Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/19/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 2 1 2 8 4 5 4 3 4 5 6 5 9 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Linearform auf einem -Vektorraum , wobei ein Körper ist.
  2. Die Länge eines Streckenzugs

    mit .

  3. Ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem.
  4. Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum .
  5. Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt .
  6. Der Kegel zu einer Basismenge und einem Punkt .


Lösung

  1. Sei ein Körper und sei ein -Vektorraum. Eine lineare Abbildung

    heißt auch eine Linearform auf .

  2. Man nennt

    die Gesamtlänge des Streckenzugs.

  3. Es sei ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

    wobei

    eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

    sind und wobei

    eine Abbildung ist, heißt inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.

  4. Die Bilinearform heißt positiv definit, wenn für alle , ist.
  5. Die Abbildung heißt partiell differenzierbar, wenn für jedes die Abbildung

    in differenzierbar ist.

  6. Der Kegel zur Basis mit der Spitze ist definiert durch


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Eigenwertkriterium für eine reell-symmetrische Bilinearform.
  2. Der Satz von Schwarz.
  3. Der Satz über die Umkehrabbildung.


Lösung

  1. Sei eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei eine Basis von . Es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis. Dann besitzt der Typ der Form folgende Interpretation: ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu zu positiven Eigenwerten und ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu zu negativen Eigenwerten.
  2. Sei offen und eine Abbildung, so dass für die zweiten Richtungsableitungen und existieren und stetig sind. Dann gilt
  3. Es seien und euklidische Vektorräume, sei offen und es sei

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt derart, dass das totale Differential

    bijektiv ist. Dann gibt es eine offene Menge und eine offene Menge mit und mit derart, dass eine Bijektion

    induziert, und dass die Umkehrabbildung

    ebenfalls stetig differenzierbar ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem


Lösung

Die Stammfunktionen zu sind

Die Bedingung

führt auf

also


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme eine Basis für das orthogonale Komplement zu .


Lösung

Die Vektoren und stehen offenbar senkrecht auf der gegebenen Geraden und sind zueinander linear unabhängig. Daher ist dies aus Dimensionsgründen eine Basis des orthogonalen Komplementes.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln offen sind.


Lösung

Es sei . Daher ist

Wir setzen

Für ist nach der Dreiecksungleichung

also ist und damit ist offen.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in einem metrischen Raum mit konvergenten Folgen.


Lösung

Sei zunächst abgeschlossen und eine Folge gegeben, die in gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann liegt im offenen Komplement von und daher gibt es ein derart, dass der gesamte -Ball im Komplement von liegt. Also ist

Da die Folge aber gegen konvergiert, gibt es ein derart, dass alle Folgenglieder , , zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in liegen, ist dies ein Widerspruch.
  Sei nun nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in konstruieren, die in konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu gehört. Da nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt derart, dass in jedem -Ball von auch Punkte außerhalb von , also in liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl der Durchschnitt

Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in . Die Folge konvergiert gegen , da man sich hierzu auf

beschränken kann und alle Folgenglieder , , in liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und ist, konvergiert die Folge in nicht.


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

zwischen und .


Lösung

Es ist . Daher ist die Länge des Graphen gleich dem Integral (mit der Substitution )


Aufgabe (5 Punkte)

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Lösung

Es ist

Für die geraden Exponenten heben sich die Summanden zu und weg, zu ungeraden Exponenten verdoppeln sie sich. Daher ist dieses Integral gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme ein Fundamentalsystem für das Differentialgleichungssystem


Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Die Eigenwerte sind also und . Zum Kern von gehört , daher ist ein Eigenvektor zum Eigenwert .

Zum Kern von gehört , daher ist ein Eigenvektor zum Eigenwert . Nach Fakt ***** bilden somit die Funktionen und ein Fundamentalsystem.


Aufgabe (3 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ein Beobachtervektor ist und bestimme die Raumkomponente dazu.


Lösung

Die Standard-Minkowski-Form im ist durch gegeben. Wegen

liegt ein Beobachtervektor vor. Die Raumkomponente steht bezüglich der Minkowski-Form senkrecht auf dem Beobachtervektor. Dies führt zur Bedingung

mit dem Lösungsraum


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung mit existiert.


