Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 3

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}V=\{1,2,3,4,5,6\}$. Bestimme den Träger der folgenden ${}6$-Tupel mit Werten in ${}\mathbb {R}$.

1. ${}\left(7,\,1,\,0,\,0,\,5,\,0\right)$,
2. ${}\left(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\right)$,
3. ${}\left(0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0\right)$,
4. ${}\left(7,\,-10,\,4,\,4,\,5,\,-19\right)$,
5. ${}\left(0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0\right)$,
6. ${}\left(0,\,5,\,0,\,-5,\,5,\,0\right)$.

Wie sieht die Antwort in einem Körper der Charakteristik ${}5$ aus?

Aufgabe

Bestimme sämtliche simplizialen Komplexe auf einer höchstens dreielementigen Grundmenge und skizziere die zugehörige Achsenraumkonfiguration und die geometrische Realisierung.

Aufgabe

Es sei ein simplizialer Komplex ${}\Delta$ auf der Menge ${}V$ und ein Körper ${}K$ gegeben. Zeige, dass die zu ${}\Delta$ gehörende Achsenraumkonfiguration über ${}K$ die Beschreibungen

${}\Delta (K)=\bigcup _{F\in \Delta }K^{F}=\bigcup _{F\in \Delta ,\,F{\text{ Facette}}}K^{F}\,$

besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}V=V(XYZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$. Beschreibe die möglichen Schnitte von ${}V$ mit einer Ebene durch den Nullpunkt. Was ist der „typische“ Schnitt?

Aufgabe

Bestimme und skizziere für jede Achsenraumkonfiguration ${}A$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$, ${}n=1,2,3$, den Durchschnitt ${}A\cap S^{n-1}$ mit der Sphäre. Welche topologischen Eigenschaften besitzt dieser Schnitt (Zusammenhangskomponenten, Fundamentalgruppe, Mannigfaltigkeitsstruktur)?

Aufgabe

Zeige, dass man eine Achsenraumkonfiguration ${}A$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$ aus ihrem Durchschnitt ${}A\cap S^{n-1}$ mit der Sphäre rekonstruieren kann.

Aufgabe

Es sei ${}\Delta (K)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Achsenraumkonfiguration. Zeige, dass ${}\Delta (K)$ eine Unterhalbgruppe des affinen Raumes ist, wenn man diesen mit der komponentenweisen Multiplikation als Verknüpfung versieht.

Aufgabe

Zeige, dass die reelle Achsenraumkonfiguration ${}A$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$ sich aus dem Schnitt ${}A\cap H$, mit

${}H={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid \sum _{j=1}^{n}x_{j}=1\right\}}\,,$

rekonstruieren läst, indem man zu jedem Punkt ${}P\in A\cap H$ die Gerade durch den Nullpunkt und ${}P$ nimmt.

Aufgabe

Welche Vor- oder Nachteile hat es, einen simplizialen Komplex auf einer beliebigen Menge ${}V$ oder auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ anzusetzen?

Aufgabe

Zeige, dass sich über dem Körper ${}K$ mit zwei Elementen eine Achsenraumkonfiguration ${}A\subseteq K^{n}$ im Allgemeinen nicht aus dem Durchschnitt ${}A\cap H$ mit ${}H={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{1}+\cdots +x_{n}=1\right\}}$ rekonstruieren lässt.

Es sei ${}\Delta$ ein simplizialer Komplex auf der Menge ${}V$ und ${}\Delta '$ ein simplizialer Komplex auf der (zu ${}V$ disjunkten) Menge ${}W$. Dann nennt man den simplizialen Komplex auf ${}V\cup W$, der aus allen Seiten der Form ${}S\cup T$ mit ${}S\in \Delta$ und ${}T\in \Delta '$ besteht, das Smashprodukt von ${}\Delta$ und ${}\Delta '$. Es wird mit ${}\Delta \wedge \Delta '$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}\Delta$ ein simplizialer Komplex auf der Menge ${}V$ und ${}\Delta '$ ein simplizialer Komplex auf der Menge ${}W$ mit den zugehörigen Achsenraumkonfigurationen ${}\Delta (K)\subseteq K^{V}$ und ${}\Delta '(K)\subseteq K^{W}$. Zeige, dass dann in ${}K^{V\cup W}$ die Beziehung

${}K(\Delta )\times K(\Delta ')=K(\Delta \wedge \Delta ')\,$

besteht, wobei ${}\Delta \wedge \Delta '$ das Smashprodukt der beiden simplizialen Komplexe bezeichnet.

