Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 57/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Flächeninhalt eines Annulus gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y),$

flächentreu ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+\sin y,y+\cos x).$

Berechne das Minimum und das Maximum von ${}\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert$ auf dem Quadrat ${}Q=[0,2\pi ]\times [0,2\pi ]$. Welche Abschätzung ergibt sich daraus für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q))$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3},$

in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix und die Jacobi-Determinante davon. Ebenso für ${}z^{4}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde möglichst große offene Teilmengen ${}G\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ und ${}H\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3},$

einen Diffeomorphismus von ${}G$ nach ${}H$ induziert.

Aufgabe * Aufgabe 57.7 ändern

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

gleich ${}1$ oder gleich ${}-1$ ist.

Tipp: Was passiert mit dem Einheitswürfel?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

derart, dass ${}\varphi$ volumentreu, aber keine Isometrie ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein volumentreuer ${}C^{1}$-Diffeomorphismus. Es sei ${}G$ zusammenhängend. Zeige, dass entweder ${}(J(\varphi ))(x)=1$ für alle ${}x\in G$ oder aber ${}(J(\varphi ))(x)=-1$ für alle ${}x\in G$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme durch Integration die ${}x$- und die ${}y-$Koordinate des Schwerpunktes der oberen Einheitshalbkugel (siehe Beispiel 56.12).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel eines Diffeomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

auf offenen Mengen ${}G,H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einer kompakten Teilmenge ${}T\subseteq G$ an derart, dass für den Schwerpunkt ${}S$ von ${}T$ und den Schwerpunkt ${}S'$ von ${}\varphi (T)$ nicht ${}\varphi (S)=S'$ gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3}-y^{2},xy^{2}).$

Berechne das Minimum und das Maximum von ${}\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert$ auf den beiden Quadraten ${}Q_{1}=[0,1]\times [0,1]$ und ${}Q_{2}=[1,2]\times [1,2]$. Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q_{1}))$ und für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q_{2}))$?

Aufgabe (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$[0,10]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

und interessieren uns für die Straße der Breite ${}1$, deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge ${}1$ (mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen) untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine (möglichst einfache) Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe das komplexe Potenzieren

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{n},$

in Polarkoordinaten.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Jacobi-Matrix und die Jacobi-Determinante zur Abbildung

${\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2},\,z\longmapsto z^{n},$

in einem beliebigen Punkt ${}P=(a,b)$ mit der Hilfe von Polarkoordinaten.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Massenverteilung auf ${}T$ mit der Gesamtmasse ${}M>0$. Zeige, dass

${}t_{i}={\frac {1}{M}}\int _{T}y_{i}\cdot fd\lambda ^{n}\,$

die ${}i$-te Koordinate des Schwerpunktes von ${}T$ bezüglich dieser Basis ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige durch ein Beispiel, dass unter den Polarkoordinaten der Schwerpunkt einer kompakten Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ nicht in den Schwerpunkt des Bildes ${}\varphi (T)$ überführt werden muss.