Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimensionstheorie/Einführung/Textabschnitt

Ein endlich erzeugter Vektorraum hat im Allgemeinen ganz unterschiedliche Basen. Wenn beispielsweise ein homogenes lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen vorliegt, so ist nach Fakt der Lösungsraum ein Untervektorraum von ${}K^{n}$, und eine Basis des Lösungsraumes kann man aus dem äquivalenten Gleichungssystem in Stufenform errechnen. Da man aber im Eliminationsverfahren mehrere Wahlmöglichkeiten hat, kann man zu unterschiedlichen Basen des Lösungsraumes gelangen. Dabei ist es keineswegs selbstverständlich, dass die Anzahl der Basislösungen unabhängig vom eingeschlagenen Verfahren ist. In dieser Vorlesung werden wir allgemein zeigen, dass die Anzahl der Elemente in einer Basis eines Vektorraumes stets konstant ist und nur vom Vektorraum abhängt. Diese wichtige Eigenschaft werden wir nach einigen technischen Vorbereitungen beweisen und als Ausgangspunkt für die Definition der Dimension eines Vektorraumes nehmen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei ${}w\in V$ ein Vektor mit einer Darstellung

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,,$

wobei ${}s_{k}\neq 0$ sei für ein bestimmtes ${}k$.

Dann ist auch die Familie

$v_{1},\ldots ,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots ,v_{n}$

eine Basis von ${}V$.

Beweis

Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

und ${}s_{k}\neq 0$ den Vektor ${}v_{k}$ als

${}v_{k}={\frac {1}{s_{k}}}w-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}\,$

schreiben. Es sei nun ${}u\in V$ beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben

${}{\begin{aligned}u&=\sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}t_{i}v_{i}+t_{k}v_{k}+\sum _{i=k+1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}t_{i}v_{i}+t_{k}{\left({\frac {1}{s_{k}}}w-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}\right)}+\sum _{i=k+1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}{\left(t_{i}-t_{k}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}\right)}v_{i}+{\frac {t_{k}}{s_{k}}}w+\sum _{i=k+1}^{n}{\left(t_{i}-t_{k}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}\right)}v_{i}.\end{aligned}}$

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung ${}k=1$ an. Es sei

${}t_{1}w+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=0\,$

eine Darstellung der Null. Dann ist

${}0=t_{1}w+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=t_{1}{\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=t_{1}s_{1}v_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(t_{1}s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\,.$

Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere ${}t_{1}s_{1}=0$ und wegen ${}s_{1}\neq 0$ ergibt sich ${}t_{1}=0$. Deshalb ist ${}\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=0$ und daher gilt ${}t_{i}=0$ für alle ${}i$.

$\Box$

Die vorstehende Aussage heißt Austauschlemma, die nachfolgende Austauschsatz.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einer Basis

$b_{1},\ldots ,b_{n}.$

Ferner sei

$u_{1},\ldots ,u_{k}$

eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in ${}V$.

Dann gibt es eine Teilmenge

${}J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}=I\,$

derart, dass die Familie

$u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,$

eine Basis von ${}V$ ist.

Insbesondere ist ${}k\leq n$.

Beweis

Wir führen Induktion über ${}k$, also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei ${}k=0$ ist nichts zu zeigen. Es sei die Aussage für ${}k$ schon bewiesen und seien ${}k+1$ linear unabhängige Vektoren

$u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1}$

gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die

(ebenfalls linear unabhängigen) Vektoren

$u_{1},\ldots ,u_{k}$

gibt es eine Teilmenge ${}J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ derart, dass die Familie

$u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,$

eine Basis von ${}V$ ist. Wir wollen auf diese Basis das Austauschlemma anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man