Aufgabe *

1. Skizziere die Nullstellengebilde

   ${}V=V(XY,XZ,YZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,$

   und

   ${}W=V(ST(S-T))\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

   im reellen Fall.

2. Stifte einen bijektiven Morphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow W.$

3. Zeige, dass der Morphismus ${}\varphi$ außerhalb des Nullpunktes ein Isomorphismus ist (die Charakteristik des Körpers sei ${}\neq 2$).

Der ursprüngliche Ausgangspunkt für simpliziale Komplexe war es, komplizierte topologische Gebilde durch einfachere Gebilde zu approximieren, deren Kombinatorik die topologischen Eigenschaften widerspiegeln soll. Man spricht von einer Triangulierung.

Aufgabe

Bestimme die Grundmenge und den simplizialen Komplex, der im Bild erkennbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p\geq 0$. Man charakterisiere die Polynome ${}F\in K[X,Y]$ mit der Eigenschaft, dass

1. die erste partielle Ableitung,
2. die zweite partielle Ableitung,
3. beide partiellen Ableitungen

${}0$ sind.

Aufgabe

Beweise den Satz von Schwarz für den Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem beliebigen Körper ${}K$, also die Vertauschbarkeit von formalen partiellen Ableitungen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome. Zeige, dass für die partiellen Ableitungen die Produktregel

${}\partial _{i}(FG)=F\partial _{i}(G)+G\partial _{i}(F)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{\ell }]$ und ${}G_{1},\ldots ,G_{n}\in K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ Polynome, die zu den polynomialen Abbildungen

${{\mathbb {A} }_{K}^{\ell }}{\stackrel {F}{\longrightarrow }}{{\mathbb {A} }_{K}^{m}}{\stackrel {G}{\longrightarrow }}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

Anlass geben. Es seien ${}J(F)_{P}$ und ${}J(G)_{Q}$ die durch formales partielles Ableiten definierten Jacobi-Matrizen. Beweise die formale Kettenregel

${}J(G\circ F)_{P}=J(G)_{F(P)}\circ J(F)_{P}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ${}P\in G$ ein surjektives totales Differential besitze. Es sei

$\psi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

(mit ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ offen) ein lokaler Diffeomorphismus auf die Faser durch ${}P$, bei dem ${}Q\in U$ auf ${}P$ abgebildet wird. Zeige, dass man den Tangentialraum an die Faser durch ${}P$ auch als

${\left\{P+{\left(D\psi \right)}_{Q}{\left(u\right)}\mid u\in \mathbb {R} ^{n-m}\right\}}$

beschreiben kann.

Aufgabe

Bestimme den Tangentialraum an die Faser im Punkt ${}(2,-1,3)$ der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{2}e^{z}-y^{3},\,{\frac {x}{e^{yz}}}\right),$

und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{2}+y^{2}+z^{2},\,2x+3y+4z\right).$

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung ${}\varphi$. Zeige, dass ${}P=(1,-2,1)$ regulär ist.

b) Beschreibe für den Punkt ${}P=(1,-2,1)$ den Tangentialraum an die Faser ${}F$ von ${}\varphi$ durch ${}P$.

c) Man gebe für ${}P=(1,-2,1)$ einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von ${}P$ in der Faser ${}F$ durch ${}P$ an.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2},$

im Punkt ${}P=(1,-1,2)$. Man gebe eine differenzierbare Abbildung

$\psi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

an, wobei ${}U$ eine möglichst große offene Teilmenge des Tangentialraumes ${}T_{P}F$ an die Faser ${}F_{P}$ von ${}\varphi$ durch ${}P$ ist, die eine Bijektion zwischen ${}U$ und ${}V\cap F_{P}$ stiftet ($P\in V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen).

Aufgabe

Bestimme den singulären Ort der Hyperfläche ${}V{\left(X^{2}+Y^{3}Z^{2}+Z^{2}\right)}$ und zeige, dass es sich nicht um eine isolierte Singularität handelt.