Definition:Teilmenge (Subset)
Definition:Produktmenge (Cartesian product)
Es seien zwei Mengen
und
gegeben. Dann nennt man die Menge
-

die Produktmenge der beiden Mengen.
Definition:Abbildung (Mapping)
Definition:Verknüpfung (Operation)
Definition:Körper (ausführlich) (Field)
Eine Menge
heißt ein Körper, wenn es zwei
Verknüpfungen
(genannt Addition und Multiplikation)
-
und zwei verschiedene Elemente
gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt:
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Negativen: Zu jedem
gibt es ein Element
mit
.
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt:
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Inversen: Zu jedem
mit
gibt es ein Element
mit
.
- Distributivgesetz:
Für alle
gilt
.
Definition:Anordnungsaxiome der reellen Zahlen (Ordering axioms for real numbers)
Die reellen Zahlen
erfüllen die folgenden Anordnungsaxiome.
- Für je zwei reelle Zahlen
ist entweder
oder
oder
.
- Aus
und
folgt
(für beliebige
).
- Aus
folgt
(für beliebige
).
- Aus
und
folgt
(für beliebige
).
- Für jede reelle Zahl
gibt es eine natürliche Zahl
mit
.
Definition:Intervalle (Intervals)
Für reelle Zahlen
,
,
nennt man
![{\displaystyle {}[a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x\leq b\right\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942a781865320767d856aad71cbf7630b98faea0)
das abgeschlossene Intervall.
![{\displaystyle {}]a,b[={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x<b\right\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6abe1dd0eac46ffe03a32c300251ef6513a77161)
das offene Intervall.
![{\displaystyle {}]a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x\leq b\right\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c0983c9df73dbff86422b5760a99dbdbcdbc4a0)
das linksseitig offene Intervall.

das rechtsseitig offene Intervall.
Definition:Gaußklammer (Floor)
Zu einer
reellen Zahl
ist die Gaußklammer
durch
-
definiert.
Definition:Betrag einer reellen Zahl (Absolute value)
Für eine reelle Zahl
ist der Betrag folgendermaßen definiert.
-

Definition:Fakultät (Factorial)
Definition:Binomialkoeffizient (Binomial coefficient)
Definition:Komplexe Zahlen (Complex numbers)
Die Menge
mit
und
,
mit der komponentenweisen Addition und der durch
-

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit
-
bezeichnet.
Definition:Real- und Imaginärteil (Real part, imaginary part)
Zu einer
komplexen Zahl
-

heißt
-

der Realteil von
und
-

heißt der Imaginärteil von
.
Definition:Komplexe Konjugation (Complex conjugation)
Die
Abbildung
-
heißt komplexe Konjugation.
Definition:Betrag einer komplexen Zahl (Absolute value of a complex number)
Zu einer
komplexen Zahl
-

ist der Betrag durch
-

definiert.
Definition:Injektiv Surjektiv Bijektiv (Injektive surjektive bijektive)
Definition:Umkehrabbildung (Inverse mapping)
Definition:Hintereinanderschaltung (Composition of mappings)
Es seien
und
Mengen und
-
und
-
Abbildungen.
Dann heißt die Abbildung
-
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und
.
Definition:Polynom in einer Variablen (Polynomial in one variable)
Es sei
ein
Körper. Ein Ausdruck der Form
-
mit
heißt Polynom in einer Variablen über
.
Definition:Grad eines Polynoms (Degree of a polynomial)
Definition:Rationale Funktion (Rational Function)
Zu zwei
Polynomen
,
,
heißt die
Funktion
-
wobei
das
Komplement
der
Nullstellen
von
ist, eine rationale Funktion.
Definition:Lineares Gleichungssystem (System of linear equations)
Es sei
ein
Körper und
für
und
.
Dann nennt man
-
ein
(homogenes)
lineares Gleichungssystem in den Variablen
. Ein Tupel
heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn
für alle
ist.
Wenn
beliebig
ist, so heißt
-
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel
heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn
für alle
ist.
Definition:Äquivalente lineare Gleichungssysteme (Equivalent system of linear equations)
Es sei
ein
Körper und seien zwei
(inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
Definition:Matrix (Matrix)
Es sei
ein
Körper und
und
zwei Indexmengen. Eine
-Matrix ist eine
Abbildung
-
Bei
und
spricht man von einer
-Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als
-
Definition:Matrizenmultiplikation (Matrix multiplication)
Definition:Standardvektor (Standard basis vector)
Es sei
ein
Körper und
. Dann nennt man zu
den Vektor
-
wobei

