Kurs:Mathematik für Anwender II/2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Norm zu einem Skalarprodukt auf einem -Vektorraum .
  2. Eine Orthonormalbasis in einem euklidischen Vektorraum .
  3. Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
  4. Die Faser zu einer Abbildung

    über einem Punkt .

  5. Das totale Differential in einem Punkt einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung

    (dabei seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume).

  6. Ein kritischer Punkt einer total differenzierbaren Abbildung
  7. Eine sternförmige Teilmenge .
  8. Die Laplace-Ableitung einer zweimal differenzierbaren Funktion

Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Norm zu einem Skalarprodukt auf einem -Vektorraum .
  2. Eine Orthonormalbasis in einem euklidischen Vektorraum .
  3. Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
  4. Die Faser zu einer Abbildung

    über einem Punkt .

  5. Das totale Differential in einem Punkt einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung

    (dabei seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume).

  6. Ein kritischer Punkt einer total differenzierbaren Abbildung
  7. Eine sternförmige Teilmenge .
  8. Die Laplace-Ableitung einer zweimal differenzierbaren Funktion


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt zu einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen

    und .
  2. Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Kurve
  3. Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld
    gegebenes Anfangswertproblem.
  4. Die Formel für das Volumen einer kompakten Teilmenge unter einer linearen Abbildung

Lösung

  1. Die Abbildung ist genau dann im Punkt stetig, wenn für jede konvergente Folge in mit auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert ist.
  2. Es gibt ein mit
  3. Zu und einer Lösung

    der eindimensionalen Differentialgleichung

    ist

    eine Lösung des Anfangswertproblems

  4. Es ist


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.

Lösung

Der Vektor besitzt die Norm , somit ist

der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu sein und zusammen mit den Untervektorraum aufspannen. Dies führt zum Ansatz

so dass

ist. Somit ist

Die Norm dieses Vektors ist . Der normierte Vektor zu ist demnach

Der dritte Vektor muss senkrecht auf und (bzw. auf und ) stehen. Ein solcher Vektor ist

Daher kann man

als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.


 

Aufgabe * (2 ( ) Punkte)

Wir betrachten die Funktionen

Es seien drei Vektoren. Wir definieren die Kurve

a) Berechne und .

b) Berechne .

c) Zeige, dass ein Vielfaches von und ein Vielfaches von ist.

d) Skizziere für , und das Bild der Kurve für .

Lösung

a) Es ist

und

b) Es ist

c) Es ist

und

d) Skizze.


 

In der folgenden Aufgabe darf elementargeometrisch argumentiert werden.

Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Wir betrachten die reelle Ebene ohne den offenen Kreis mit Mittelpunkt und Radius , also

Eine Person befindet sich im Punkt und möchte zum Punkt , wobei sie sich nur in bewegen darf.

a) Zeige, dass die Person von nach entlang von zwei geraden Strecken kommen kann, deren Gesamtlänge ist.

b) Zeige, dass die Person von nach entlang eines stetigen Weges kommen kann, dessen Gesamtlänge maximal ist.

Lösung

a) Wir betrachten die (obere) Tangente an den Kreis durch . Es sei der Schnittpunkt des Kreises mit dieser Tangente. Diese steht senkrecht auf dem Ortsvektor zu . Nach dem Satz des Pythagoras, angewendet auf das rechtwinklige Dreieck , besitzt die Verbindungsstrecke von nach die Länge . Es sei der Schnittpunkt der Tangente mit der -Achse. Wir betrachten das (rechtwinklige) Dreieck . Der Winkel dieses Dreiecks an stimmt mit dem Winkel des zuerst betrachteten Dreiecks an überein. Daher sind die beiden Dreiecke ähnlich (d.h. es gelten die gleichen Längenverhältnisse) und daher besteht, wenn die Länge von nach bezeichnet, die Beziehung

Also ist . Daher ist die Strecke von nach gleich

Man kann also auf dieser Tangente von nach und von dort mit der gespiegelten Tangente von nach gelangen und legt dabei einen Weg der Länge zurück.

b) Die Person bewegt sich nun von nach längs der Tangenten, folgt dann dem Kreis bis zu dem gegenüberliegenden Punkt und läuft dann längs der gespiegelten Tangenten von nach . Dieser Weg ist offenbar stetig. Es sei der Winkel des Dreiecks an . In diesem rechtwinkligen Dreieck besteht die Beziehung („Gegenkathete durch Hypotenuse“)

Daher ist im Bogenmaß. Wie unter a) bemerkt, tritt dieser Winkel auch im Dreieck an auf und beschreibt daher den Winkel, der den zugehörigen Kreisbogen bestimmt, entlang dem sich die Person bewegt. Da der Radius ist, ist der zugehörige Bogen maximal gleich

Daher ist die Gesamtlänge dieses Weges gleich


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix

über .

