Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Definitionsliste/Englische Begriffe

Definition:Teilmenge (Subset)

Es seien ${}T$ und ${}M$ Mengen. Man sagt, dass ${}T$ eine Teilmenge von ${}M$ ist, wenn jedes Element von ${}T$ auch ein Element von ${}M$ ist. Diese Beziehung drückt man durch

${}T\subseteq M\,$

aus und sagt auch, dass eine Inklusion ${}T\subseteq M$ vorliegt.

 

Definition:Produktmenge (Cartesian product)

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der beiden Mengen.

 

Definition:Abbildung (Mapping)

Seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

aus.

 

Definition:Verknüpfung (Operation)

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$

 

Definition:Körper (ausführlich) (Field)

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
   3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.

 

Definition:Anordnungsaxiome der reellen Zahlen (Ordering axioms for real numbers)

Die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ erfüllen die folgenden Anordnungsaxiome.

1. Für je zwei reelle Zahlen ${}a,b\in \mathbb {R}$ ist entweder ${}a>b$ oder ${}a=b$ oder ${}b>a$.
2. Aus ${}a\geq b$ und ${}b\geq c$ folgt ${}a\geq c$ (für beliebige ${}a,b,c\in \mathbb {R}$).
3. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c=b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in \mathbb {R}$).
4. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in \mathbb {R}$).
5. Für jede reelle Zahl ${}a\in \mathbb {R}$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}n\geq a$.

 

Definition:Intervalle (Intervals)

Für reelle Zahlen ${}a,b$, ${}a\leq b$, nennt man

• ${}[a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$ das abgeschlossene Intervall.

• ${}]a,b[={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x<b\right\}}$ das offene Intervall.

• ${}]a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$ das linksseitig offene Intervall.

• ${}[a,b[={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x<b\right\}}$ das rechtsseitig offene Intervall.

 

Definition:Gaußklammer (Floor)

Zu einer reellen Zahl ${}x$ ist die Gaußklammer ${}\left\lfloor x\right\rfloor$ durch

$\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$

definiert.

 

Definition:Betrag einer reellen Zahl (Absolute value)

Für eine reelle Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ ist der Betrag folgendermaßen definiert.

${}\vert {x}\vert ={\begin{cases}x\,,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,\,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$

 

Definition:Fakultät (Factorial)

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ nennt man die Zahl

${}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,$

die Fakultät von ${}n$ (sprich ${}n$ Fakultät).

 

Definition:Binomialkoeffizient (Binomial coefficient)

Es seien ${}k$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit ${}k\leq n$. Dann nennt man

${}{\binom {n}{k}}:={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$

den Binomialkoeffizienten „${}n$ über ${}k$“.

 

Definition:Komplexe Zahlen (Complex numbers)

Die Menge

$\mathbb {R} ^{2}$

mit ${}0:=(0,0)$ und ${}1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch

${}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

$\mathbb {C}$

bezeichnet.

 

Definition:Real- und Imaginärteil (Real part, imaginary part)

Zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

heißt

${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}=a\,$

der Realteil von ${}z$ und

${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=b\,$

heißt der Imaginärteil von ${}z$.

 

Definition:Komplexe Konjugation (Complex conjugation)

Die Abbildung

$\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}:=a-b{\mathrm {i} },$

heißt komplexe Konjugation.

 

Definition:Betrag einer komplexen Zahl (Absolute value of a complex number)

Zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

ist der Betrag durch

${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

definiert.

 

Definition:Injektiv Surjektiv Bijektiv (Injektive surjektive bijektive)

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$

• injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.
• surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

  ${}F(x)=y\,$

  gibt.
• bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

 

Definition:Umkehrabbildung (Inverse mapping)

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

$G\colon M\longrightarrow L,$

die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu ${}F$.

 

Definition:Hintereinanderschaltung (Composition of mappings)

Es seien ${}L,\,M$ und ${}N$ Mengen und

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

und

$G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

$G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

 

Definition:Polynom in einer Variablen (Polynomial in one variable)

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Ausdruck der Form

$P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

mit ${}a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}$

heißt Polynom in einer Variablen über ${}K$.

 

Definition:Grad eines Polynoms (Degree of a polynomial)

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$.

 

Definition:Rationale Funktion (Rational Function)

Zu zwei Polynomen ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$, ${}Q\neq 0$, heißt die Funktion

$D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$

wobei ${}D$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

 

Definition:Lineares Gleichungssystem (System of linear equations)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a_{ij}\in K$ für ${}1\leq i\leq m$ und ${}1\leq j\leq n$. Dann nennt man

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\xi _{j}=0$ für alle ${}i=1,\ldots ,m$ ist.