Lösung

Es sei

Die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen in Richtung der Standardvektoren bzw. . Für jeden Richtungsvektor geht es um die Existenz des Limes

Bei oder ist der Zähler konstant gleich , so dass der Limes existiert. Somit existieren die partiellen Ableitungen. Wenn hingegen und beide nicht sind, so ist

und dann existiert der Limes

nicht.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Extrema der Funktion


Lösung

Es ist

und

Damit beide partiellen Ableitung gleich sind, muss

und

mit oder dasselbe mit vertauschten Rollen sein. Die kritischen Punkte sind also

Die Hesse-Matrix ist

Bei einem Punkt der linken Art ist dies bei beide gerade oder beide ungerade ist dies

und es liegt nach Satz 52.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert vor und bei gerade und ungerade oder umgekehrt ist dies

und es liegt ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert vor. Diese lokalen Extrema sind auch global, da die Funktionswerte in sind.

Bei einem Punkt der rechten Art ist die Hesse-Matrix gleich

vor. In beiden Fällen ist die Hesse-Form indefinit und es liegt kein lokales Extremum vor.


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung .

b) Zeige, dass in lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung besitzt, und bestimme das totale Differential von im Punkt .

c) Man gebe alle Punkte an, in denen nicht lokal invertierbar ist.


Lösung

a) Wir bestimmen die Jacobi-Matrix von , diese ist

Die Determinante davon ist

Dies ist genau dann, wenn ist, so dass die regulären Punkte genau die Punkte sind, deren -Koordinate nicht ist.

b) Die Abbildung ist nach Teil a) im Punkt regulär, daher gibt es nach dem Satz über die Umkehrabbildung eine differenzierbare Umkehrabbildung , die in einer offenen Umgebung von definiert ist. Das totale Differential von im Punkt ist die inverse Matrix zum totalen Differential von in , also invers zu

Die inverse Matrix dazu ist

c) Für die Punkte mit gibt es aufgrund des Satzes über die Umkehrabbildung lokal eine Umkehrabildung. Für einen Punkt mit gibt es dagegen keine lokale Umkehrabbildung, da ein solcher Punkt auf der Geraden liegt, die die Faser über ist. Daher ist diese Abbildung in keiner offenen Umgebung von injektiv.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion und

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser zu zu zwei verschiedenen Zeitpunkten trifft. Zeige, dass konstant ist.


Lösung

Nehmen wir an, dass auf dem Intervall nicht konstant ist. Dann gibt es ein mit

Wir betrachten das Wegintegral

Hierbei beruht die mittlere Gleichung darauf, dass eine Lösung der Differentialgleichung ist. Da ist, ist die Norm positiv und daher ist wegen der Stetigkeit dieses Integral positiv. Andererseits ist ein Gradientenfeld und daher ist nach Lemma 57.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))

da ja und zur gleichen Faser gehören. Dies ist ein Widerspruch.


Aufgabe (9 (3+1+1+4) Punkte)

Es sei

wir betrachten die Abbildung

  1. Zeige, dass injektiv ist.
  2. Zeige, dass einen Diffeomorphismus auf sein Bild induziert.
  3. Zeige, dass das Rechteck in liegt.
  4. Berechne den Flächeninhalt des Bildes von unter .


Lösung

  1. Wir betrachten das Gleichungssystem

    und müssen zeigen, dass durch eindeutig bestimmt ist. Wegen ist . Es gilt

    und

    Daraus ergibt sich

    bzw.

    Bei gegebenem ist diese Funktion in streng wachsend, daher gibt es maximal ein , das diese Gleichung erfüllt. Dadurch ist auch eindeutig bestimmt.

  2. Die Jacobi-Matrix ist

    mit der Determinante

    Auf ist dies überall negativ, daher liegt ein Diffeomorphismus auf das Bild vor.

  3. Für ist

    also ist .

  4. Der Flächeninhalt ist nach Korollar 60.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) gleich