Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/53/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 2 4 2 3 2 4 2 3 3 3 5 4 3 2 5 3 4 1 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine wachsende Funktion .
  2. Die geometrische Reihe für .
  3. Ein lokales Maximum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .

  4. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .
  6. Die Determinante einer -Matrix .


Lösung

  1. Die Funktion

    heißt wachsend, wenn

  2. Die Reihe
    heißt die geometrische Reihe in .
  3. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.

  4. Das Polynom

    heißt das Taylor-Polynom vom Grad zu in .

  5. Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung

    nur bei für alle möglich ist.

  6. Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
  2. Die Taylor-Abschätzung.
  3. Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten -Vektorraum .


Lösung

  1. Es sei ein Intervall und

    eine stetige,streng wachsende Funktion. Dann ist das Bild ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung

    ist ebenfalls stetig.
  2. Es sei ein beschränktes abgeschlossenes Intervall,

    eine -mal stetig differenzierbare Funktion, ein innerer Punkt und . Dann gilt zwischen und dem -ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung

  3. Unter den gegebenen Bedingungen besitzt eine endliche Basis.


Aufgabe (2 Punkte)

Mercedes Benz Atego 1624 container truck.JPG

Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?


Lösung

  1. Leere Mulde auf dem Straßenplatz abladen.
  2. Volle Mulde auf Fahrzeug hochladen.
  3. Volle Mulde auf dem Straßenplatz abladen.
  4. Leere Mulde auf Fahrzeug hochladen.
  5. Leere Mulde auf den Garagenvorplatz abladen.
  6. Volle Mulde auf Fahrzeug hochladen.

Es sind also sechs Ladevorgänge nötig.


Aufgabe (4 Punkte)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das nacheinander die Fibonacci-Zahlen (also ) ausdruckt.

    • Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.
    • Er kann einen Speicherinhalt in einen Speicher schreiben.
    • Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen Speicher schreiben.
    • Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
    • Es gibt einen Haltebefehl.

    Die Anfangskonfiguration sei

    Das Programm soll unendlich lange laufen und nacheinander „Die“ „-te Fibonacci-Zahl ist “ ausdrucken.


    Lösung

    1. Schreibe den Speicherinhalt des ersten Speichers in den zweiten Speicher.
    2. Schreibe den Speicherinhalt des ersten Speichers in den vierten Speicher.
    3. Drucke „Die“.
    4. Drucke den Inhalt des zweiten Speichers.
    5. Drucke „te Fibonacci-Zahl ist“.
    6. Drucke den Inhalt des vierten Speichers.
    7. Addiere den Inhalt des ersten Speichers zum Inhalt des zweiten Speichers und schreibe das Ergebnis in den zweiten Speicher.
    8. Addiere den dritten Speicherinhalt mit dem vierten Speicherinhalt und schreibe das Ergebnis in den fünften Speicher.
    9. Schreibe den Inhalt des vierten Speichers in den dritten Speicher.
    10. Schreibe den Inhalt des fünften Speichers in den vierten Speicher.
    11. Gehe zu Befehl 3.


    Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

    Ist die Abbildung

    1. injektiv?
    2. surjektiv?


    Lösung

    1. Wegen

      ist die Abbildung nicht injektiv.

    2. Da alle Quadrate sind, werden negative Zahlen durch die Abbildung nicht erreicht. Die Abbildung ist also nicht surjektiv.


    Aufgabe (3 Punkte)

    Wenn man die Gesamtgoldmenge der Welt auf alle Menschen aufteilt, so erhält jeder Mensch einen Goldwürfel, dessen Seitenlänge Zentimeter beträgt. Gold wiegt Gramm pro Kubikzentimeter. Der Wert von einem Kilogramm Gold beträgt ca Euro im Jahr . Wie viel Euro besitzt jeder Mensch in Gold?


    Lösung

    Es ist

    das ist die Goldmenge pro Person in Kubikzentimetern. In Gramm ist dies

    Ein Gramm ist Euro wert, also besitzt jede Person

    Euro in Gold.


    Aufgabe (2 Punkte)

    Lucy Sonnenschein befindet sich in Position (die Koordinaten seien mit und bezeichnet) und schaut in die positive -Richtung. Alle folgenden Angaben beziehen sich auf ihre jeweilige Position und ihre Ausrichtung, der Uhrzeigersinn bezieht sich auf die Draufsicht. Lucy führt hintereinander folgende Bewegungen aus. Sie macht einen Schritt nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, sie dreht sich um Grad, macht drei Schritte nach links, macht eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn, macht vier Schritte nach rechts und zwei Schritte nach hinten, dreht sich um Grad und macht einen Schritt nach links.

    Wo befindet sie sich nach der Gesamtbewegung und in welche Richtung schaut sie?


    Lösung

    Sie befindet sich in Position und schaut in die positive -Richtung.


    Aufgabe (4 Punkte)

    Bestimme die Lösungsintervalle für die Ungleichung

    in einem angeordneten Körper. Skizziere die Graphen der Funktionen und .


    Lösung

    Entscheidend sind die beiden Grenzen und mit

    Wenn

    ist, so muss man für beide Beträge das Negative nehmen. Dies führt zur Bedingung

    und damit zu

    und zu

    also

    Das Intervall gehört also zur Lösungsmenge. Sei nun

    Dann ist der linke Betrag negativ und der rechte positiv zu nehmen. Dies führt zur Bedingung

    und damit zu

    und zu

    also

    Es ist

    und somit gehört das Intervall zur Lösungsmenge. Sei nun

    Dann sind beide Beträge positiv zu nehmen. Die Bedingung

    führt auf

    was in diesem Fall nicht erfüllbar ist. Die gesamte Lösungsmenge ist also das Intervall


    Aufgabe (2 Punkte)

    Es sei

    Bestimme .