Wenn ${}(c_{1},\ldots ,c_{m})\in K^{m}$ beliebig ist, so heißt

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\zeta _{j}=c_{i}$ für alle ${}i$ ist.

 

Definition:Äquivalente lineare Gleichungssysteme (Equivalent system of linear equations)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.

 

Definition:Matrix (Matrix)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}I$ und ${}J$ zwei Indexmengen. Eine ${}I\times J$-Matrix ist eine Abbildung

$I\times J\longrightarrow K,\,(i,j)\longmapsto a_{ij}.$

Bei ${}I=\{1,\ldots ,m\}$ und ${}J=\{1,\ldots ,n\}$ spricht man von einer ${}m\times n$-Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$

 

Definition:Matrizenmultiplikation (Matrix multiplication)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Dann ist das Matrixprodukt

$AB$

diejenige ${}m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

gegeben sind.

 

Definition:Standardvektor (Standard basis vector)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann nennt man zu ${}i\in \{1,\ldots ,n\}$ den Vektor

$e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\in K^{n},$

wobei ${}1$ an der ${}i$-ten Stelle steht, den ${}i$-ten Standardvektor.

 

Definition:Vektorraum (Vector space)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ eine Menge mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in V$ und mit zwei Abbildungen

$+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$

und

$\cdot \colon K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v.$

Dann nennt man ${}V$ einen ${}K$-Vektorraum (oder einen Vektorraum über ${}K$), wenn die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien ${}r,s\in K$ und ${}u,v,w\in V$ beliebig)

1. ${}u+v=v+u$,
2. ${}(u+v)+w=u+(v+w)$,
3. ${}v+0=v$,
4. Zu jedem ${}v$ gibt es ein ${}z$ mit ${}v+z=0$,
5. ${}1\cdot u=u$,
6. ${}r(su)=(rs)u$,
7. ${}r(u+v)=ru+rv$,
8. ${}(r+s)u=ru+su$.

 

Definition:Untervektorraum (Linear subspace)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Eine Teilmenge ${}U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1. ${}0\in U$.
2. Mit ${}u,v\in U$ ist auch ${}u+v\in U$.
3. Mit ${}u\in U$ und ${}s\in K$ ist auch ${}su\in U$.

 

Definition:Linearkombination (Linear combination)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$. Dann heißt der Vektor

$s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$

eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel ${}(s_{1},\ldots ,s_{n})$).

 

Definition:Erzeugendensystem (Spanning system)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie ${}v_{i}\in V$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn man jeden Vektor ${}v\in V$ als

${}v=\sum _{j\in J}s_{j}v_{j}\,$

mit einer endlichen Teilfamilie ${}J\subseteq I$ und mit ${}s_{j}\in K$ darstellen kann.

 

Definition:Aufgespannter Unterraum (Linear span)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Zu einer Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, setzt man

$\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$

und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.

 

Definition:Linear unabhängig (endliche Familie) (Linearly independent)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren ${}v_{i}$, ${}i\in I$, (mit einer beliebigen endlichen Indexmenge ${}I$) linear unabhängig, wenn eine Gleichung

$\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}s_{i}\in K$

nur bei ${}s_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

 

Definition:Basis (Basis)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ${}v_{i}\in V$, ${}i\in I$, von ${}V$ eine Basis von ${}V$.

 

Definition:Dimension (Dimension)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von ${}V$ die Dimension von ${}V$, geschrieben

$\operatorname {dim} _{}\left(V\right).$

 

Definition:Lineare Abbildung (Linear map)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Eine Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$.
2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$.

 

Definition:Matrix zu linearer Abbildung (Matrix for a linear mapping)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$.

Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt die ${}m\times n$-Matrix

${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,$

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ ist, die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basen.

Zu einer Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch

$v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$

gemäß Satz 9.5 definierte lineare Abbildung ${}\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch ${}M$ festgelegte lineare Abbildung.

 

Definition:Kern (Kernel)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$-lineare Abbildung. Dann nennt man

${}\operatorname {kern} \varphi :=\varphi ^{-1}(0)={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$

den Kern von ${}\varphi$.

 

Definition:Rang einer linearen Abbildung (Rank)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$-lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional. Dann nennt man

${}\operatorname {rang} \,\varphi :=\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {bild} \varphi \right)\,$

den Rang von ${}\varphi$.