an der

-ten Stelle steht, den

-ten
Standardvektor.
Definition:Vektorraum (Vector space)
Es sei
ein
Körper
und
eine Menge mit einem ausgezeichneten Element
und mit zwei Abbildungen
-
und
-
Dann nennt man
einen
-Vektorraum
(oder einen Vektorraum über
),
wenn die folgenden Axiome erfüllt sind
(dabei seien
und
beliebig)
,
,
,
- Zu jedem
gibt es ein
mit
,
,
,
,
.
Definition:Untervektorraum (Linear subspace)
Definition:Linearkombination (Linear combination)
Definition:Erzeugendensystem (Spanning system)
Definition:Aufgespannter Unterraum (Linear span)
Definition:Linear unabhängig (endliche Familie) (Linearly independent)
Definition:Dimension (Dimension)
Definition:Lineare Abbildung (Linear map)
Definition:Matrix zu linearer Abbildung (Matrix for a linear mapping)
Es sei
ein
Körper und sei
ein
-
dimensionaler Vektorraum
mit einer
Basis
und sei
ein
-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
.
Zu einer
linearen Abbildung
-
heißt die
-
Matrix
-

wobei
die
-te
Koordinate
von
bezüglich der Basis
ist, die beschreibende Matrix zu
bezüglich der Basen.
Zu einer Matrix
heißt die durch
-
gemäß
Satz 9.5
definierte lineare Abbildung
die durch
festgelegte lineare Abbildung.
Definition:Rang einer linearen Abbildung (Rank)
Definition:Invertierbare Matrix (Invertible matrix)
Definition:Inverse Matrix (Inverse Matrix)
Definition:Elementare Zeilenumformungen (Elementary row operations)
Definition:Elementarmatrizen (Elementary matrices)
Definition:Spaltenrang (Rank of a matrix)
Definition:Determinante (rekursive Definition) (Determinant)
Es sei
ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
. Zu
sei
diejenige
-Matrix, die entsteht, wenn man in
die erste Spalte und die
-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von
durch
-

Definition:Transponierte Matrix (Transposed matrix)
Definition:Determinante eines Endomorphismus (Determinant of a linear map)
Definition:Reelle Folge (Real sequence)
Eine reelle Folge ist eine
Abbildung
-
Definition:Konvergenz einer reellen Folge (Convergent sequence)
Es sei
eine
reelle Folge
und es sei
.
Man sagt, dass die Folge gegen
konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem positiven
,
,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Abschätzung
-

gilt. In diesem Fall heißt
der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
-

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert
(ohne Bezug auf einen Grenzwert.),
andernfalls, dass sie divergiert.
Definition:Beschränktheits-Eigenschaften (Lower bound)
Definition:Wachsende Folge (Increasing sequence)
Definition:Cauchy-Folge (Cauchy sequence)
Definition:Teilfolge (Subsequence)
Definition:Intervallschachtelung (Nested intervals)
Eine Folge von
abgeschlossenen Intervallen
-
in
heißt eine Intervallschachtelung, wenn
für alle
ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
-
gegen
konvergiert.
Definition:Bestimmt divergent (Divergent to

)
Definition:Reihe (Series)
Definition:Absolute Konvergenz einer Reihe (Absolutely convergent)
Eine
Reihe
-
von
reellen Zahlen
heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
-
konvergiert.
Definition:Die geometrische Reihe (Geometric series)
Für jedes
heißt die
Reihe
-
die
geometrische Reihe in

.
Definition:Stetige Funktion (Continuous function)
Definition:Grenzwert einer Funktion (Limit of a function)
Definition:Maximum und Minimum (Maximum)
Definition:Lokales Maximum und Minimum (Local maximum)
Definition:Isoliertes lokales Maximum und Minimum (Isolated local maximum)
Definition:Potenzreihe (Power series)
Definition:Cauchy-Produkt (Cauchy product)
Zu zwei
Reihen
und
reeller Zahlen
heißt die Reihe
-
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
Definition:Exponentialreihe (Exponential series)
Für jedes
heißt die
Reihe
-
die Exponentialreihe in
.
Definition:Exponentialfunktion (Exponential function)
Die
Funktion
-
heißt
(reelle)
Exponentialfunktion.
Definition:Eulersche Zahl (Euler's number)
Die reelle Zahl
-

heißt
eulersche Zahl.
Definition:Natürlicher Logarithmus (Natural logarithm)
Der natürliche Logarithmus
-
ist als die
Umkehrfunktion
der
reellen Exponentialfunktion
definiert.
Definition:Exponentialfunktion zu einer Basis (Exponential function to base)
Definition:Logarithmus zu einer Basis (Logarithm to base)
Definition:Sinus hyperbolicus (Hyperbolic sine)
Die für
durch
-

definierte
Funktion
heißt Sinus hyperbolicus.
Definition:Kosinus hyperbolicus (Hyperbolic cosine)
Die für
durch
-

definierte
Funktion
heißt Kosinus hyperbolicus.
Definition:Tangens hyperbolicus (Hyperbolic tangent)
Die durch
-
definierte
Funktion
heißt Tangens hyperbolicus.
Definition:Ebene Drehung (Rotation)
Eine
lineare Abbildung
-
die durch eine
Drehmatrix
(mit einem
) gegeben ist, heißt
Drehung.
Definition:Kosinusreihe und Sinusreihe (Sine (series))
Für
heißt
-
die
Kosinusreihe und
-
die Sinusreihe zu
.
Definition:Tangens (Tangent)
Die Funktion
-
heißt
Tangens
und die Funktion
-
heißt
Kotangens.
Definition:Differenzenquotient (Difference quotient)
Definition:Differenzierbarkeit (Differentiability)
Definition:Ableitungsfunktion (Derivative)
Definition:Höhere Ableitungen (Higher derivatives)
Definition:Stetig differenzierbar (Continuously differentiable)
Definition:Die Zahl

