Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Definitionsliste/Englische Begriffe

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Definition:Teilmenge

Es seien und Mengen. Man sagt, dass eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist. Diese Beziehung drückt man durch

aus und sagt auch, dass eine Inklusion vorliegt.



Definition:Produktmenge

Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge der beiden Mengen.



Definition:Abbildung

Seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

aus.



Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung



Definition:Körper (ausführlich)

Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Axiome der Addition
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
  2. Axiome der Multiplikation
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
  3. Distributivgesetz: Für alle gilt .


Definition:Anordnungsaxiome der reellen Zahlen

Die reellen Zahlen erfüllen die folgenden Anordnungsaxiome.

  1. Für je zwei reelle Zahlen ist entweder oder oder .
  2. Aus und folgt (für beliebige ).
  3. Aus folgt (für beliebige ).
  4. Aus und folgt (für beliebige ).
  5. Für jede reelle Zahl gibt es eine natürliche Zahl mit .


Definition:Intervalle

Für reelle Zahlen , , nennt man

    das abgeschlossene Intervall.

    das offene Intervall.

    das linksseitig offene Intervall.

    das rechtsseitig offene Intervall.



    Definition:Gaußklammer

    Zu einer reellen Zahl ist die Gaußklammer durch

    definiert.



    Definition:Betrag einer reellen Zahl

    Für eine reelle Zahl ist der Betrag folgendermaßen definiert.



    Definition:Fakultät

    Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl

    die Fakultät von (sprich Fakultät).



    Definition:Binomialkoeffizient

    Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man

    den Binomialkoeffizienten über “.



    Definition:Komplexe Zahlen

    Die Menge mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

    definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

    bezeichnet.



    Definition:Real- und Imaginärteil

    Zu einer komplexen Zahl

    heißt

    der Realteil von und

    heißt der Imaginärteil von .



    Definition:Komplexe Konjugation

    Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.



    Definition:Betrag einer komplexen Zahl

    Zu einer komplexen Zahl

    ist der Betrag durch

    definiert.



    Definition:Injektiv Surjektiv Bijektiv

    Es seien und Mengen und es sei

    eine Abbildung. Dann heißt

      • injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
      auch und verschieden sind.
      • surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit
        gibt.
      • bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.


    Definition:Umkehrabbildung

    Es sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

    die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, die Umkehrabbildung zu .



    Definition:Hintereinanderschaltung

    Es seien und Mengen und

    und

    Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

    die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .



    Definition:Polynom in einer Variablen

    Es sei ein Körper. Ein Ausdruck der Form

    mit

    heißt Polynom in einer Variablen über .



    Definition:Grad eines Polynoms

    Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .



    Definition:Rationale Funktion

    Zu Polynomen , , heißt die Funktion

    wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.



    Definition:Lineares Gleichungssystem

    Es sei ein Körper und für und . Dann nennt man

    ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen . Ein Tupel heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.

    Wenn beliebig ist, so heißt

    ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.



    Definition:Äquivalente lineare Gleichungssysteme

    Es sei ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.



    Definition:Matrix

    Es sei ein Körper und und Indexmengen. Eine -Matrix ist eine Abbildung

    Bei und spricht man von einer -Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als



    Definition:Matrizenmultiplikation

    Es sei ein Körper und es sei eine - Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

    diejenige -Matrix, deren Einträge durch

    gegeben sind.



    Definition:Standardvektor

    Es sei ein Körper und . Dann nennt man zu den Vektor

    wobei an der -ten Stelle steht, den -ten Standardvektor.


    Definition:Vektorraum

    Es sei ein Körper und eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit zwei Abbildungen

    und

    Dann nennt man einen -Vektorraum (oder einen Vektorraum über ), wenn die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien und beliebig)

    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. Zu jedem gibt es ein mit ,
    5. ,
    6. ,
    7. ,
    8. .


    Definition:Untervektorraum

    Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Eine Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

    1. .
    2. Mit ist auch .
    3. Mit und ist auch .


    Definition:Linearkombination

    Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in . Dann heißt der Vektor

    eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel ).



    Definition:Erzeugendensystem

    Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt eine Familie , , ein Erzeugendensystem von , wenn man jeden Vektor als

    mit einer endlichen Teilfamilie und mit darstellen kann.