 

Definition:Invertierbare Matrix (Invertible matrix)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Dann heißt ${}M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

gibt.

 

Definition:Inverse Matrix (Inverse Matrix)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt die Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

die inverse Matrix von ${}M$. Man schreibt dafür

$M^{-1}.$

 

Definition:Elementare Zeilenumformungen (Elementary row operations)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix über ${}K$. Dann nennt man die folgenden Manipulationen an ${}M$ elementare Zeilenumformungen.

1. Vertauschung von zwei Zeilen.
2. Multiplikation einer Zeile mit ${}s\neq 0$.
3. Addition des ${}a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

 

Definition:Elementarmatrizen (Elementary matrices)

Es sei ${}K$ ein Körper. Mit ${}B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige ${}n\times n$-Matrix, die an der Stelle ${}(i,j)$ den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert ${}0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

1. ${}V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
2. ${}S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
3. ${}A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.

 

Definition:Spaltenrang (Rank of a matrix)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix über ${}K$. Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von ${}K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben

$\operatorname {rang} \,M.$

 

Definition:Determinante (rekursive Definition) (Determinant)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M=(a_{ij})_{ij}$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{i}$ diejenige ${}(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die erste Spalte und die ${}i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von ${}M$ durch

${}\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}\,$

 

Definition:Transponierte Matrix (Transposed matrix)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M=(a_{ij})_{ij}$ eine ${}m\times n$-Matrix über ${}K$. Dann nennt man die ${}n\times m$-Matrix

${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$

die transponierte Matrix zu ${}M$.

 

Definition:Determinante eines Endomorphismus (Determinant of a linear map)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Dann nennt man

${}\det \varphi :=\det M\,$

die Determinante der linearen Abbildung ${}\varphi$.

 

Definition:Reelle Folge (Real sequence)

Eine reelle Folge ist eine Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,n\longmapsto x_{n}.$

 

Definition:Konvergenz einer reellen Folge (Convergent sequence)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und es sei ${}x\in \mathbb {R}$. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem positiven ${}\epsilon >0$, ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}:=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.

 

Definition:Beschränktheits-Eigenschaften (Lower bound)

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen.

1. Ein Element ${}S\in \mathbb {R}$ heißt eine obere Schranke für ${}M$, wenn ${}x\leq S$ für alle ${}x\in M$ gilt.
2. Ein Element ${}s\in \mathbb {R}$ heißt eine untere Schranke für ${}M$, wenn ${}x\geq s$ für alle ${}x\in M$ gilt.
3. ${}M$ heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für ${}M$ existiert.
4. ${}M$ heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für ${}M$ existiert.
5. ${}M$ heißt beschränkt, wenn ${}M$ sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
6. Ein Element ${}T\in M$ heißt das Maximum von ${}M$, wenn ${}T\geq x$ für alle ${}x\in M$ gilt.
7. Ein Element ${}t\in M$ heißt das Minimum von ${}M$, wenn ${}t\leq x$ für alle ${}x\in M$ gilt.
8. Eine obere Schranke ${}T$ von ${}M$ heißt das Supremum von ${}M$, wenn ${}T\leq S$ für alle oberen Schranken ${}S$ von ${}M$ gilt.
9. Eine untere Schranke ${}t$ von ${}M$ heißt das Infimum von ${}M$, wenn ${}t\geq s$ für alle unteren Schranken ${}s$ von ${}M$ gilt.

 

Definition:Wachsende Folge (Increasing sequence)

Die reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt wachsend, wenn ${}x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist, und streng wachsend, wenn ${}x_{n+1}>x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist.

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt fallend, wenn ${}x_{n+1}\leq x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist, und streng fallend, wenn ${}x_{n+1}<x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist.

 

Definition:Cauchy-Folge (Cauchy sequence)

Eine reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

 

Definition:Teilfolge (Subsequence)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zu jeder streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, ${}i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge

$i\mapsto x_{n_{i}}$

eine Teilfolge der Folge.

 

Definition:Intervallschachtelung (Nested intervals)

Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

$I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

in ${}\mathbb {R}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

gegen ${}0$ konvergiert.

 

Definition:Bestimmt divergent (Divergent to ${}+\infty$)

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen ${}+\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in \mathbb {R}$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

$x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N$

gibt.

Sie heißt bestimmt divergent gegen ${}-\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in \mathbb {R}$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

$x_{n}\leq s{\text{ für alle }}n\geq N$

gibt.

