Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 25

Faktorielle Ringe

Definition

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.

Satz

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist faktoriell.
2. Jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und diese Zerlegung ist bis auf Umordnung und Assoziiertheit eindeutig.
3. Jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und jedes irreduzible Element ist ein Primelement.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Sei ${}f\neq 0$ eine Nichteinheit. Die Faktorisierung in Primelemente ist insbesondere eine Zerlegung in irreduzible Elemente, sodass also lediglich die Eindeutigkeit zu zeigen ist. Dies geschieht durch Induktion über die minimale Anzahl der Primelemente in einer Faktorzerlegung. Wenn es eine Darstellung ${}f=p$ mit einem Primelement gibt, und ${}f=q_{1}{\cdots }q_{r}$ eine weitere Zerlegung in irreduzible Faktoren ist, so teilt ${}p$ einen der Faktoren ${}q_{i}$ und nach Kürzen durch ${}p$ erhält man, dass das Produkt der übrigen Faktoren rechts eine Einheit sein muss. Das bedeutet aber, dass es keine weiteren Faktoren geben kann. Es sei nun ${}f=p_{1}{\cdots }p_{s}$ und diese Aussage sei für Elemente mit kleineren Faktorisierungen in Primelemente bereits bewiesen. Es sei

${}f=p_{1}{\cdots }p_{s}=q_{1}{\cdots }q_{r}\,$

eine weitere Zerlegung mit irreduziblen Elementen. Dann teilt wieder ${}p_{1}$ einen der Faktoren rechts, sagen wir ${}p_{1}u=q_{1}$. Dann muss ${}u$ eine Einheit sein und wir können durch ${}p_{1}$ kürzen, wobei wir ${}u^{-1}$ mit ${}q_{2}$ verarbeiten können, was ein zu ${}q_{2}$ assoziiertes Element ergibt. Das gekürzte Element ${}p_{2}\cdots p_{s}$ hat eine Faktorzerlegung mit ${}s-1$ Primelementen, sodass wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Wir müssen zeigen, dass ein irreduzibles Element auch prim ist. Es sei also ${}q$ irreduzibel und es teile das Produkt ${}fg$, sagen wir

${}qh=fg\,.$

Für ${}h,\,f$ und ${}g$ gibt es Faktorzerlegungen in irreduzible Elemente, sodass sich insgesamt die Gleichung

${}qh_{1}{\cdots }h_{r}=f_{1}{\cdots }f_{s}g_{1}{\cdots }g_{t}\,$

ergibt. Es liegen also zwei Zerlegungen in irreduzible Element vor, die nach Voraussetzung im Wesentlichen übereinstimmen müssen. D.h. insbesondere, dass es auf der rechten Seite einen Faktor gibt, sagen wir ${}f_{1}$, der assoziiert zu ${}q$ ist. Dann teilt ${}q$ auch den ursprünglichen Faktor ${}f$.
${}(3)\Rightarrow (1)$. Das ist trivial.

$\Box$

Satz

Ein Hauptidealbereich

ist ein faktorieller Bereich.

Beweis

Dies folgt sofort aus Korollar 3.18 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)), Lemma 3.6 (Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)) und Satz 25.2.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein faktorieller Ring und seien ${}a$ und ${}b$ Elemente ${}\neq 0$ mit Primfaktorzerlegungen

$a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}{\text{ und }}b=v\cdot p_{1}^{s_{1}}\cdot p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{k}^{s_{k}}$

(wobei die ${}u,v$ Einheiten sind, die verschiedenen Primelemente nicht assoziiert sind und die Exponenten auch ${}0$ sein können). Dann gilt ${}a{|}b$ genau dann, wenn ${}r_{i}\leq s_{i}$ für alle Exponenten ${}i=1,\ldots ,k$ ist.

