Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 25
Aufgabe
Es sei ein faktorieller Bereich. Zeige, dass jedes von verschiedene Primideal ein Primelement enthält.
Aufgabe
Zeige, dass in einem faktoriellen Bereich der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Elementen existieren.
Aufgabe
Es sei ein faktorieller Bereich und . Zeige, dass und das Produkt aus und zueinander assoziiert sind.
Aufgabe
Es seien Elemente in einem faktoriellen Bereich und .
a) Zeige, dass
zueinander assoziiert sind.
b) Zeige, dass
zueinander assoziiert sind.
Aufgabe
Es sei ein faktorieller Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Zeige: Wenn keinen gemeinsamen Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler.
Aufgabe
Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass jedes Element , , eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
mit einer Einheit und ganzzahligen Exponenten besitzt.
Aufgabe
Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Es sei ein Element mit für eine natürliche Zahl . Zeige, dass dann schon zu gehört.
Aufgabe
Es sei ein positiv-graduierter Integritätsbereich über einem Körper . Zeige, dass ein homogenes Element vom Grad irreduzibel ist.
Aufgabe
Es sei ein numerisches Monoid, das nicht isomorph zu sei, und sei ein Körper. Zeige, dass es im Monoidring irreduzible Elemente gibt, die nicht prim sind. Man gebe Elemente aus mit zwei wesentlich verschiedenen Zerlegungen in irreduzible Elemente an.
Aufgabe
Es sei ein Körper und der Polynomring über .
- Zeige, dass
ein Unterring von ist.
- Zeige
- Zeige, dass nicht faktoriell ist.
Aufgabe
Finde in den Koordinatenringen zu den -Singularitäten, also in zu , Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.
Aufgabe
Finde in den Koordinatenringen zu den -Singularitäten, also in zu , Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.
Aufgabe
Finde im Koordinatenring zur -Singularität, also in , Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.
Aufgabe
Finde im Koordinatenring zur -Singularität, also in , Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.
Aufgabe
Finde in in Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.
Aufgabe
Es sei eine dreidimensionale endlich erzeugte - Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper, die ein faktorieller Integritätsbereich sei. Zeige, dass für Primideale und der Höhe bzw. jedes minimale Primideal oberhalb von eine Höhe besitzt.
Aufgabe
Es sei ein noetherscher Integritätsbereich und seien Nichteinheiten. Zeige, dass es einen maximalen Exponenten mit gibt.
Aufgabe
Zeige, dass in einem Produktring die Aussage aus Lemma 25.6 nicht gelten muss.
Der in der folgenden Aufgabe besprochene Ring zeigt, dass
der Krullsche Hauptidealsatz,
Lemma 25.5
und
Lemma 25.6
für nichtnoethersche Integritätsbereiche nicht gelten muss.
Aufgabe
Es sei ein Körper und betrachte den kommutativen Ring
- Zeige, dass ein Integritätsbereich ist.
- Zeige, dass ein Primelement ist.
- Zeige, dass ein maximales Ideal von ist.
- Zeige, dass
gilt und dass dies ein Primideal ist, das nicht endlich erzeugt ist. Wie lautet der Restklassenring zu ?
- Zeige, dass die Krulldimension von zumindest ist.
- Zeige, dass keine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente besitzt.
Aufgabe
Finde für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten (gegeben durch den Ring ) Ringelemente derart, dass die Nenneraufnahme faktoriell ist.
Aufgabe
Zeige, dass der Ring regulär, aber nicht faktoriell ist.
Aufgabe
Zeige, dass es auf der -Singularität keine glatte Kurve gibt, die durch den singulären Punkt läuft.
Aufgabe
Zeige, dass
ein Primelement ist, aber nicht im Ring der holomorphen Funktionen in zwei Variablen. Wie lautet dort die Faktorzerlegung?
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