 

Definition:Reihe (Series)

Sei ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen. Unter der Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen

${}s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$

Falls die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

und nennt ihn die Summe der Reihe.

 

Definition:Absolute Konvergenz einer Reihe (Absolutely convergent)

Eine Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

von reellen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$

konvergiert.

 

Definition:Die geometrische Reihe (Geometric series)

Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$

die geometrische Reihe in ${}x$.

 

Definition:Stetige Funktion (Continuous function)

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und ${}x\in D$. Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}x$ ist, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt. Man sagt, dass ${}f$ stetig ist, wenn sie in jedem Punkt ${}x\in D$ stetig ist.

 

Definition:Grenzwert einer Funktion (Limit of a function)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}b\in \mathbb {R}$ Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert, auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$ konvergiert. In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

 

Definition:Maximum und Minimum (Maximum)

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in M$ das Maximum annimmt, wenn

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}},$

und dass ${}f$ das Minimum annimmt, wenn

$f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$

 

Definition:Lokales Maximum und Minimum (Local maximum)

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung

${}f(x)\geq f(x')\,$

gilt. Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung

${}f(x)\leq f(x')\,$

gilt.

 

Definition:Isoliertes lokales Maximum und Minimum (Isolated local maximum)

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in D$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

${}f(x)>f(x')\,$

gilt.

Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in D$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

${}f(x)<f(x')\,$

gilt.

 

Definition:Potenzreihe (Power series)

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen und ${}x$ eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$

die Potenzreihe in ${}x$ zu den Koeffizienten ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

 

Definition:Cauchy-Produkt (Cauchy product)

Zu zwei Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ reeller Zahlen heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}:=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

 

Definition:Exponentialreihe (Exponential series)

Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

die Exponentialreihe in ${}x$.

 

Definition:Exponentialfunktion (Exponential function)

Die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$

heißt (reelle) Exponentialfunktion.

 

Definition:Eulersche Zahl (Euler's number)

Die reelle Zahl

${}e:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,$

heißt eulersche Zahl.

 

Definition:Natürlicher Logarithmus (Natural logarithm)

Der natürliche Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

 

Definition:Exponentialfunktion zu einer Basis (Exponential function to base)

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$ definiert man die Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ als

${}b^{x}:=\exp(x\ln b)\,.$

 

Definition:Logarithmus zu einer Basis (Logarithm to base)

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$, ${}b\neq 1$, wird der Logarithmus zur Basis ${}b$ von ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ durch

${}\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$

definiert.

 

Definition:Sinus hyperbolicus (Hyperbolic sine)

Die für ${}x\in \mathbb {R}$ durch

${}\sinh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,$

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

 

Definition:Kosinus hyperbolicus (Hyperbolic cosine)

Die für ${}x\in \mathbb {R}$ durch

${}\cosh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\,$

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

 

Definition:Tangens hyperbolicus (Hyperbolic tangent)

Die durch

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}},$

definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.

 

Definition:Ebene Drehung (Rotation)

Eine lineare Abbildung

$D(\alpha )\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die durch eine Drehmatrix ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ (mit einem ${}\alpha \in \mathbb {R}$) gegeben ist, heißt Drehung.

 

Definition:Kosinusreihe und Sinusreihe (Sine (series))

Für ${}x\in \mathbb {R}$ heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$

die Kosinusreihe und

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

die Sinusreihe zu ${}x$.

 

Definition:Tangens (Tangent)

Die Funktion

$\mathbb {R} \setminus {\left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}},$

heißt Tangens und die Funktion

$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}},$

heißt Kotangens.

 

Definition:Differenzenquotient (Difference quotient)

Sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zu ${}x\in D$, ${}x\neq a$, heißt die Zahl

${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

der Differenzenquotient von ${}f$ zu ${}a$ und ${}x$.

 

Definition:Differenzierbarkeit (Differentiability)

Sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von ${}f$ in ${}a$, geschrieben

$f'(a).$

 

Definition:Ableitungsfunktion (Derivative)

Sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt ${}a\in I$ die Ableitung ${}f'(a)$ von ${}f$ in ${}a$ existiert. Die Abbildung

$f'\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),$

heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von ${}f$.

 

Definition:Höhere Ableitungen (Higher derivatives)

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Die Funktion ${}f$ heißt ${}n$-mal differenzierbar, wenn sie ${}(n-1)$-mal differenzierbar ist und die ${}(n-1)$-te Ableitung, also ${}f^{(n-1)}$, differenzierbar ist. Die Ableitung

${}f^{(n)}(x):=(f^{(n-1)})'(x)\,$

nennt man dann die ${}n$-te Ableitung von ${}f$.

