Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 3

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei . Bestimme den Träger der folgenden -Tupel mit Werten in .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. .

Wie sieht die Antwort in einem Körper der Charakteristik aus?


Aufgabe

Bestimme sämtliche simplizialen Komplexe auf einer höchstens dreielementigen Grundmenge und skizziere die zugehörige Achsenraumkonfiguration und die geometrische Realisierung.


Aufgabe

Es sei ein simplizialer Komplex auf der Menge und ein Körper gegeben. Zeige, dass die zu gehörende Achsenraumkonfiguration über die Beschreibungen

besitzt.


Aufgabe

Es sei . Beschreibe die möglichen Schnitte von mit einer Ebene durch den Nullpunkt. Was ist der „typische“ Schnitt?


Aufgabe

Bestimme und skizziere für jede Achsenraumkonfiguration im , , den Durchschnitt mit der Sphäre. Welche topologischen Eigenschaften besitzt dieser Schnitt (Zusammenhangskomponenten, Fundamentalgruppe, Mannigfaltigkeitsstruktur)?


Aufgabe

Zeige, dass man eine Achsenraumkonfiguration im aus ihrem Durchschnitt mit der Sphäre rekonstruieren kann.


Aufgabe

Es sei eine Achsenraumkonfiguration. Zeige, dass eine Unterhalbgruppe des affinen Raumes ist, wenn man diesen mit der komponentenweisen Multiplikation als Verknüpfung versieht.


Aufgabe

Zeige, dass die reelle Achsenraumkonfiguration im sich aus dem Schnitt , mit

rekonstruieren läst, indem man zu jedem Punkt die Gerade durch den Nullpunkt und nimmt.


Aufgabe

Welche Vor- oder Nachteile hat es, einen simplizialen Komplex auf einer beliebigen Menge oder auf anzusetzen?


Aufgabe

Zeige, dass sich über dem Körper mit zwei Elementen eine Achsenraumkonfiguration im Allgemeinen nicht aus dem Durchschnitt mit rekonstruieren lässt.


Es sei ein simplizialer Komplex auf der Menge und ein simplizialer Komplex auf der (zu disjunkten) Menge . Dann nennt man den simplizialen Komplex auf , der aus allen Seiten der Form mit und besteht, das Smashprodukt von und . Es wird mit bezeichnet.


Aufgabe

Es sei ein simplizialer Komplex auf der Menge und ein simplizialer Komplex auf der Menge mit den zugehörigen Achsenraumkonfigurationen und . Zeige, dass dann in die Beziehung

besteht, wobei das Smashprodukt der beiden simplizialen Komplexe bezeichnet.


Aufgabe *

  1. Skizziere die Nullstellengebilde

    und

    im reellen Fall.

  2. Stifte einen bijektiven Morphismus
  3. Zeige, dass der Morphismus außerhalb des Nullpunktes ein Isomorphismus ist (die Charakteristik des Körpers sei ).


Der ursprüngliche Ausgangspunkt für simpliziale Komplexe war es, komplizierte topologische Gebilde durch einfachere Gebilde zu approximieren, deren Kombinatorik die topologischen Eigenschaften widerspiegeln soll. Man spricht von einer Triangulierung.


Aufgabe

Bestimme die Grundmenge und den simplizialen Komplex, der im Bild erkennbar ist.


Aufgabe

Sei ein Körper der Charakteristik . Man charakterisiere die Polynome mit der Eigenschaft, dass

  1. die erste partielle Ableitung,
  2. die zweite partielle Ableitung,
  3. beide partiellen Ableitungen

sind.


Aufgabe

Beweise den Satz von Schwarz für den Polynomring über einem beliebigen Körper , also die Vertauschbarkeit von formalen partiellen Ableitungen.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien Polynome. Zeige, dass für die partiellen Ableitungen die Produktregel

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und Polynome, die zu den polynomialen Abbildungen

Anlass geben. Es seien und die durch formales partielles Ableiten definierten Jacobi-Matrizen. Beweise die formale Kettenregel


Aufgabe

Es sei offen und

eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ein surjektives totales Differential besitze. Es sei

(mit offen) ein lokaler Diffeomorphismus auf die Faser durch , bei dem auf abgebildet wird. Zeige, dass man den Tangentialraum an die Faser durch auch als

beschreiben kann.


Aufgabe

Bestimme den Tangentialraum an die Faser im Punkt der Abbildung

und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.


Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung . Zeige, dass regulär ist.

b) Beschreibe für den Punkt den Tangentialraum an die Faser von durch .

c) Man gebe für einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von in der Faser durch an.


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

im Punkt . Man gebe eine differenzierbare Abbildung

an, wobei eine möglichst große offene Teilmenge des Tangentialraumes an die Faser von durch ist, die eine Bijektion zwischen und stiftet ( offen).


Aufgabe

Bestimme den singulären Ort der Hyperfläche und zeige, dass es sich nicht um eine isolierte Singularität handelt.



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