Formuliere die folgenden Sätze.
- Die
Abschätzung von Cauchy-Schwarz
(oder
Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
- Die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.
- Der
Satz von Schwarz.
- Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers
(zum Subgraphen)
um die -Achse zu einer stetigen Funktion
.
- Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Dann gilt die Abschätzung
-
für alle .
- Es sei
-
eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum. Dann ist genau dann trigonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom von in Linearfaktoren zerfällt.
- Es sei offen und
eine Abbildung, so dass für die zweiten Richtungsableitungen und existieren und stetig sind. Dann gilt
-
- Das Volumen des durch bestimmten Rotationskörpers ist
-
Bestimme die
Länge
der durch
-
gegebenen Schraubenlinie für zwischen
und ,
wobei
.
Es ist
Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld
-
längs des Weges
-
Es ist
Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der linearen Abbildung
-
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
-
beschrieben wird.
Löse das
Anfangswertproblem
-
durch einen
Potenzreihenansatz
bis zur vierten Ordnung.
Wir machen den Ansatz
-
aufgrund der Anfangswertbedingungen ist und . Es ist
und .
Aus der Gleichung
-
lassen sich die Koeffizienten bestimmen.
Koeffizientenvergleich zu ergibt
-
also ist .
Koeffizientenvergleich zu ergibt
-
also ist .
Koeffizientenvergleich zu ergibt
-
also ist .
Daher ist
-
die Lösung des Anfangswertproblems bis zur Ordnung .
Dies folgt direkt aus
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
-
im Punkt .
Die relevanten Ableitungen sind
-
-
-
-
-
Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt gleich
-
-
-
-
-
-
Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich
-
Wir betrachten die Funktion
-
Für welche
, ,
besitzt die zugehörige dreistufige
(maximale)
untere Treppenfunktion
zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
Es seien die Markierungen der möglichen Intervallunterteilungen. Der Flächeninhalt der zugehörigen maximalen unteren Treppenfunktion von ist
Die partiellen Ableitungen davon sind
-
Wir bestimmen die kritischen Punkte. Aus der ersten Gleichung folgt
-
(den negativen Fall kann man ausschließen).
Wir setzen
in die zweite Gleichung ein und erhalten die Bedingung
-
woraus
-
folgt. Daher ist
-
und der einzige kritische Punkt ist
-
Die Hesse-Matrix von ist
-
Im kritischen Punkt ist der Eintrag links oben negativ. Die Determinante ist
-
positiv, so dass die Hesse-Matrix negativ definit ist und daher im kritischen Punkt ein Maximum vorliegt. Da es auch in einer geeigneten
(kleinen) offenen Umgebung des abgeschlossenen Definitionsbereiches keinen weiteren kritischen Punkt gibt, liegt ein absolutes Maximum vor. Der Wert ist
Aufgabe * (5 (2+1+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
-
a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.
b) Zeige, dass im Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Zeige, dass in regulär ist.
a) Die Jacobi-Matrix ist
-
b) Die Jacobi-Matrix im Nullpunkt ist
-
Diese Matrix hat den Rang , so dass der Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Die Jacobi-Matrix in ist
-
Die Determinante der vorderen -Untermatrix ist , so dass die ersten vier Spaltenvektoren linear unabhängig sind und daher der Rang der Matrix gleich ist. Daher handelt es sich um einen regulären Punkt.
Wir schreiben das Vektorfeld als . Die konstante Anfangsbedingung führt zu . Die erste Picard-Lindelöf-Iteration führt auf
Die zweite Picard-Lindelöf-Iteration führt auf
Die dritte Picard-Lindelöf-Iteration führt auf
Wir betrachten das
Vektorfeld
-
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein
Gradientenfeld ist.
b) Bestimme ein
Potential
zu .
a) Es ist
-
und ebenso
-
es ist
-
und ebenso
-
und schließlich ist
-
und ebenso
-
die Integrabilitätsbedingungen sind also erfüllt. Da sternförmig ist, handelt es sich um ein Gradientenfeld.
b) Ein
Potential
zu ist
-
wie man durch Ableiten bestätigt.
Auf einer kreisförmigen Platte mit Radius und Mittelpunkt sei durch
-
eine Massenverteilung gegeben.
a) Bestimme die Gesamtmasse von .
b) Bestimme den
Schwerpunkt
von .
a) Schreibe die komplexe Abbildung
-
in reellen Koordinaten
(mit Hilfe der Identifizierung ).
b) Zeige, dass die beiden Komponentenfunktionen aus Teil a)
(also der Realteil und der Imaginärteil von )
harmonische Funktionen
sind.
a) Es ist
-
die Komponentenfunktionen sind also und .
b) Es ist
und
- Hilfsmittel
-
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