Kurs:Mathematik für Anwender II/1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  2. Eine polynomiale Funktion
  3. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .

  4. Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
  5. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  6. Ein -Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen und in euklidischen Vektorräumen .
  7. Die Jacobi-Determinante zu einer total differenzierbaren Abbildung

    auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum in einem Punkt .

  8. Eine harmonische Funktion

    auf einer offenen Teilmenge .

Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  2. Eine polynomiale Funktion
  3. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .

  4. Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
  5. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  6. Ein -Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen und in euklidischen Vektorräumen .
  7. Die Jacobi-Determinante zu einer total differenzierbaren Abbildung

    auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum in einem Punkt .

  8. Eine harmonische Funktion

    auf einer offenen Teilmenge .


 

Aufgabe * (Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
  2. Die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.
  3. Der Satz von Schwarz.
  4. Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) um die -Achse zu einer stetigen Funktion .

Lösung

  1. Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Dann gilt die Abschätzung
    für alle .
  2. Es sei
    eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum. Dann ist genau dann trigonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom von in Linearfaktoren zerfällt.
  3. Sei offen und eine Abbildung, so dass für die zweiten Richtungsableitungen und existieren und stetig sind. Dann gilt
  4. Das Volumen des durch bestimmten Rotationskörpers ist


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Länge der durch

gegebenen Schraubenlinie für zwischen und , wobei .

Lösung

Es ist


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld

längs des Weges

Lösung

Es ist


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der linearen Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

Lösung

Das charakteristische Polynom ist

Die Eigenwerte der lineraren Abbildung sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Der erste Eigenwert ist daher . Die weiteren Eigenwerte ergeben sich als die Lösungen von . Diese sind und .


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Lösung

Wir machen den Ansatz

aufgrund der Anfangswertbedingungen ist und . Es ist und . Aus der Gleichung

lassen sich die Koeffizienten bestimmen.

Koeffizientenvergleich zu ergibt

also ist .

Koeffizientenvergleich zu ergibt

also ist .

Koeffizientenvergleich zu ergibt

also ist .

Daher ist

die Lösung des Anfangswertproblems bis zur Ordnung .


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

mit

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert . Zeige, dass die Abbildung

() eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems ist.

Lösung

Dies folgt direkt aus


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .

Lösung

Die relevanten Ableitungen sind

Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt gleich

Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich


 

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Lösung

Es seien die Markierungen der möglichen Intervallunterteilungen. Der Flächeninhalt der zugehörigen maximalen unteren Treppenfunktion von ist

Die partiellen Ableitungen davon sind

Wir bestimmen die kritischen Punkte. Aus der ersten Gleichung folgt

(den negativen Fall kann man ausschließen). Wir setzen in die zweite Gleichung ein und erhalten die Bedingung

woraus

folgt. Daher ist

und der einzige kritische Punkt ist

Die Hesse-Matrix von ist

Im kritischen Punkt ist der Eintrag links oben negativ. Die Determinante ist

positiv, so dass die Hesse-Matrix negativ definit ist und daher im kritischen Punkt ein Maximum vorliegt. Da es auch in einer geeigneten (kleinen) offenen Umgebung des abgeschlossenen Definitionsbereiches keinen weiteren kritischen Punkt gibt, liegt ein absolutes Maximum vor. Der Wert ist


 

Aufgabe * (5 (2+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass in regulär ist.

Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist

b) Die Jacobi-Matrix im Nullpunkt ist

Diese Matrix hat den Rang , so dass der Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Die Jacobi-Matrix in ist

Die Determinante der vorderen -Untermatrix ist , so dass die ersten vier Spaltenvektoren linear unabhängig sind und daher der Rang der Matrix gleich ist. Daher handelt es sich um einen regulären Punkt.


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung .

Lösung

Wir schreiben das Vektorfeld als . Die konstante Anfangsbedingung führt zu . Die erste Picard-Lindelöf-Iteration führt auf

Die zweite Picard-Lindelöf-Iteration führt auf

Die dritte Picard-Lindelöf-Iteration führt auf


 

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu .

Lösung

a) Es ist

und ebenso

es ist

und ebenso

und schließlich ist

und ebenso

die Integrabilitätsbedingungen sind also erfüllt. Da sternförmig ist, handelt es sich um ein Gradientenfeld.

b) Ein Potential zu ist

wie man durch Ableiten bestätigt.


 

Aufgabe * (8 (3+5) Punkte)

Auf einer kreisförmigen Platte mit Radius und Mittelpunkt sei durch

eine Massenverteilung gegeben.

a) Bestimme die Gesamtmasse von .

b) Bestimme den Schwerpunkt von .

Lösung

a) Es ist

b) Die -Koordinate des Schwerpunktes muss sein, da die Massenverteilung symmetrisch bezüglich der -Achse (also unter der Spiegelung ) ist.

Die -Koordinate des Schwerpunktes berechnen wir (mit der Substitution ) zu


 

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

a) Schreibe die komplexe Abbildung

in reellen Koordinaten (mit Hilfe der Identifizierung ).

b) Zeige, dass die beiden Komponentenfunktionen aus Teil a) (also der Realteil und der Imaginärteil von ) harmonische Funktionen sind.

Lösung

a) Es ist

die Komponentenfunktionen sind also und .

b) Es ist

und


 




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