Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 25

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Aufgabe

Sei ein faktorieller Bereich. Zeige, dass jedes von verschiedene Primideal ein Primelement enthält.


Aufgabe

Zeige, dass in einem faktoriellen Bereich der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Elementen existieren.


Aufgabe

Es sei ein faktorieller Bereich und . Zeige, dass und das Produkt aus und zueinander assoziiert sind.


Aufgabe

Es seien Elemente in einem faktoriellen Bereich und .

a) Zeige, dass

zueinander assoziiert sind.

b) Zeige, dass

zueinander assoziiert sind.


Aufgabe

Sei ein faktorieller Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Zeige: Wenn keinen gemeinsamen Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler.


Aufgabe

Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass jedes Element , , eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

mit einer Einheit und ganzzahligen Exponenten besitzt.


Aufgabe

Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Es sei ein Element mit für eine natürliche Zahl . Zeige, dass dann schon zu gehört.


Aufgabe

Es sei ein positiv-graduierter Integritätsbereich über einem Körper . Zeige, dass ein homogenes Element vom Grad irreduzibel ist.


Aufgabe

Sei ein numerisches Monoid, das nicht isomorph zu sei, und sei ein Körper. Zeige, dass es im Monoidring irreduzible Elemente gibt, die nicht prim sind. Man gebe Elemente aus mit zwei wesentlich verschiedenen Zerlegungen in irreduzible Elemente an.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Polynomring über .

  1. Zeige, dass

    ein Unterring von ist.

  2. Zeige
  3. Zeige, dass nicht faktoriell ist.


Aufgabe

Finde in den Koordinatenringen zu den -Singularitäten, also in zu , Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.


Aufgabe

Finde in den Koordinatenringen zu den -Singularitäten, also in zu , Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.


Aufgabe

Finde im Koordinatenring zur -Singularität, also in , Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.


Aufgabe

Finde im Koordinatenring zur -Singularität, also in , Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.


Aufgabe

Finde in in Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.


Aufgabe

Es sei eine dreidimensionale endlich erzeugte -Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper, die ein faktorieller Integritätsbereich sei. Zeige, dass für Primideale und der Höhe bzw. jedes minimale Primideal oberhalb von eine Höhe besitzt.


Aufgabe

Es sei ein noetherscher Integritätsbereich und seien Nichteinheiten. Zeige, dass es einen maximalen Exponenten mit gibt.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Produktring die Aussage aus Lemma 25.6 nicht gelten muss.


Der in der folgenden Aufgabe besprochene Ring zeigt, dass der Krullsche Hauptidealsatz, Lemma 25.5 und Lemma 25.6 für nichtnoethersche Integritätsbereiche nicht gelten muss.

Aufgabe

Sei ein Körper und betrachte den kommutativen Ring

  1. Zeige, dass ein Integritätsbereich ist.
  2. Zeige, dass ein Primelement ist.
  3. Zeige, dass ein maximales Ideal von ist.
  4. Zeige, dass

    gilt und dass dies ein Primideal ist, das nicht endlich erzeugt ist. Wie lautet der Restklassenring zu ?

  5. Zeige, dass die Krulldimension von zumindest ist.
  6. Zeige, dass keine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente besitzt.


Aufgabe

Finde für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten (gegeben durch den Ring ) Ringelemente derart, dass die Nenneraufnahme faktoriell ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Ring regulär, aber nicht faktoriell ist.


Aufgabe

Zeige, dass es auf der -Singularität keine glatte Kurve gibt, die durch den singulären Punkt läuft.


Aufgabe

Zeige, dass

ein Primelement ist, aber nicht im Ring der holomorphen Funktionen in zwei Variablen. Wie lautet dort die Faktorzerlegung?



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