Beweis

Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist ${}s_{i}-r_{i}\geq 0$ und man kann

${}b=a{\left(vu^{-1}p_{1}^{s_{1}-r_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}-r_{k}}\right)}\,$

schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in einem faktoriellen Ring.

$\Box$

Faktorzerlegung in noetherschen Integritätsbereichen

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich.

Dann besitzt jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente.

Beweis

Nehmen wir an, dass es eine Nichteinheit ${}f\neq 0$ gibt, für die es keine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dann ist insbesondere ${}f$ nicht irreduzibel und somit gibt es eine Zerlegung ${}f=f_{1}g_{1}$, bei der die Faktoren keine Einheiten sind. Nach Voraussetzung besitzt zumindest ein Faktor, sagen wir ${}f_{1}$, keine Zerlegung in irreduzible Faktoren. Dabei gilt

${}(f)\subset {\left(f_{1}\right)}\,,$

wobei die Inklusion echt ist, da andernfalls ${}g_{1}$ eine Einheit wäre. So fortfahrend kann man eine unendliche Kette von Hauptidealen

${}(f)\subset {\left(f_{1}\right)}\subset {\left(f_{2}\right)}\subset \ldots \,$

konstruieren. Dies widerspricht aber Proposition 9.2 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)).

$\Box$

Mit einem ähnlichen Argument kann man die folgende Aussage beweisen.

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich und seien ${}f,g\neq 0$ Nichteinheiten.

Dann gibt es einen maximalen Exponenten ${}n$ mit ${}f=g^{n}h$.

Beweis

Siehe Aufgabe 25.17.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen auf ${}\mathbb {R}$ (oder auf einer Intervallumgebung des Nullpunktes oder den Ring der Keime stetiger Funktionen). Die Funktion

${}f(x):={\begin{cases}{\frac {1}{e^{1/x}}}{\text{ für }}x>0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

ist stetig. Für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist ${}{\frac {f}{x^{n}}}$ stetig im Nullpunkt fortsetzbar, da

${}{\frac {e^{-1/x}}{x^{n}}}=e^{-u}u^{n}={\frac {u^{n}}{e^{u}}}\,$

für

${}u={\frac {1}{x}}\rightarrow \infty \,$

gegen ${}0$ geht. Somit gilt in diesem Ring die faktorielle Zerlegung

${}f=x^{n}\cdot g_{n}\,$

für beliebiges ${}n$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich.

Dann ist ${}R$ genau dann faktoriell, wenn jedes Primideal in ${}R$ der Höhe ${}1$ ein Primhauptideal ist.

Beweis

Sei zuerst ${}R$ faktoriell und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal der Höhe ${}1$. Dieses ist nicht das Nullideal und somit gibt es ein Element ${}f\neq 0$ ${}f\in {\mathfrak {p}}$. Dieses besitzt eine Faktorzerlegung

${}f=p_{1},\ldots ,p_{n}\,$

in Primelemente und wegen der Primidealeigenschaft gibt es ein Primelement ${}p\neq 0$ mit ${}p\in {\mathfrak {p}}$. Dann liegt die Primidealkette

${}(p)\subseteq {\mathfrak {p}}\,$

vor, und wegen der Höhenbedingung stimmen die beiden Ideale überein.

Sei umgekehrt jedes Primideal der Höhe ${}1$ ein Primhauptideal. Wegen Lemma 25.5 und Satz 25.2 ist lediglich zu zeigen, dass jedes irreduzible Element ein Primelement ist. Sei also ${}f\neq 0$ irreduzibel und sei ${}f\in {\mathfrak {p}}$ ein minimales Primoberideal. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzt ${}{\mathfrak {p}}$ die Höhe ${}1$ und nach Voraussetzung ist

${}{\mathfrak {p}}=(p)\,$

mit einem Primelement ${}p$. Also ist

${}f=gp\,$

und ${}g$ muss eine Einheit sein. Somit ist ${}f$ selbst prim.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich und ${}p\in R$ ein Primelement. Es sei ${}R_{p}$ faktoriell und ${}g\in R$ ein Element, das aufgefasst in ${}R_{p}$ prim ist.

