Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 10/kontrolle

Aufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Prägarben auf dem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass durch ${}U\mapsto {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\times {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ mit den natürlichen Produktabbildungen eine Prägarbe auf ${}X$ gegeben ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und sei ${}{\mathcal {F}}_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Prägarben auf dem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass durch ${}U\mapsto \prod _{i\in I}{{\mathcal {F}}_{i}}{\left(U\right)}$ mit den natürlichen Produktabbildungen eine Prägarbe auf ${}X$ gegeben ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Interpretiere Beispiel 10.2 im Sinne von Beispiel 10.5.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine topologische Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Zeige, dass auf jedem topologischen Raum ${}X$ die Prägarbe ${}C^{0}(-,H)$ eine Unterprägarbe von ${}C^{0}(-,G)$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Halm des Tangentialbündels einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in einem Punkt nur von der Dimension der Mannigfaltigkeit (in diesem Punkt) abhängt.

Aufgabe Aufgabe 10.6 ändern

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$, wobei ${}X$ lokal zusammenhängend sei. Bestimme den Halm zur Garbe der stetigen Schnitte in ${}Y$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Prägarben auf dem topologischen Raum ${}X$ und ${}{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}}$ ihre Produktprägarbe. Zeige, dass für den Halm in jeden Punkt ${}P\in X$ die Beziehung

${}{\left({\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}}\right)}_{P}={\mathcal {F}}_{P}\times {\mathcal {G}}_{P}\,$

gilt.

Aufgabe Aufgabe 10.8 ändern

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}},{\mathcal {H}}$ Prägarben auf ${}X$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Identität

   ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {F}}$

   ist ein Homomorphismus von Prägarben.

2. Wenn ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ und ${}\psi \colon {\mathcal {G}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ Homomorphismen von Prägarben sind, so ist auch die Verknüpfung ${}\psi \circ \varphi$ ein Homomorphismus von Prägarben.
3. Zu einer Unterprägarbe ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ ist die natürliche Inklusion ein Homomorphismus von Prägraben.

Zu einem injektiven Ringhomomorphismus ${}R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von ${}R$ in ${}S$ die Verzweigungsindex der Erweiterung.

Aufgabe Aufgabe 10.9 ändern

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und sei ${}x\in X$. Es sei

$\vartheta \colon {\mathcal {O}}_{Y,{\varphi (x)}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}$

der zugehörige Ringhomomorphismus der Halme. Zeige, dass die folgenden Zahlen übereinstimmen.

1. Die Verzweigungsordnung von ${}\varphi$ in ${}x$.
2. Der Exponent von ${}\varphi$ einer lokalen Beschreibung von ${}\varphi$ im Sinne von Satz 2.1.
3. Die Verzweigungsordnung von ${}\vartheta$.

Den Tangentialraum einer komplexen Mannigfaltigkeit kann man auch mit Derivationen im lokalen Ring charakterisieren.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}M$ ein ${}A$- Modul. Dann heißt eine ${}R$- lineare Abbildung

$\delta \colon A\longrightarrow M$

mit

${}\delta (ab)=a\delta (b)+b\delta (a)\,$

für alle ${}a,b\in A$ eine Derivation (mit Werten in ${}M$).

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Zeige, dass es einen natürlichen ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraumisomorphismus

$T_{P}M\longrightarrow \operatorname {Der} _{\mathbb {C} }{\left({\mathcal {O}}_{M,P},{\mathbb {C} }\right)},\,[\gamma ]\longmapsto {\left(f\mapsto (T_{P}f)([\gamma ])\right)},$

gibt.