Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 50/kontrolle

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Aufwärmaufgaben

Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die Funktion

den maximalen Definitionsbereich und untersuche die Funktion auf Extrema.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf kritische Punkte und Extrema.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definierten Funktion


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

(es ist also ).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von und stelle den Gradienten zu auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

Für welches besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine Bilinearform auf . Zeige, dass genau dann symmetrisch ist, wenn es eine Basis von mit

für alle gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform auf . Es sei eine Orthogonalbasis auf mit der Eigenschaft für alle . Zeige, dass positiv definit ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass die Gramsche Matrix zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge oder sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer symmetrischen Bilinearform, das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Einschränkung der Form positiv definit ist, nicht eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Hesse-Form von in jedem Punkt symmetrisch ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im bezüglich der Basis und .


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform auf und einer Basis von derart, dass für alle ist, aber nicht positiv definit ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei . Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei

eine Funktion und betrachte

Zeige, dass allenfalls im Nullpunkt ein isoliertes lokales Extremum besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.




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