Dann gilt ${}g=hp^{r}$ in ${}R$ mit einer Einheit oder einem Primelement ${}h$.

Beweis

Wir schreiben ${}g=hp^{r}$ mit dem maximal möglichen Exponenten ${}r$, den es nach Lemma 25.6 gibt, und behaupten, dass ${}h$ ein Primelement oder eine Einheit ist. Wir betrachten die Situation, wo ${}h$ keine Einheit ist, und müssen ${}h$ als Primelement nachweisen. Es teile ${}h$ ein Produkt, sagen wir

${}hc=ab\,.$

Daraus ergibt sich in ${}R_{p}$, da ${}h$ wie ${}g$ prim in ${}R_{p}$ ist, dass ${}h$ einen der Faktoren in ${}R_{p}$ teilt. Es gibt also ein ${}d\in R$ mit

${}h{\frac {d}{p^{s}}}=a\,,$

also

${}hd=ap^{s}\,$

in ${}R$. Bei ${}s=0$ ist man fertig. Andernfalls teilt ${}p$, da es ${}h$ wegen der Maximalität des Exponenten nicht teilt, den anderen Faktor ${}d$ und so erhält man

${}h{\frac {d}{p}}=ap^{s-1}\,$

in ${}R$. Induktive Anwendung dieses Arguments liefert das Resultat.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich und ${}p\in R$ ein Primelement. Es sei ${}R_{p}$ faktoriell.

Dann ist ${}R$ selbst faktoriell.

Beweis

Sei ${}f\in R$ eine von ${}0$ verschiedene Nichteinheit von ${}R$. In ${}R_{p}$ gilt

${}f={\frac {g_{1}}{p^{n_{1}}}}\cdots {\frac {g_{s}}{p^{n_{s}}}}\,$

mit ${}g_{i}$, die in ${}R_{p}$ prim sind (ein Faktor kann eine Einheit sein). In ${}R$ gilt somit

${}p^{n}f=g_{1}\cdots g_{s}\,.$

Nach Lemma 25.9 ist

${}g_{i}=h_{i}p^{r_{i}}\,$

mit Primelementen oder Einheiten ${}h_{i}$. Somit ist

${}p^{n}f=p^{r+r_{1}+\cdots +r_{s}}h_{1}\cdots h_{s}\,.$

Da ${}p$ kein Teiler der ${}h_{i}$ ist, kann man ${}p^{n}$ vollständig wegkürzen und erhält eine Zerlegung von ${}f$ in Primfaktoren.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich.

Dann ist auch der Polynomring ${}R[X]$ faktoriell.

Faktorialität regulärer Ringe

Satz

Ein regulärer lokaler Ring

ist faktoriell.

Beweis

Der Ring ist ein Integritätsbereich nach Satz 21.5. Wir beweisen die Faktorialität durch Induktion über die Dimension ${}d$ des Ringes. Bei ${}d=0$ ist nichts zu zeigen, sei also die Faktorialität für lokale reguläre Ringe kleinerer Dimension bekannt. Es sei ${}f\in {\mathfrak {m}}\setminus {\mathfrak {m}}^{2}$. Dann ist ${}R/(f)$ nach Lemma 21.4 regulär und insbesondere ist ${}R/(f)$ ein Integritätsbereich. Somit ist ${}f$ ein Primelement von ${}R$. Nach Lemma 25.10 genügt es zu zeigen, dass ${}R_{f}$ faktoriell ist. Dafür ist nach Lemma 25.8 zu zeigen, dass jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq (f)$ der Höhe ${}1$ von ${}R$ in ${}R_{f}$ ein Hauptideal wird. Für jedes Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ von ${}R_{f}$ ist ${}R_{\mathfrak {q}}$ eine Lokalisierung von ${}R$ und somit regulär nach Satz 24.2. Da die Dimension von ${}R_{\mathfrak {q}}$ kleiner als ${}d$ ist, können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten, dass ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {q}}$ ein Hauptideal ist. Dies bedeutet, dass ${}{\mathfrak {p}}_{f}$ lokal in ${}R_{f}$ ein Hauptideal ist, und zwar vom Rang ${}1$. Nach Korollar 23.8 ist ${}{\mathfrak {p}}_{f}$ ein projektiver ${}R_{f}$-Modul. Nach Satz 24.1 gibt es eine endliche freie Auflösung

