Kurs:Riemannsche Flächen/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	10	5	2	4	3	3	4	2	2	8	3	4	3	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine riemannsche Fläche.
2. Ein eindimensionaler komplexer Torus.
3. Die analytische Fortsetzung eines holomorphen Funktionskeimes längs eines stetigen Weges ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$.
4. Der Hauptteil zu einer meromorphen Funktion ${}f$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$.
5. Die Divisorenklassengruppe einer riemannschen Fläche.
6. Das Periodengitter einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche ${}X$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Decktransformationen und Fixpunkte.
2. Der Satz über holomorphe Differentialformen auf einem komplexen Torus.
3. Der Satz von Riemann-Roch.

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe (5 Punkte)

Beschreibe Aspekte der linearen Algebra, die für die Theorie der riemannschen Flächen besonders relevant sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten die holomorphe Kurve

$\gamma \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,t\longmapsto \left(\exp t,\,\sin t\right),$

im Punkt ${}t=0$. Bestimme eine affin-lineare Kurve

$\delta \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},$

die im Punkt ${}\gamma (0)$ tangential äquivalent zu ${}\gamma$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass

${}V_{+}{\left(X^{4}+Y^{4}+X^{2}Y^{2}+XZ^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

eine kompakte riemannsche Fläche definiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}X$ hausdorffsch. Zeige, dass dann auch ${}Y$ hausdorffsch ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

die Quadratabbildung. Bestimme eine stetige Liftung ${}{\tilde {\gamma }}$ zum linearen Weg

$\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto t,$

mit der Anfangsbedingung ${}{\tilde {\gamma }}(-1)={\mathrm {i} }$. Ist die Liftung eindeutig?

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für das Polynom

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}+4z^{2}+3z+1,$

den Verzweigungsort, die Verzweigungsordnungen in den Verzweigungspunkten und das Verzweigungsbild.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass auf ${}\mathbb {R}$ die folgenden Prägarben verschieden sind.

1. Die Prägarbe der konstanten Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$.
2. Die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$.
3. Die Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob das Polynom ${}T^{2}-\exp z\in \Gamma {\left({\mathbb {C} },{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }\right)}[T]$ irreduzibel ist. Skizziere das zugehörige reelle Nullstellengebilde.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche, seien ${}P_{1},\ldots ,P_{k}\in X$ Punkte auf ${}X$ und sei ${}D=\sum _{i=1}^{k}P_{i}$ der Divisor, ${}k\geq 1$. Es sei

${}R_{D}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}=\Gamma {\left(X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\cap \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,,$

vergleiche Aufgabe 20.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)). Zeige, dass ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ der Quotientenkörper von ${}R$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme für die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in ${}0$ den Hauptteil ${}{\frac {1}{z}}$, in ${}2$ den Hauptteil ${}{\frac {4}{(z-2)^{3}}}$ und in ${}\infty$ den Hauptteil ${}{\frac {1}{w^{2}}}=z^{2}$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine nichtkompakte zusammenhängende riemannsche Fläche ${}X$ zusammen mit einer meromorphen Funktion ${}f$ mit einem Hauptdivisor der Form ${}P-Q$ und einer holomorphen Differentialform ${}\omega$ derart, dass ${}\int _{\gamma }\omega$ nicht zur Periodengruppe von ${}\omega$ gehört, wobei ${}\gamma$ ein Verbindungsweg von ${}Q$ nach ${}P$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}1$. Zeige, dass ${}\Omega _{X}$ isomorph zur Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ ist.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[z]$ ein Polynom vom Grad ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, ${}z\longmapsto F(z)$, die zugehörige holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.

1. Bestimme den Verzweigungsdivisor ${}R$ von ${}\varphi$.
2. Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

   ${}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,$

   in diesem Fall direkt.

Anhang

Aufgabe 20.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022))