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Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 4

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Aufgaben

Es sei

Bestimme die glatten Punkte zur Nullstellenmenge von . Für welche Punkte kann man (bei oder ) den Satz über implizite Abbildungen anwenden, für welche muss man die Definition 3.15 heranziehen?



Zeige, dass das Stanley-Reisner-Ideal (über einem Körper) zu einem simplizialen Komplex ein Radikal ist.



Zeige, dass das Stanley-Reisner-Ideal (über einem Körper) zu einem simplizialen Komplex nur dann ein Primideal ist, wenn nur eine Facette besitzt.



Es sei das Stanley-Reisner-Ideal zu einem simplizialen Komplex und sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} S} eine Seite von . Zeige

Zeige ferner, dass ein Primideal im Polynomring ist und dass es keine Primideale zwischen und für Facetten gibt.



Es sei eine Achsenraumkonfiguration. Zeige, dass der singuläre Ort von ebenfalls eine Achsenraumkonfiguration ist.



Zeige, dass es im Polynomring in Variablen genau Monome vom Grad gibt.



Zeige, dass es im Polynomring in Variablen genau Monome vom Grad gibt.



Wir betrachten das maximale Ideal

im Polynomring über einem Körper und seine Potenzen . Zeige, dass die Monome

eine - Basis des Restklassenringes bildet.



Es sei ein Körper und

ein monomiales Ideal. Zeige, dass ein Polynom genau dann zu gehört, wenn sämtliche Monome, die in (mit einem Koeffizienten ) vorkommen, zu gehören.



Man gebe ein Beispiel für zwei monomiale Ideale und in einem Polynomring und einer natürlichen Zahl derart, dass das Produkt ein Erzeugendensystem von Monomen vom Grad besitzt, die beiden Ideale aber nicht.



Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass die Potenzen , alle dasselbe Radikal besitzen.



Es sei das durch die Variablen erzeugte maximale Ideal im Polynomring über einem Körper und ein Polynom mit . Zeige, dass für jede formale partielle Ableitung

gilt.



Berechne in das Produkt



Es sei und das maximale Ideale von . Bestimme eine Formel für die - Dimension der Restklassenringe für .



Es sei und das maximale Ideale von . Bestimme eine Formel für die - Dimension der Restklassenringe für .



Es sei ein Stanley-Reisner-Ring der Dimension (d.h. die maximale Elementanzahl in einer Facette von sei ) und das homogene maximale Ideal davon. Vergleiche die Größenordnung der Funktion

mit der entsprechenden Funktion für einen Polynomring in Variablen.



Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass genau dann ein lokaler Ring ist, wenn nur dann eine Einheit ist, wenn oder eine Einheit ist.



Es sei ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.

  1. hat genau ein maximales Ideal
  2. Die Menge der Nichteinheiten bildet ein Ideal in .



Es sei ein lokaler Ring mit Restekörper . Zeige, dass und genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn einen Körper enthält.



Es sei ein lokaler Ring und ein Ideal von . Zeige, dass

surjektiv ist.



Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen , die lokal sind.



Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und . Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von an maximalen Idealen zueinander isomorph sind.



Es sei ein Körper und betrachte das Achsenkreuz

Bestimme für jeden Punkt , ob der lokale Ring an ein Integritätsbereich ist oder nicht.



Wir betrachten die Neilsche Parabel

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von an Punkten zueinander isomorph sind, aber nicht zur Lokalisierung im Nullpunkt.



Es sei die Lokalisierung im Nullpunkt der Kurve

und es sei die Lokalisierung des Achsenkreuzes im Nullpunkt. Sind diese beiden lokalen Ringe isomorph?



Es sei ein kommutativer Ring und sei ein maximales Ideal mit Lokalisierung . Es sei ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann auch eine Lokalisierung von ist.



Es sei ein Körper und eine endlich erzeugte - Algebra. Es sei die Lokalisierung von an einem maximalen Ideal . Zeige, dass der Restekörper von endlich über ist.



Es sei ein kommutativer Ring, sei und sei ein Ideal. Zeige, dass genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen gilt, dass ist.



Es sei ein Körper und seien und integre, endlich erzeugte - Algebren. Es sei

ein - Algebrahomomorphismus und ein maximales Ideal in mit . Die Abbildung induziere einen Isomorphismus . Zeige, dass es dann auch ein , , gibt derart, dass ein Isomorphismus ist.



Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper und ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal . Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

vorliegt.



Es sei ein simplizialer Komplex und der zugehörige Stanley-Reisner-Ring. Es sei ein Punkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal . Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist ein glatter Punkt von .
  2. Die Lokalisierung ist ein Integritätsbereich.
  3. Die Lokalisierung ist isomorph zu einer Lokalisierung eines Polynomringes an einem maximalen Ideal ist.



Es sei eine affin-algebraische Menge und . Zeige, dass durch

eine stetige Bijektion mit

gegeben ist.



Zeige, dass in der Situation von Aufgabe 4.32 ein Punkt genau dann glatt ist, wenn glatt ist.


Wir werden später sehen, dass die Glattheit eine intrinsische Eigenschaft des Punktes bzw. des lokalen Ringes ist.

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