 

Definition:Stetig differenzierbar (Continuously differentiable)

Sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ stetig differenzierbar ist, wenn ${}f$ differenzierbar ist und die Ableitung ${}f'$ stetig ist.

 

Definition:Die Zahl ${}\pi$ (${}\pi$)

Es sei ${}s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall ${}[0,2]$. Die Kreiszahl ${}\pi$ ist durch

${}\pi :=2s\,$

definiert.

 

Definition:Arkussinus (Arcsine)

Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist

$[-1,1]\longrightarrow [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}],\,x\longmapsto \arcsin x,$

und heißt Arkussinus.

 

Definition:Arkuskosinus (Arccosine)

Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist

$[-1,1]\longrightarrow [0,\pi ],\,x\longmapsto \arccos x,$

und heißt Arkuskosinus.

 

Definition:Taylor-Polynom (Taylor-polynomial)

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}n$-mal differenzierbare Funktion und ${}a\in I$. Dann heißt

${}T_{a,n}(f)(x):=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\,$

das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$.

 

Definition:Taylor-Reihe (Taylor-series)

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine unendlich oft differenzierbare Funktion und ${}a\in I$. Dann heißt

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$

die Taylor-Reihe zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$.

 

Definition:Treppenfunktion (Staircase function)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen ${}a,b\in \mathbb {R}$. Dann heißt eine Funktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b\,$

von ${}I$ derart gibt, dass ${}t$ auf jedem offenen Teilintervall ${}]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.

 

Definition:Treppenintegral (Integral of staircase function)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen ${}a,b\in \mathbb {R}$ und sei

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Treppenfunktion zur Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$. Dann heißt

${}T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})\,$

das Treppenintegral von ${}t$ auf ${}I$.

 

Definition:Obere Treppenfunktion (Upper staircase function)

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine obere Treppenfunktion zu ${}f$, wenn ${}t(x)\geq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist. Eine Treppenfunktion

$s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

heißt eine untere Treppenfunktion zu ${}f$, wenn ${}s(x)\leq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist.

 

Definition:Oberes Treppenintegral (Upper staircase integral)

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion

$t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$, ${}i=0,\ldots ,n$, und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, heißt das Treppenintegral

${}T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$

ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von ${}f$ auf ${}I$.

 

Definition:Unteres Treppenintegral (Lower staircase integral)

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion

$s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$, ${}i=0,\ldots ,n$, und den Werten ${}s_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, heißt

${}S:=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$

ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von ${}f$ auf ${}I$.

 

Definition:Oberintegral (Upper integral)

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Obersummen von oberen Treppenfunktionen von ${}f$ das Oberintegral von ${}f$.

 

Definition:Unterintegral (Lower integral)

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Untersummen von unteren Treppenfunktionen von ${}f$ das Unterintegral von ${}f$.

 

Definition:Riemann-integrierbar (kompaktes Intervall) (Riemann-integrable function (compact interval))

Es sei ${}I$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von ${}f$ existieren und übereinstimmen.

 

Definition:Bestimmtes Integral (Definite integral)

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

$f\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von ${}f$ über ${}I$. Es wird mit

$\int _{a}^{b}f(t)\,dt{\text{ oder mit }}\int _{I}^{}f(t)\,dt$

bezeichnet.

 

Definition:Riemann-integrierbar (Riemann-integrable function)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von ${}f$ auf jedes kompakte Intervall ${}[a,b]\subseteq I$ Riemann-integrierbar ist.

 

Definition:Integralfunktion (Integral function, indefinite integral)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Riemann-integrierbare Funktion und ${}a\in I$. Dann heißt die Funktion

$I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$

die Integralfunktion zu ${}f$ zum Startpunkt ${}a$.

 

Definition:Stammfunktion (Antiderivative, primitive function)

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Eine Funktion

$F\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

heißt Stammfunktion zu ${}f$, wenn ${}F$ auf ${}I$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in I$ gilt.

 

Definition:Grenzwert einer Funktion gegen unendlich (Limit of a function (${}\infty$))

Es sei ${}T=[a,\infty ]$ (oder $T=[-\infty ,a]$) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}b\in \mathbb {R}$ Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ für ${}x\rightarrow +\infty$ (bzw. $x\rightarrow -\infty$), wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}x_{0}\geq a$ (bzw. $x_{0}\leq a$) gibt mit ${}\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon$ für alle ${}x\geq x_{0}$ (bzw. $x\leq x_{0}$). In diesem Fall schreibt man

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)=b$

(bzw. $\operatorname {lim} _{x\rightarrow -\infty }\,f(x)=b$).