Lösung

Das charakteristische Polynom ist

Die Eigenwerte kann man aus der vorletzten Zeile direkt ablesen; diese sind

Zur Berechnung der Eigenräume setzen wir die Eigenwerte für in die obige Matrix ein und bestimmen den Kern.

Für ergibt sich die Matrix

der Kern wird vom Vektor

erzeugt. Also ist .

Für ergibt sich die Matrix

der Kern wird vom Vektor

erzeugt. Also ist .


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .

Lösung

Es handelt sich um ein Zentralfeld, das auf die eindimensionale Differentialgleichung

mit führt. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Es ist

und somit

Also ist

und wegen der Anfangsbedingung muss sein, also ist

Die Lösung für das Zentralfeld ist somit


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .

Lösung

Wir machen den Potenzreihenansatz und . Aufgrund der Anfangsbedingung ist

Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenreihengleichungen

und

die wir gradweise auswerten. Für den Grad (der Potenzreihengleichungen) ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

also ist und . Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

also ist und . Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

also ist und . Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung ist demnach


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .

Lösung

Die relevanten Ableitungen sind

Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt gleich

Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Begründe ohne Differentialrechnung, dass die Funktion

kein lokales Extremum besitzt.

Lösung

Die Funktion ist für streng wachsend und für streng fallend, für ist es umgekehrt. Daher kann man für jeden Punkt in einer beliebig kleinen Ballumgebung den Funktionswert von erhöhen, indem man beibehält und größer (bei ) bzw. kleiner (bei ) macht. Ebenso kann man den Funktionswert kleiner machen, indem man beibehält und größer (bei ) bzw. kleiner (bei ) macht.


 

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass ein Punkt genau dann ein regulärer Punkt von ist, wenn die Koordinaten von paarweise verschieden (also , und ) sind.

Lösung

Die Jacobi-Matrix von ist

Ein Punkt ist genau dann ein regulärer Punkt, wenn der Rang dieser Matrix ist, wenn die Matrix also invertierbar ist.

Wenn ist, so stimmen die erste und die zweite Spalte überein; wenn ist, so stimmen die erste und die dritte Spalte überein; wenn ist, so stimmen die zweite und die dritte Spalte überein. Daher liegt bei Punkten, bei denen zwei Koordinaten übereinstimmen, eine lineare Abhängigkeit zwischen den Spalten vor und der Rang der Matrix ist nicht . Solche Punkte sind also nicht regulär.

Zum Beweis der Umkehrung berechnen wir die Determinante der Matrix. Diese ist (Entwicklung nach der ersten Zeile)

Wenn die Koordinaten paarweise verschieden sind, so ist die Determinante nicht und die Matrix ist invertierbar, also sind diese Punkte regulär (mit diesem Argument beweist man gleichzeitig auch die Hinrichtung).


 

Aufgabe * (11 (4+7) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme zu jedem Punkt das Volumen des Körpers

b) Zeige, dass das (von abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).

Lösung

a) Das Volumen ist

b) Die Ableitung der Volumenfunktion

ist

Ein Minimum kann nur vorliegen, wenn die Ableitung ist. Wir zeigen, dass dies nur für ein der Fall sein kann. Wegen der ersten Komponente muss sein. Wir zeigen, dass die zweite Komponente

ebenfalls nur eine Nullstelle besitzt, indem wir zeigen, dass streng wachsend ist. Die Ableitung von ist

Diese Funktion ist für und offenbar positiv, sie besitzt also genau ein Minimum, und zwar wegen

bei

Der Wert des Minimums von ist

Dies bedeutet, dass stets positiv ist und somit ist streng wachsend. Da ferner ein Polynom vom Grad ist, also für und für gilt, besitzt genau eine Nullstelle. Insgesamt besitzt also genau einen kritischen Punkt.

Wir müssen noch zeigen, dass in dem einzigen kritischen Punkt ein Minimum von vorliegt. Die Hesse-Matrix zu ist

Diese Matrix ist für jedes nach der oben durchgeführten Berechnung positiv definit, also liegt im kritischen Punkt ein Minimum vor.


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Die rechteckige Grundseite (Unterseite) eines Bootes (unter Wasser) habe die Breite und die Länge , die (ebenfalls rechteckige) Deckseite (Oberseite) habe die Breite und die Länge , wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung . Der Tiefgang des Bootes soll maximal betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?

Lösung

Wir berechnen zuerst die Länge und die Breite der Querschnittsebene des Bootes zu einer Höhe über der Grundseite. Für die Länge gilt

da die Abhängigkeit von der Höhe linear ist. Für die Breite gilt

Daher ist der Flächeninhalt der Querschnittsfläche gleich

Nach dem Cavalieri-Prinzip ist daher das Volumen (in Kubikmetern) des Bootes von der Grundseite bis zur Höhe gleich

Für ergibt sich

in Kubikmetern. Der Auftrieb ist gleich dem Gewicht des verdrängten Wasservolumens. Also darf das Schiff maximal Tonnen wiegen, so dass es eine Ladung von Tonnen befördern kann.


 



Hilfsmittel


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