Es sei ein
kommutativer Ring und seien
-Moduln.
Es sei der von sämtlichen Symbolen
(mit )
erzeugte
freie-Modul.
Es sei der von allen Elementen der Form
Die Bilder von in bezeichnet man wieder mit . Jedes Element aus besitzt eine
(nicht eindeutige) Darstellung als
(mit und ). Insbesondere bilden die
(zerlegbaren Tensoren) ein
-Modulerzeugendensystem
des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untermoduls werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt
für beliebige .
Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende universelle Eigenschaft.
gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den
freien Modul aus der Konstruktion des Tensorprodukts. Die Symbole bilden eine
Basis
von , daher legt die Vorschrift eine lineare Abbildung
fest. Wegen der
Multilinearität
von wird der Untermodul auf abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz einen
-Modulhomomorphismus
Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf
(eindeutige) Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen -Modul zusammen mit einer multilinearen Abbildung
derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen -Modul eindeutig über mit einer linearer Abbildung von nach faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen und dem Tensorprodukt . Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.
ist klar, da die ein
-Modulerzeugendensystem
von bilden und diese im Bild der Abbildung liegen. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie
nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also
eine
-multilineare Abbildung
in einen -Modul . Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung
und damit eine -lineare Abbildung
vor. Wegen
ist
und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung
Ringwechsel
Wir betrachten jetzt den Fall des Tensorproduktes, wenn über ein -Modul und eine kommutative -Algebra vorliegt.
nennt man die Komplexifizierung von . Wenn die
Dimension besitzt, so besitzt als komplexer Vektorraum ebenfalls die Dimension . Wenn man als reellen Vektorraum betrachtet, so besitzt er die
reelle
Dimension .
Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation
die explizit durch
gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die -Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation
induziert eine
-lineare Abbildung
Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung
mit dieser Abbildung ist die Identität auf , sodass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1). (4) folgt aus
Fakt (3). (5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine -lineare Abbildung
.
Dies führt zu einer -multilinearen Abbildung
die eine -lineare Abbildung
induziert. Andererseits haben wir eine -lineare Abbildung
Rechts steht ein -Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine -multilineare Abbildung
auffassen, die ihrerseits zu einer -linearen Abbildung
führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die -Multiplikationen entsprechen.
Zu einem
Integritätsbereich mit
Quotientenkörper und einem
-Modul erhält man im
Tensorprodukt einen Modul über dem Quotientenkörper , also einen
Vektorraum.
Dieser Vektorraum trägt häufig schon wesentliche Informationen über den Modul. Seine
Dimension
nennt man auch den Rang des Moduls.