Reelles Vektorbündel/Zusammenhang/Krümmung/Einführung/Textabschnitt

Es seien ${}V$ und ${}W$ zweifach stetig differenzierbare Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ und sei ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf einem Vektorbündel ${}p\colon E\rightarrow M$ über ${}M$. Es ist

$\nabla _{W}\colon C^{2}(E)\longrightarrow C^{1}(E),\,s\longmapsto \nabla _{W}(s),$

die vertikale Ableitung. Auf das Ergebnis ${}\nabla _{W}(s)$ kann man wiederum die vertikale Ableitung in Richtung ${}V$ anwenden und erhält den stetigen Schnitt ${}\nabla _{V}{\left(\nabla _{W}(s)\right)}$. Wenn alle Objekte ${}C^{\infty }$ sind, muss man sich über die Differenzierbarkeitsgrade keine Gedanken machen. Hier betrachten wir den Ausdruck

${}R(V,W)=\nabla _{V}\nabla _{W}-\nabla _{W}\nabla _{V}-\nabla _{[V,W]}\,,$

der aus (hinreichend differenzierbaren) Schnitten in ${}E$ wieder einen Schnitt in ${}E$ produziert. Dabei ist ${}[V,W]$ die Lie-Klammer von Vektorfeldern.

Definition

Es sei ${}M$ eine zweifach stetige differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ${}E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über ${}M$ mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$. Dann nennt man zu differenzierbaren Vektorfeldern ${}V$ und ${}W$ auf ${}M$ die Abbildung

$C^{2}(E)\longrightarrow C^{0}(E),\,s\longmapsto \nabla _{V}\nabla _{W}(s)-\nabla _{W}\nabla _{V}(s)-\nabla _{[V,W]}(s),$

den Krümmungsoperator zu ${}V$ und ${}W$. Er wird mit ${}R(V,W)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ offen und ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel ${}E=U\times \mathbb {R} ^{r}$. Es seien ${}\partial _{i}$, ${}1\leq i\leq d$ die Standardvektorfelder und ${}s_{j}$, ${}1\leq j\leq r$ die Standardschnitte in ${}E$.

Dann gilt für den Krümmungsoperator

${}R(\partial _{i},\partial _{j})(s_{k})=\sum _{\ell =1}^{r}R_{ijk}^{\ell }s_{\ell }\,$

mit

${}R_{ijk}^{\ell }={\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }+\sum _{a=1}^{r}\Gamma _{jk}^{a}\Gamma _{ia}^{\ell }-\sum _{a=1}^{r}\Gamma _{ik}^{a}\Gamma _{ja}^{\ell }\,,$

wobei die ${}\Gamma _{ik}^{\ell }$ die lokalen Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezeichnen.

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}R(\partial _{i},\partial _{j})&=\nabla _{\partial _{i}}\circ \nabla _{\partial _{j}}-\nabla _{\partial _{j}}\circ \nabla _{\partial _{i}}-\nabla _{[\partial _{i},\partial _{j}]}\\&=\nabla _{\partial _{i}}\circ \nabla _{\partial _{j}}-\nabla _{\partial _{j}}\circ \nabla _{\partial _{i}},\end{aligned}}$

da ja die partiellen Ableitungen kommutieren und daher ihre Lie-Klammer gleich ${}0$ ist. Für einen Standardschnitt ${}s_{k}$ ist daher unter Verwendung von Fakt

${}{\begin{aligned}R(\partial _{i},\partial _{j})(s_{k})&=\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{\partial _{j}}(s_{k}))-\nabla _{\partial _{j}}(\nabla _{\partial _{i}}(s_{k}))\\&=\nabla _{\partial _{i}}{\left(\sum _{\ell =1}^{r}\Gamma _{jk}^{\ell }s_{\ell }\right)}-\nabla _{\partial _{j}}{\left(\sum _{\ell =1}^{r}\Gamma _{ik}^{\ell }s_{\ell }\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left(\nabla _{\partial _{i}}{\left(\Gamma _{jk}^{\ell }s_{\ell }\right)}-\nabla _{\partial _{j}}{\left(\Gamma _{ik}^{\ell }s_{\ell }\right)}\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left({\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }s_{\ell }+\Gamma _{jk}^{\ell }\sum _{\rho =1}^{r}\Gamma _{i\ell }^{\rho }s_{\rho }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }s_{\ell }-\Gamma _{ik}^{\ell }\sum _{\rho =1}^{r}\Gamma _{j\ell }^{\rho }s_{\rho }\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left({\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }\right)}s_{\ell }+\sum _{\ell =1}^{r}\sum _{\rho =1}^{r}{\left(\Gamma _{jk}^{\ell }\Gamma _{i\ell }^{\rho }s_{\rho }-\Gamma _{ik}^{\ell }\Gamma _{j\ell }^{\rho }s_{\rho }\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left({\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }\right)}s_{\ell }+\sum _{\ell =1}^{r}{\left(\sum _{a=1}^{r}\Gamma _{jk}^{a}\Gamma _{ia}^{\ell }-\sum _{a=1}^{r}\Gamma _{ik}^{a}\Gamma _{ja}^{\ell }\right)}s_{\ell }.\end{aligned}}$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und sei ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel ${}U\times \mathbb {R}$ vom Rang ${}1$ mit den Christoffelsymbolen ${}\Gamma _{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$. Dann gelten folgende Aussagen für den Krümmungsoperator zu den Standardvektorfeldern ${}\partial _{i}$.