(

)
Definition:Arkussinus (Arcsine)
Die
Umkehrfunktion
der reellen
Sinusfunktion
ist
-
und heißt Arkussinus.
Definition:Arkuskosinus (Arccosine)
Die
Umkehrfunktion
der reellen
Kosinusfunktion
ist
-
und heißt Arkuskosinus.
Definition:Taylor-Polynom (Taylor-polynomial)
Definition:Taylor-Reihe (Taylor-series)
Definition:Treppenfunktion (Staircase function)
Definition:Treppenintegral (Integral of staircase function)
Definition:Obere Treppenfunktion (Upper staircase function)
Definition:Oberes Treppenintegral (Upper staircase integral)
Es sei
ein
beschränktes Intervall
und sei
-
eine
Funktion. Zu jeder
oberen Treppenfunktion
-
von
zur Unterteilung
,
,
und den Werten
,
,
heißt das
Treppenintegral
-

ein oberes Treppenintegral
(oder eine Obersumme)
von
auf
.
Definition:Unteres Treppenintegral (Lower staircase integral)
Es sei
ein
beschränktes Intervall
und sei
-
eine
Funktion. Zu jeder
unteren Treppenfunktion
-
von
zur Unterteilung
,
,
und den Werten
,
,
heißt
-

ein unteres Treppenintegral
(oder eine Untersumme)
von
auf
.
Definition:Oberintegral (Upper integral)
Definition:Unterintegral (Lower integral)
Definition:Riemann-integrierbar (kompaktes Intervall) (Riemann-integrable function (compact interval))
Definition:Bestimmtes Integral (Definite integral)
Es sei
ein
kompaktes Intervall. Zu einer
Riemann-integrierbaren Funktion
-
heißt das
Oberintegral
(das nach Definition mit dem
Unterintegral
übereinstimmt)
das bestimmte Integral von
über
. Es wird mit
-
bezeichnet.
Definition:Riemann-integrierbar (Riemann-integrable function)
Definition:Integralfunktion (Integral function, indefinite integral)
Definition:Stammfunktion (Antiderivative, primitive function)
Definition:Grenzwert einer Funktion gegen unendlich (Limit of a function (

))
Definition:Uneigentliches Integral (Improper integral)
Definition:Beidseitig uneigentliches Integral (Two-sided improper integral)
Es sei
ein
Intervall
mit den beiden
(uneigentlichen) Randpunkten
und
von
. Es sei eine
stetige Funktion
-
gegeben. Man sagt, dass das
(beidseitig)
uneigentliche Integral
-
existiert, wenn für ein
die beiden einseitig
uneigentlichen Integrale
-
existieren. In diesem Fall setzt man
-

und nennt dies das uneigentliche Integral zu
von
nach
.
Definition:Fakultätsfunktion (Factorial function)
Für
,
,
heißt die
Funktion
-
die Fakultätsfunktion.
Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung (Ordinary differential equation)
Es sei
eine Teilmenge und es sei
-
eine
Funktion. Dann nennt man
-

die
(gewöhnliche)
Differentialgleichung zu
(oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld
).
Definition:Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung (Solution to an ordinary differential equation)
Es sei
eine Teilmenge und es sei
-
eine
Funktion. Zur
gewöhnlichen Differentialgleichung
-

heißt eine
Funktion
-
auf einem
(mehrpunktigen)
Intervall
eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Es ist
für alle
.
- Die Funktion
ist
differenzierbar.
- Es ist
für alle
.
Definition:Anfangswertproblem (Initial value problem)
Es sei
eine Teilmenge und es sei
-
eine
Funktion. Es sei
vorgegeben. Dann nennt man
-
das Anfangswertproblem
zur
gewöhnlichen Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung
.
Definition:Lösung des Anfangswertproblems (Solution to an initial value problem)
Es sei
eine Teilmenge und es sei
-
eine
Funktion. Es sei
vorgegeben. Dann nennt man eine
Funktion
-
auf einem
Intervall
eine Lösung des Anfangswertproblems
-
wenn
eine
Lösung der Differentialgleichung
ist und wenn zusätzlich
-

gilt.
Definition:Ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung (Space-independent ordinary differential equation)
Definition:Zeitunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung (Time-independent ordinary differential equation)
Definition:Homogene lineare gewöhnliche eindimensionale Differentialgleichung (Homogeneous linear ordinary differential equation)
Eine
Differentialgleichung
der Form
-

mit einer
Funktion
(
reelles Intervall)
-
heißt gewöhnliche homogene lineare eindimensionale Differentialgleichung.
Definition:Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung (Inhomogeneous linear ordinary differential equation)
Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen (Ordinary differential equation with separated variables)
Eine
Differentialgleichung
der Form
-

mit zwei
Funktionen
(dabei sind
und
reelle Intervalle)
-
und
-
heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.