Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 24

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Aufgabe

Finde für den Restklassenring

eine endliche freie Auflösung als -Modul.


Aufgabe

Bestimme für und den Restklassenkörper die minimale freie Auflösung als -Modul.


Aufgabe

Bestimme für und den Restklassenkörper die minimale freie Auflösung als -Modul.


Aufgabe

Bestimme für das Achsenkreuz und den Restklassenkörper die minimale freie Auflösung als -Modul.


Aufgabe

Bestimme für das Achsenkreuz und den Restklassenring die minimale freie Auflösung als -Modul.


Aufgabe

Bestimme für die Neilsche Parabel und den Restklassenkörper die minimale freie Auflösung als -Modul.


Aufgabe

Es sei ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal und dem Quotientenkörper . Zeige, dass durch

wobei rechts die Basiselemente auf und links die Basiselemente auf abgebildet werden, eine endliche freie Auflösung des Quotientenkörpers gegeben ist.


Aufgabe

Es sei ein lokaler artinscher Ring und ein Modulhomomorphismus zwischen den endlich erzeugten freien -Moduls und . Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn ein direkter Summand von ist.


Aufgabe

Kartesisches-Blatt.svg

Zeige, dass ein Integritätsbereich ist und dass der entsprechende analytische Ring nicht integer ist. Zeige ferner, dass dieser Ring isomorph zu ist.


Die folgenden Aufgaben zeigen, dass sich der Ring der stetigen Funktionen in verschiedener Hinsicht anders verhält als der Ring der holomorphen oder der Ring der polynomialen Funktionen. Siehe auch Beispiel 25.7.

Aufgabe

Sei . Betrachte die Menge aller Paare

mit der Identifizierung

falls es eine offene Umgebung mit

gibt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Es sei die Menge der Äquivalenzklassen zu . Zeige, dass es auf eine natürliche Struktur als kommutativer Ring gibt.
  3. Zeige, dass ein lokaler Ring ist.

Diesen Ring nennt man den Ring der Keime stetiger Funktionen.


Aufgabe

Es sei der Ring der Keime stetiger Funktionen in einem Punkt mit . Zeige, dass es in Nullteiler gibt.


Aufgabe *

Es sei der Ring der Keime stetiger Funktionen in Punkt . Zeige, dass in das maximale Ideal nicht von (also der Identität) erzeugt wird.


Aufgabe

Es sei die Lokalisierung des Polynomringes am maximalen Ideal und sei der Ring der Keime stetiger Funktionen in Punkt . Zeige, dass es einen natürlichen injektiven -Algebrahomomorphismus

gibt.


Aufgabe

Sei ein topologischer Raum und ein Punkt. Betrachte die Menge aller Paare

mit der Identifizierung

falls es eine offene Umgebung mit

gibt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Es sei die Menge der Äquivalenzklassen zu . Zeige, dass es auf eine natürliche Struktur als kommutativer Ring gibt.
  3. Zeige, dass ein lokaler Ring ist.

Diesen Ring nennt man den Ring der Keime stetiger Funktionen im Punkt .


Aufgabe

Es sei ein Punkt einer topologischen Mannigfaltigkeit der Dimension . Zeige, dass der Ring der Keime stetiger Funktionen in als -Algebra isomorph zum Ring der Keime stetiger Funktionen in ist.


Aufgabe

Sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge. Betrachte die Menge aller Paare

mit der Identifizierung

falls es eine offene Umgebung mit

gibt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Es sei die Menge der Äquivalenzklassen zu . Zeige, dass es auf eine natürliche Struktur als kommutativer Ring gibt.
  3. Zeige, dass ein reduzierter Ring ist.

Diesen Ring nennt man den Ring der Keime stetiger Funktionen entlang .



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