$0\longrightarrow F_{r}\longrightarrow \cdots \longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow {\mathfrak {p}}\longrightarrow 0.$

Dies führt mit der Nenneraufnahme an ${}f$ zu einer endlichen freien Auflösung

$0\longrightarrow (F_{r})_{f}\longrightarrow \cdots \longrightarrow (F_{1})_{f}\longrightarrow (F_{0})_{f}\longrightarrow {\mathfrak {p}}_{f}\longrightarrow 0$

auf ${}R_{f}$. Somit sind die Bedingungen von Lemma Anhang 17.6 erfüllt und man erhält, dass ${}{\mathfrak {p}}_{f}$ durch einen freien ${}R_{f}$-Modul zu einem freien Modul ergänzt werden kann. Wegen der Rangeigenschaft folgt ${}{\mathfrak {p}}_{f}=R_{f}$ nach Lemma Anhang 17.7, es liegt also ein Hauptideal vor.

$\Box$

In der Dimension ${}1$ ist faktoriell und regulär äquivalent, siehe Satz 21.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)). In der Dimension ${}2$ gibt es neben den regulären Ringen nur noch einen (nach Komplettierung) weiteren faktoriellen Ring.

Satz

Der Restklassenring ${}{\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}$

ist faktoriell.

Bemerkung  

Es sei ${}V$ eine affine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ mit einer isolierten Singularität im Punkt ${}P\in V$. Das offene Komplement ${}U=V\setminus \{P\}$ ist glatt, aber im Allgemeinen nicht mehr affin. Bei ${}K={\mathbb {C} }$ ist ${}U$ eine komplexe Mannigfaltigkeit, ihre Fundamentalgruppe (die man die lokale Fundamentalgruppe von ${}V$ nennt) ist ein wichtiges Maß für die Singularität, siehe die 9. und die 10. Vorlesung. Nach Satz 21.6 und Satz 25.12 sind die lokalen Ringe ${}{\mathcal {O}}_{V,Q}$ für alle Punkte ${}Q\neq P$ faktoriell. Ein jedes Primideal der Höhe ${}1$ von ${}R$ ist daher in diesen lokalen Ringen nach Lemma 25.8 ein Hauptideal. Es liegt also auf ${}U$ (aber im Allgemeinen nicht auf ${}V$) ein lokal freier Modul vom Rang ${}1$ vor. Man spricht auch von invertierbaren Moduln auf ${}U$ bzw., etwas geometrischer, von Geradenbündel auf ${}U$. Die Menge all dieser invertierbaren Moduln auf ${}U$ bilden mit der Tensorierung als Verknüpfung und dem trivialen Objekt, dem freien Modul ${}R$, als neutralem Element, eine kommutative Gruppe, die die Picardgruppe von ${}U$ heißt und die eine wichtige Invariante von ${}R$ ist. Sie ist (bei ${}R$ normal) genau dann trivial, wenn ${}R$ faktoriell ist, und ist insofern ein Maß dafür, wie weit die Singularität von der Faktorialität abweicht. Die Picardgruppe der ${}A_{n}$-Singularitäten ist beispielsweise ${}\mathbb {Z} /(n+1)$, übrigens wie die Fundamentalgruppe, siehe Satz 9.7 oder Beispiel 10.3.

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