1. Es ist

   ${}R(\partial _{i},\partial _{j})=\partial _{i}\Gamma _{j}-\partial _{j}\Gamma _{i}\,.$

2. Genau dann ist ${}R(\partial _{i},\partial _{j})=0$ für alle ${}i,j$, wenn die ${}1$-Differentialform ${}\sum _{i=1}^{n}\Gamma _{i}dx_{i}$ geschlossen ist.

Beweis

1. Da der Rang des Bündels gleich ${}1$ ist, schreiben wir ${}\Gamma _{i}=\Gamma _{i1}^{1}$ und entsprechend ${}R_{ij}=R_{ij1}^{1}$, die Aussage ist als

   ${}R(\partial _{i},\partial _{j})(e)={\left(\partial _{i}\Gamma _{j}-\partial _{j}\Gamma _{i}\right)}e\,$

   mit dem konstanten Einheitsschnitt ${}e$ zu verstehen. Nach der expliziten Beschreibung in Fakt ist

   ${}R(\partial _{i},\partial _{j})={\partial _{i}}\Gamma _{j}-{\partial _{j}}\Gamma _{i}+\Gamma _{j}\Gamma _{i}-\Gamma _{i}\Gamma _{j}={\partial _{i}}\Gamma _{j}-{\partial _{j}}\Gamma _{i}\,.$

2. Dies folgt aus (1) und aus Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}M$ eine zweifach stetige differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ${}E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über ${}M$ mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$. Dann erfüllt der Krümmungsoperator die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist

   ${}R(V,W)=-R(W,V)\,.$

2. ${}R$ ist additiv in beiden Komponenten.
3. Für eine differenzierbare Funktion ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ ist

   ${}R(fV,W)=fR(V,W)\,.$

Beweis

Die Eigenschaften sind lokal in der Mannigfaltigkeit, man kann sie also auf einer offenen Überdeckung nachweisen, wobei die offenen Teilmengen diffeomorph zu offenen Mengen im ${}\mathbb {R} ^{d}$ sind und worauf das Vektorbündel trivial ist. Somit folgt (1) aus Fakt. (2) folgt aus Fakt und aus Fakt. (3) Wir betrachten die lokale Situation mit den Vektorfeldern ${}f\partial _{i}$ und ${}g\partial _{j}$. Es ist

${}R(f\partial _{i},g\partial _{j})=\nabla _{f\partial _{i}}\circ \nabla _{g\partial _{j}}-\nabla _{g\partial _{j}}\circ \nabla _{f\partial _{i}}-\nabla _{[f\partial _{i},g\partial _{j}]}\,.$

Nach Fakt ist

${}[f\partial _{i},g\partial _{j}]=f[\partial _{i},g\partial _{j}]-g\partial _{j}(f)\partial _{i}\,.$

Somit ist für einen Schnitt ${}s$ unter Verwendung von Fakt

${}{\begin{aligned}R(f\partial _{i},g\partial _{j})(s)&=\nabla _{f\partial _{i}}\circ \nabla _{g\partial _{j}}(s)-\nabla _{g\partial _{j}}\circ \nabla _{f\partial _{i}}(s)-\nabla _{[f\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{f\partial _{i}}(s))-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]-g\partial _{j}(f)\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-\nabla _{g\partial _{j}}(f\nabla _{\partial _{i}}(s))-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)+\nabla _{g\partial _{j}(f)\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-f\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{\partial _{i}}(s))-g\partial _{j}(f)\nabla _{\partial _{i}}(s)-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)+g\partial _{j}(f)\nabla _{\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-f\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{\partial _{i}}(s))-f\nabla _{[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)\\&=fR(\partial _{i},\partial _{j})(s).\end{aligned}}$

Wegen (1) und (2) folgt daraus die Aussage.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}M$ eine eindimensionale ${}C^{2}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ${}E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über ${}M$ mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$.

Dann ist der Krümmungsoperator für beliebige Vektorfelder ${}V,W$ trivial.

Beweis

Die Aussage ist lokal, daher können wir direkt ${}M=I$ ein offenes Intervall und ${}V=f\partial$, ${}W=g\partial$ mit dem Standardvektorfeld ${}\partial$ ansetzen. Nach Fakt  (3) ist

${}R(f\partial ,g\partial )=fgR(\partial ,\partial )=0\,$

wegen ${}[\partial ,\partial ]=0$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}M$ eine ${}C^{2}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E=M\times \mathbb {R} ^{r}$ das triviale Vektorbündel mit dem trivialen Zusammenhang.

Dann ist für beliebige Vektorfelder ${}V,W$ der Krümmungsoperator ${}R(V,W)$ trivial.

Beweis

Die Aussage ist lokal, wir können also von ${}M=U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen ausgehen. Nach Fakt  (3) können wir weiter auf den Fall reduzieren, dass die Vektorfelder Standardvektorfelder ${}\partial _{i}$ sind. Nach Aufgabe sind die Christoffelsymbole zum trivialen Zusammenhang trivial, also folgt die Aussage aus Fakt.

$\Box$