    Definition:Aufgespannter Unterraum

    Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zu einer Familie , , setzt man

    und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.



    Definition:Linear unabhängig (endliche Familie)

    Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren , , (mit einer beliebigen endlichen Indexmenge ) linear unabhängig, wenn eine Gleichung

    nur bei für alle möglich ist.



    Definition:Basis

    Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem , , von eine Basis von .



    Definition:Dimension

    Es sei ein Körper und ein - Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von die Dimension von , geschrieben



    Definition:Lineare Abbildung

    Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Eine Abbildung

    heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

    1. für alle .
    2. für alle und .


    Definition:Matrix zu linearer Abbildung

    Es sei ein Körper und sei ein - dimensionaler Vektorraum mit einer Basis und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis .

    Zu einer linearen Abbildung

    heißt die - Matrix

    wobei die -te Koordinate von bezüglich der Basis ist, die beschreibende Matrix zu bezüglich der Basen.

    Zu einer Matrix heißt die durch

    gemäß Satz 9.5 definierte lineare Abbildung die durch festgelegte lineare Abbildung.



    Definition:Kern

    Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und

    sei eine - lineare Abbildung. Dann nennt man

    den Kern von .



    Definition:Rang einer linearen Abbildung

    Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und

    sei eine - lineare Abbildung und sei endlichdimensional. Dann nennt man

    den Rang von .



    Definition:Invertierbare Matrix

    Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann heißt invertierbar, wenn es eine weitere Matrix mit

    gibt.



    Definition:Inverse Matrix

    Es sei ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix heißt die Matrix mit

    die inverse Matrix von . Man schreibt dafür



    Definition:Elementare Zeilenumformungen

    Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die folgenden Manipulationen an elementare Zeilenumformungen.

    1. Vertauschung von zwei Zeilen.
    2. Multiplikation einer Zeile mit .
    3. Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.


    Definition:Elementarmatrizen

    Es sei ein Körper. Mit bezeichnen wir diejenige - Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

    1. .
    2. .
    3. .


    Definition:Spaltenrang

    Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben



    Definition:Determinante (rekursive Definition)

    Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch



    Definition:Transponierte Matrix

    Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die -Matrix

    die transponierte Matrix zu .



    Definition:Determinante eines Endomorphismus

    Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei

    eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben werde. Dann nennt man

    die Determinante der linearen Abbildung .



    Definition:Reelle Folge

    Eine reelle Folge ist eine Abbildung



    Definition:Konvergenz einer reellen Folge

    Es sei eine reelle Folge und es sei . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

    Zu jedem positiven , , gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

    gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

    Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.



    Definition:Beschränktheits-Eigenschaften

    Es sei eine Teilmenge der reellen Zahlen.

    1. Ein Element heißt eine obere Schranke für , wenn für alle gilt.
    2. Ein Element heißt eine untere Schranke für , wenn für alle gilt.
    3. heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für existiert.
    4. heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für existiert.
    5. heißt beschränkt, wenn sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
    6. Ein Element heißt das Maximum von , wenn für alle gilt.
    7. Ein Element heißt das Minimum von , wenn für alle gilt.
    8. Eine obere Schranke von heißt das Supremum von , wenn für alle oberen Schranken von gilt.
    9. Eine untere Schranke von heißt das Infimum von , wenn für alle unteren Schranken von gilt.


    Definition:Wachsende Folge

    Die reelle Folge heißt wachsend, wenn für alle ist, und streng wachsend, wenn für alle ist.

    Die Folge heißt fallend, wenn für alle ist, und streng fallend, wenn für alle ist.



    Definition:Cauchy-Folge

    Eine reelle Folge heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

    Zu jedem gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.



    Definition:Teilfolge

    Es sei eine reelle Folge. Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

    eine Teilfolge der Folge.



    Definition:Intervallschachtelung

    Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.



    Definition:Bestimmt divergent

    Eine Folge in heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit

    gibt.

    Sie heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit

    gibt.



    Definition:Reihe

    Es sei eine Folge von reellen Zahlen. Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen

    Falls die Folge konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

    und nennt ihn die Summe der Reihe.



    Definition:Absolute Konvergenz einer Reihe

    Eine Reihe

    von reellen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

    konvergiert.