    Lösung

    Es ist


    Aufgabe (3 Punkte)

    Man finde ein Polynom

    mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


    Lösung

    Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

    führt auf

    also

    In eingesetzt ergibt sich

    Das gesuchte Polynom ist also


    Aufgabe (3 Punkte)

    Vergleiche


    Lösung

    Wir fragen uns, ob

    ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

    Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu

    bzw. zu

    Mit erneutem Quadrieren ist dies äquivalent zu

    was stimmt. Also ist


    Aufgabe (3 Punkte)

    Es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Summenfolge ebenfalls konvergent mit

    ist.


    Lösung

    Es seien bzw. die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu

    ein derart, dass für alle die Abschätzung

    gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu ein derart, dass für alle die Abschätzung

    gilt. Sei

    Dann gilt für alle (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung


    Aufgabe (5 Punkte)

    Man gebe explizit ein mit der Eigenschaft an, dass für alle die Abschätzung

    gilt.


    Lösung

    Mit dem allgemeinen binomischen Lehrsatz ist

    Dies soll werden, was man dadurch erreichen kann, dass der Klammerausdruck rechts wird. Dieser Ausdruck ist

    Die Bedingung

    wird zu

    was jedenfalls bei

    erfüllt ist. Man kann also beispielsweise

    nehmen.


    Aufgabe (4 Punkte)

    Beweise den Satz von Rolle.


    Lösung

    Wenn konstant ist, so ist die Aussage richtig. Sei also nicht konstant. Dann gibt es ein mit . Sagen wir, dass größer als dieser Wert ist. Aufgrund von Satz 11.13 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) gibt es ein , wo die Funktion ihr Maximum annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses ist dann nach Satz 15.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)).


    Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

    Wir betrachten das Polynom

    1. Zeige, dass bijektiv ist.
    2. Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion im Nullpunkt.


    Lösung

    1. Es ist

      Dies ist überall positiv und damit ist nach Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) streng wachsend und damit injektiv. Da ein Polynom ungeraden Grades voliegt ist aufgrund des Zwischenwertsatzes auch surjektiv.

    2. Nach Satz 14.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist

      Somit ist insbesondere


    Aufgabe (2 Punkte)

    Finde den oder die Fehler im folgenden „Beweis“ für die Aussage, dass man zu zwei stetigen Funktionen

    eine Stammfunktion zu finden kann, indem man (geeignete) Stammfunktionen zu und zu miteinander multipliziert.

    „Es sei eine Stammfunktion zu und eine Stammfunktion zu , die wir beide positiv wählen, was wegen der Positivität von und möglich ist. Für positive Zahlen ist der natürliche Logarithmus definiert, so dass man diese Funktionen mit dem Logarithmus verknüpfen kann. Dann ist eine Stammfunktion von und eine Stammfunktion von . Nach der Additionsregel für Stammfunktionen ist somit eine Stammfunktion von . Wir wenden auf diese Situation die Umkehrfunktion des Logarithmus, also die Exponentialfunktion an, und erhalten mit Hilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass

    eine Stammfunktion von

    ist.“


    Lösung

    Es gibt zwei Fehler: Wenn eine Stammfunktion zu ist, so muss keine Stammfunktion zu sein (dies wird für und für verwendet), und wenn eine Stammfunktion zu ist, so muss keine Stammfunktion zu sein (im falschen Beweis ist ).


    Aufgabe (5 Punkte)

    Wir betrachten die drei Ebenen im , die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

    Bestimme sämtliche Punkte .


    Lösung

    Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

    Die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems ist . Es ist gleich

    und gleich

    Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt

    also

    Somit ist

    und

    Es ist also

    Der Durchschnitt wird durch das lineare Gleichungssystem

    beschrieben. Die Lösungsmenge ist

    Für

    ergibt sich dabei der einzige Punkt aus . Somit ist insgesamt


    Aufgabe (3 Punkte)

    Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

    derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

    erfüllt.


    Lösung

    Es sei der Körper der reellen Zahlen. Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“

    die jedes Paar auf abbildet, also

    Dann ist (für )

    und somit ist diese Skalarmultiplikation nicht distributiv in den Skalaren. Alle anderen Vektorraumaxiome sind hingegen erfüllt. Es ist ja

    und

    Ferner ist natürlich auch


    Aufgabe (4 Punkte)

    Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


    Lösung

    Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen weiteren Vektor mit geben. Also ist .
    Sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

    Daher ist und damit .


    Aufgabe (1 Punkt)

    Berechne die Determinante der Matrix


    Lösung

    Es ist


    Aufgabe (3 Punkte)

    Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche trigonalisierbar und welche diagonalisierbar sind.

    1. Die Achsenspiegelung durch die durch gegebene Achse.
    2. Die Scherung, die durch die Matrix gegeben ist.
    3. Die Punktspiegelung mit dem Ursprung als Zentrum.
    4. Die Streckung mit dem Faktor .


    Lösung

    1. Da die Gerade nicht durch den Nullpunkt geht, wird dieser bei dieser Achsenspiegelung bewegt, daher ist die Abbildung nicht linear.
    2. Eine solche Scherung ist linear und trigonalisierbar, da sie bereits in oberer Dreiecksform vorliegt. Sie ist nicht diagonalisierbar, da der einzige Eigenwert die geometrische Vielfachheit besitzt.
    3. Die Punktspiegelung am Ursprung ist die Abbildung , sie ist also linear und diagonalisierbar und insbesondere trigonalisierbar.
    4. Jede Streckung ist linear und diagonalisierbar.