann die Folge

Diese Folge konvergiert offenbar gegen , deshalb muss nach Voraussetzung auch die Bildfolge konvergieren, sagen wir gegen . Jede Teilfolge davon muss ebenfalls gegen konvergieren. Die Teilfolge, die durch die ungeraden Folgenglieder gegeben ist, ist , und diese konvergiert gegen . Also ist . Die Teilfolge, die durch die geraden Folgenglieder gegeben ist, ist die konstante Folge , die gegen konvergiert. Also ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel

mit Hilfe von


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


Lösung

Die Aussage

folgt aus Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)). Wir betrachten die Hilfsfunktion

Es ist

Also ist und Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) liefert die Existenz eines mit

Umstellen ergibt die Behauptung.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Polynom vom Grad und . Zeige unter Verwendung der Taylor-Formel, dass das Taylor-Polynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt mit übereinstimmt.


Lösung

Zu jedem gibt es aufgrund der Taylor-Formel ein mit

wobei der linke Summand das Taylor-Polynom vom Grad ist. Da den Grad besitzt, ist aber die -te Ableitung davon . Daher fällt der rechte Summand weg und stimmt mit dem -ten Taylor-Polynom überein.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von


Lösung

Man kann für jeden Summanden einzeln direkt eine Stammfunktion angeben, insgesamt ist

eine Stammfunktion.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

mit . Zeige durch Induktion, dass

ist.


Lösung

Für

ist die Aussage klar. Sei die Aussage für bewiesen. Dann ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Bestimme die Anzahl der nicht invertierbaren -Matrizen über .


Lösung

Die -Matrizen haben die Form

mit . Die Eigenschaft, nicht invertierbar zu sein, kann man mit der Determinante durch die Bedingung

ausdrücken. Wenn ist, so muss oder sein. Im ersten Fall gibt es für und jeweils Möglichkeiten. Im zweiten Fall gibt es für und ebenfalls jeweils Möglichkeiten, allerdings darf man nicht doppelt zählen. Somit erhalten wir bei insgesamt Möglichkeiten. Sei also . Dann gilt

d.h. ist durch die drei anderen Belegungen eindeutig bestimmt. Von dieser Art gibt es Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

nichtinvertierbare -Matrizen.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Determinante zur Matrix


Lösung

Die Summe der ersten und der vierten und die Summe der zweiten und der fünften Zeile ergeben jeweils , daher liegt eine lineare Abhängigkeit vor und die Determinante ist .


Aufgabe (9 (2+3+4) Punkte)

Wir betrachten die reelle Matrix

a) Bestimme

für .

b) Sei

Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen und und Rekursionsformeln für diese Folgen.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu .


Lösung

Es ist

b) Wir behaupten

und die rekursive Beziehung

mit den Anfangsbedingungen und . Beides beweisen wir durch Induktion über , wobei der Induktionsanfang klar ist. Wegen

ist

und

c) Das charakteristische Polynom zu ist

Somit sind

die Nullstellen und nach Satz 28.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) die Eigenwerte von . Der Kern zu

wird von

und der Kern zu

wird von

erzeugt. Die Eigenvektoren sind also

und