    Definition:Die geometrische Reihe

    Für jedes heißt die Reihe

    die geometrische Reihe in .


    Definition:Stetige Funktion

    Es sei eine Teilmenge,

    eine Funktion und . Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt. Man sagt, dass stetig ist, wenn sie in jedem Punkt stetig ist.



    Definition:Grenzwert einer Funktion

    Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei

    eine Funktion. Dann heißt Grenzwert (oder Limes) von in , wenn für jede Folge in , die gegen konvergiert, auch die Bildfolge gegen konvergiert. In diesem Fall schreibt man



    Definition:Maximum und Minimum

    Es sei eine Menge und

    eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt das Maximum annimmt, wenn

    und dass das Minimum annimmt, wenn



    Definition:Lokales Maximum und Minimum

    Es sei eine Teilmenge und sei

    eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.



    Definition:Isoliertes lokales Maximum und Minimum

    Es sei eine Teilmenge und sei

    eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung

    gilt.

    Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung

    gilt.



    Definition:Potenzreihe

    Es sei eine Folge von reellen Zahlen und eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

    die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .



    Definition:Cauchy-Produkt

    Zu zwei Reihen und reeller Zahlen heißt die Reihe

    das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.



    Definition:Exponentialreihe

    Für jedes heißt die Reihe

    die Exponentialreihe in .



    Definition:Exponentialfunktion

    Die Funktion

    heißt (reelle) Exponentialfunktion.



    Definition:Eulersche Zahl

    Die reelle Zahl

    heißt eulersche Zahl.



    Definition:Natürlicher Logarithmus

    Der natürliche Logarithmus

    ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.



    Definition:Exponentialfunktion zu einer Basis

    Zu einer positiven reellen Zahl definiert man die Exponentialfunktion zur Basis als



    Definition:Logarithmus zu einer Basis

    Zu einer positiven reellen Zahl , , wird der Logarithmus zur Basis von durch

    definiert.



    Definition:Sinus hyperbolicus

    Die für durch

    definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.



    Definition:Kosinus hyperbolicus

    Die für durch

    definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.



    Definition:Tangens hyperbolicus

    Die durch

    definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.



    Definition:Ebene Drehung

    Eine lineare Abbildung

    die durch eine Drehmatrix (mit einem ) gegeben ist, heißt Drehung.



    Definition:Kosinusreihe und Sinusreihe

    Für heißt

    die Kosinusreihe und

    die Sinusreihe zu .



    Definition:Tangens

    Die Funktion

    heißt Tangens und die Funktion

    heißt Kotangens.



    Definition:Differenzenquotient

    Es sei eine Teilmenge, ein Punkt und

    eine Funktion. Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .



    Definition:Differenzierbarkeit

    Es sei eine Teilmenge, ein Punkt und

    eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der Limes

    existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von in , geschrieben



    Definition:Ableitungsfunktion

    Es sei ein Intervall und sei

    eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt die Ableitung von in existiert. Die Abbildung

    heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von .



    Definition:Höhere Ableitungen

    Es sei ein Intervall und sei

    eine Funktion. Die Funktion heißt -mal differenzierbar, wenn sie -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung, also , differenzierbar ist. Die Ableitung

    nennt man dann die -te Ableitung von .



    Definition:Stetig differenzierbar

    Es sei ein Intervall und

    eine Funktion. Man sagt, dass stetig differenzierbar ist, wenn differenzierbar ist und die Ableitung stetig ist.



    Definition:Die Zahl

    Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion aus dem Intervall . Die Kreiszahl ist durch

    definiert.



    Definition:Arkussinus

    Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist

    und heißt Arkussinus.



    Definition:Arkuskosinus

    Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist

    und heißt Arkuskosinus.



    Definition:Taylor-Polynom

    Es sei ein Intervall,

    eine -mal differenzierbare Funktion und . Dann heißt

    das Taylor-Polynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt .



    Definition:Taylor-Reihe

    Es sei ein Intervall,

    eine unendlich oft differenzierbare Funktion und . Dann heißt

    die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt .



    Definition:Treppenfunktion

    Es sei ein reelles Intervall mit den Grenzen . Dann heißt eine Funktion

    eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

    von derart gibt, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.



