Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 4

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei

Bestimme die glatten Punkte zur Nullstellenmenge von . Für welche Punkte kann man (bei oder ) den Satz über implizite Abbildungen anwenden, für welche muss man die Definition 3.15 heranziehen?


Aufgabe

Zeige, dass das Stanley-Reisner-Ideal (über einem Körper) zu einem simplizialen Komplex ein Radikal ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Stanley-Reisner-Ideal (über einem Körper) zu einem simplizialen Komplex nur dann ein Primideal ist, wenn nur eine Facette besitzt.


Aufgabe

Es sei das Stanley-Reisner-Ideal zu einem simplizialen Komplex und sei eine Seite von . Zeige

Zeige ferner, dass ein Primideal im Polynomring ist und dass es keine Primideale zwischen und für Facetten gibt.


Aufgabe

Es sei eine Achsenraumkonfiguration. Zeige, dass der singuläre Ort von ebenfalls eine Achsenraumkonfiguration ist.


Aufgabe

Zeige, dass es im Polynomring in Variablen genau Monome vom Grad gibt.


Aufgabe

Zeige, dass es im Polynomring in Variablen genau Monome vom Grad gibt.


Aufgabe

Wir betrachten das maximale Ideal

im Polynomring über einem Körper und seine Potenzen . Zeige, dass die Monome

eine -Basis des Restklassenringes bildet.


Aufgabe

Es sei ein Körper und

ein monomiales Ideal. Zeige, dass ein Polynom genau dann zu gehört, wenn sämtliche Monome, die in (mit einem Koeffizienten ) vorkommen, zu gehören.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für zwei monomiale Ideale und in einem Polynomring und einer natürlichen Zahl derart, dass das Produkt ein Erzeugendensystem von Monomen vom Grad besitzt, die beiden Ideale aber nicht.


Aufgabe

Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass die Potenzen , alle dasselbe Radikal besitzen.


Aufgabe

Es sei das durch die Variablen erzeugte maximale Ideal im Polynomring über einem Körper und ein Polynom mit . Zeige, dass für jede formale partielle Ableitung

gilt.


Aufgabe

Berechne in das Produkt


Aufgabe

Es sei und das maximale Ideale von . Bestimme eine Formel für die -Dimension der Restklassenringe für .


Aufgabe

Es sei und das maximale Ideale von . Bestimme eine Formel für die -Dimension der Restklassenringe für .


Aufgabe

Es sei ein Stanley-Reisner-Ring der Dimension (d.h. die maximale Elementanzahl in einer Facette von sei ) und das homogene maximale Ideal davon. Vergleiche die Größenordnung der Funktion

mit der entsprechenden Funktion für einen Polynomring in Variablen.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass genau dann ein lokaler Ring ist, wenn nur dann eine Einheit ist, wenn oder eine Einheit ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.

  1. hat genau ein maximales Ideal
  2. Die Menge der Nichteinheiten bildet ein Ideal in .


Aufgabe

Sei ein lokaler Ring mit Restekörper . Zeige, dass und genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn einen Körper enthält.


Aufgabe *

Sei ein lokaler Ring und ein Ideal von . Zeige, dass

surjektiv ist.


Aufgabe

Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen , die lokal sind.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und . Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von an maximalen Idealen zueinander isomorph sind.


Aufgabe

Sei ein Körper und betrachte das Achsenkreuz

Bestimme für jeden Punkt , ob der lokale Ring an ein Integritätsbereich ist oder nicht.


Aufgabe

Wir betrachten die Neilsche Parabel

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von an Punkten zueinander isomorph sind, aber nicht zur Lokalisierung im Nullpunkt.


Aufgabe

Es sei die Lokalisierung im Nullpunkt der Kurve

und es sei die Lokalisierung des Achsenkreuzes im Nullpunkt. Sind diese beiden lokalen Ringe isomorph?


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein maximales Ideal mit Lokalisierung . Es sei ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann auch eine Lokalisierung von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine endlich erzeugte -Algebra. Es sei die Lokalisierung von an einem maximalen Ideal . Zeige, dass der Restekörper von endlich über ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, sei und sei ein Ideal. Zeige, dass genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen gilt, dass ist.


Aufgabe *

Sei ein Körper und seien und integre, endlich erzeugte -Algebren. Es sei

ein -Algebrahomomorphismus und ein maximales Ideal in mit . Die Abbildung induziere einen Isomorphismus . Zeige, dass es dann auch ein , , gibt derart, dass ein Isomorphismus ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper und ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal . Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

vorliegt.


Aufgabe

Es sei ein simplizialer Komplex und der zugehörige Stanley-Reisner-Ring. Es sei ein Punkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal . Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist ein glatter Punkt von .
  2. Die Lokalisierung ist ein Integritätsbereich.
  3. Die Lokalisierung ist isomorph zu einer Lokalisierung eines Polynomringes an einem maximalen Ideal ist.


Aufgabe

Es sei eine affin-algebraische Menge und . Zeige, dass durch

eine stetige Bijektion mit

gegeben ist.


Aufgabe

Zeige, dass in der Situation von Aufgabe 4.32 ein Punkt genau dann glatt ist, wenn glatt ist.


Wir werden später sehen, dass die Glattheit eine intrinsische Eigenschaft des Punktes bzw. des lokalen Ringes ist.

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