 

Definition:Uneigentliches Integral (Improper integral)

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}r$ ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${}I$ und ${}a\in I$. Es sei eine stetige Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

gegeben. Man sagt, dass das uneigentliche Integral zu ${}f$ für ${}x\rightarrow r$ existiert, wenn der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow r}\,\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch

$\int _{a}^{r}f(t)\,dt$

und nennt dies das uneigentliche Integral von ${}a$ nach ${}r$

 

Definition:Beidseitig uneigentliches Integral (Two-sided improper integral)

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall mit den beiden (uneigentlichen) Randpunkten ${}r$ und ${}s$ von ${}I$. Es sei eine stetige Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

gegeben. Man sagt, dass das (beidseitig) uneigentliche Integral

$\int _{r}^{s}f(t)\,dt$

existiert, wenn für ein ${}a\in I$ die beiden einseitig uneigentlichen Integrale

$\int _{r}^{a}f(t)\,dt\,\,{\text{ und }}\,\,\int _{a}^{s}f(t)\,dt$

existieren. In diesem Fall setzt man

$\int _{r}^{s}f(t)\,dt:=\int _{r}^{a}f(t)\,dt+\int _{a}^{s}f(t)\,dt$

und nennt dies das uneigentliche Integral zu ${}f$ von ${}r$ nach ${}s$.

 

Definition:Fakultätsfunktion (Factorial function)

Für ${}x\in \mathbb {R}$, ${}x>-1$, heißt die Funktion

$x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$

die Fakultätsfunktion.

 

Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung (Ordinary differential equation)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion. Dann nennt man

${}y'=f(t,y)\,$

die (gewöhnliche) Differentialgleichung zu ${}f$ (oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld ${}f$).

 

Definition:Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung (Solution to an ordinary differential equation)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

heißt eine Funktion

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$

auf einem (mehrpunktigen) Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Es ist ${}(t,y(t))\in U$ für alle ${}t\in I$.
2. Die Funktion ${}y$ ist differenzierbar.
3. Es ist ${}y'(t)=f(t,y(t))$ für alle ${}t\in I$.

 

Definition:Anfangswertproblem (Initial value problem)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion. Es sei ${}(t_{0},y_{0})\in U$ vorgegeben. Dann nennt man

$y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung ${}y'=f(t,y)$ mit der Anfangsbedingung ${}y(t_{0})=y_{0}$.

 

Definition:Lösung des Anfangswertproblems (Solution to an initial value problem)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion. Es sei ${}(t_{0},y_{0})\in U$ vorgegeben. Dann nennt man eine Funktion

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$

auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung des Anfangswertproblems

$y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$

wenn ${}y$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

${}y(t_{0})=y_{0}\,$

gilt.

 

Definition:Ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung (Space-independent ordinary differential equation)

Eine gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

heißt ortsunabhängig, wenn die Funktion ${}f$ nicht von ${}y$ abhängt, wenn also ${}f(t,y)=g(t)$ mit einer Funktion ${}g$ in der einen Variablen ${}t$ gilt.

 

Definition:Zeitunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung (Time-independent ordinary differential equation)

Eine gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion ${}f$ nicht von ${}t$ abhängt, wenn also ${}f(t,y)=h(y)$ mit einer Funktion ${}h$ in der einen Variablen ${}y$ gilt.

 

Definition:Homogene lineare gewöhnliche eindimensionale Differentialgleichung (Homogeneous linear ordinary differential equation)

Eine Differentialgleichung der Form

${}y'=g(t)y\,$

mit einer Funktion (${}I$ reelles Intervall)

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

heißt gewöhnliche homogene lineare eindimensionale Differentialgleichung.

 

Definition:Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung (Inhomogeneous linear ordinary differential equation)

Eine Differentialgleichung der Form

${}y'=g(t)y+h(t)\,$

mit zwei auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen ${}t\mapsto g(t)$ und ${}t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.

 

Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen (Ordinary differential equation with separated variables)

Eine Differentialgleichung der Form

${}y'=g(t)\cdot h(y)\,$

mit zwei Funktionen (dabei sind ${}I$ und ${}J$ reelle Intervalle)

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

und

$h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$

heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.