    Definition:Treppenintegral

    Es sei ein reelles Intervall mit den Grenzen und sei

    eine Treppenfunktion zur Unterteilung und den Werten , . Dann heißt

    das Treppenintegral von auf .



    Definition:Obere Treppenfunktion

    Es sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion

    eine obere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist. Eine Treppenfunktion

    heißt eine untere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist.



    Definition:Oberes Treppenintegral

    Es sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion

    von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt das Treppenintegral

    ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von auf .



    Definition:Unteres Treppenintegral

    Es sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion

    von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt

    ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von auf .



    Definition:Oberintegral

    Es sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von das Oberintegral von .



    Definition:Unterintegral

    Es sei ein beschränktes Intervall und sei

    eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von das Unterintegral von .



    Definition:Riemann-integrierbar (kompaktes Intervall)

    Es sei ein kompaktes Intervall und sei

    eine Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.



    Definition:Bestimmtes Integral

    Es sei ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von über . Es wird mit

    bezeichnet.



    Definition:Riemann-integrierbar

    Es sei ein reelles Intervall und sei

    eine Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.



    Definition:Integralfunktion

    Es sei ein reelles Intervall und sei

    eine Riemann-integrierbare Funktion und . Dann heißt die Funktion

    die Integralfunktion zu zum Startpunkt .



    Definition:Stammfunktion

    Es sei ein Intervall und sei

    eine Funktion. Eine Funktion

    heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.



    Definition:Grenzwert einer Funktion gegen unendlich

    Es sei (oder ) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und

    eine Funktion. Dann heißt Grenzwert (oder Limes) von für (bzw. ), wenn es für jedes ein (bzw. ) gibt mit für alle (bzw. ). In diesem Fall schreibt man

    (bzw. ).



    Definition:Uneigentliches Integral

    Es sei ein Intervall, ein (uneigentlicher) Randpunkt von und . Es sei eine stetige Funktion

    gegeben. Man sagt, dass das uneigentliche Integral zu für existiert, wenn der Grenzwert

    existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch

    und nennt dies das uneigentliche Integral von nach



    Definition:Beidseitig uneigentliches Integral

    Es sei ein Intervall mit den beiden (uneigentlichen) Randpunkten und von . Es sei eine stetige Funktion

    gegeben. Man sagt, dass das (beidseitig) uneigentliche Integral

    existiert, wenn für ein die beiden einseitig uneigentlichen Integrale

    existieren. In diesem Fall setzt man

    und nennt dies das uneigentliche Integral zu von nach .



    Definition:Fakultätsfunktion

    Für , , heißt die Funktion

    die Fakultätsfunktion.



    Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung

    Es sei eine Teilmenge und es sei

    eine Funktion. Dann nennt man

    die (gewöhnliche) Differentialgleichung zu (oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld ).



    Definition:Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung

    Es sei eine Teilmenge und es sei

    eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

    heißt eine Funktion

    auf einem (mehrpunktigen) Intervall eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

    1. Es ist für alle .
    2. Die Funktion ist differenzierbar.
    3. Es ist für alle .


    Definition:Anfangswertproblem

    Es sei eine Teilmenge und es sei

    eine Funktion. Es sei vorgegeben. Dann nennt man

    das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .



    Definition:Lösung des Anfangswertproblems

    Es sei eine Teilmenge und es sei

    eine Funktion. Es sei vorgegeben. Dann nennt man eine Funktion

    auf einem Intervall eine Lösung des Anfangswertproblems

    wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

    gilt.



    Definition:Ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

    Eine gewöhnliche Differentialgleichung

    heißt ortsunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also mit einer Funktion in der einen Variablen gilt.



    Definition:Zeitunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

    Eine gewöhnliche Differentialgleichung

    heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also mit einer Funktion in der einen Variablen gilt.



    Definition:Homogene lineare gewöhnliche eindimensionale Differentialgleichung

    Eine Differentialgleichung der Form

    mit einer Funktion ( reelles Intervall)

    heißt gewöhnliche homogene lineare eindimensionale Differentialgleichung.



    Definition:Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

    Eine Differentialgleichung der Form

    mit zwei auf einem Intervall definierten Funktionen und heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.



    Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen

    Eine Differentialgleichung der Form

    mit zwei Funktionen (dabei sind und reelle Intervalle)

    und

    heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.