${}u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}c_{j}u_{j}+\sum _{i\in I\setminus J}d_{i}b_{i}\,$

schreiben.  Wären hierbei alle Koeffizienten ${}d_{i}=0$,  so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der ${}u_{j}$, ${}j=1,\ldots ,k+1$. Es gibt also ein ${}i\in I\setminus J$ mit ${}d_{i}\neq 0$. Wir setzen ${}i_{k+1}:=i$. Damit ist ${}J'=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},i_{k+1}\}$ eine ${}(k+1)$-elementige Teilmenge von ${}{\{1,\ldots ,n\}}$. Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor ${}b_{i_{k+1}}$ durch ${}u_{k+1}$ ersetzen und erhält die neue Basis

$u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1},b_{i},i\in I\setminus J'.$

  Der Zusatz folgt sofort, da eine ${}k$-elementige Teilmenge einer ${}n$-elementigen Menge vorliegt.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Standardbasis ${}e_{1},e_{2},e_{3}$ des ${}K^{3}$ und die beiden linear unabhängigen Vektoren ${}u_{1}={\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}$ und ${}u_{2}={\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}$, die wir mit Hilfe der Standardbasis gemäß dem im Beweis zum Basisaustauschsatz beschriebenen Verfahren zu einer Basis ergänzen wollen. Betrachten wir zunächst

${}u_{1}=3e_{1}+2e_{2}+e_{3}\,.$

Da sämtliche Koeffizienten nicht ${}0$ sind, kann man ${}u_{1}$ mit je zwei der Standardvektoren zu einer Basis ergänzen. Wir nehmen die neue Basis

$u_{1},e_{1},e_{2}.$

Als zweiten Schritt wollen wir ${}u_{2}$ in die Basis mitaufnehmen. Es ist

${}u_{2}={\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}-e_{1}=2u_{1}-e_{1}+0e_{2}\,.$

Nach dem Beweis müssen wir ${}e_{1}$ rauswerfen, da es mit einem Koeffizienten ${}\neq 0$ in dieser Gleichung vorkommt (${}e_{2}$ dürften wir nicht rauswerfen). Die neue Basis ist somit

$u_{1},u_{2},e_{2}.$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.

Dann besitzen je zwei Basen von ${}V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.

Beweis

Es seien ${}{\mathfrak {b}}=b_{1},\ldots ,b_{n}$ und ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}$ zwei Basen von ${}V$. Aufgrund des Basisaustauschsatzes, angewandt auf die Basis ${}{\mathfrak {b}}$ und die linear unabhängige Familie ${}{\mathfrak {u}}$ ergibt sich ${}k\leq n$. Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt ${}n\leq k$, also insgesamt ${}n=k$.

$\Box$

Dieser Satz erlaubt die folgende Definition.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von ${}V$ die Dimension von ${}V$, geschrieben

$\dim _{K}{\left(V\right)}.$

Wenn ein Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, so setzt man ${}\operatorname {dim} _{}\left(V\right)=\infty$. Der Nullraum ${}0$ hat die Dimension ${}0$. Einen eindimensionalen Vektorraum nennt man auch eine Gerade, einen zweidimensionalen Vektorraum eine Ebene, einen dreidimensionalen Vektorraum einen Raum (im engeren Sinn), wobei man andererseits auch jeden Vektorraum einen Raum nennt.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann besitzt der Standardraum ${}K^{n}$ die Dimension ${}n$.

Beweis

Die Standardbasis ${}e_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, besteht aus ${}n$ Vektoren, also ist die Dimension ${}n$.

$\Box$

Beispiel

Die komplexen Zahlen bilden einen zweidimensionalen reellen Vektorraum, eine Basis ist z.B. ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$.

Beispiel

Der Polynomring ${}R=K[X]$ über einem Körper ${}K$ ist kein endlichdimensionaler Vektorraum. Es ist zu zeigen, dass es kein endliches Erzeugendensystem des Polynomringes gibt. Betrachten wir ${}n$ Polynome ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$. Es sei ${}d$ das Maximum der Grade dieser Polynome. Dann hat auch jede ${}K$-Linearkombination ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}$ maximal den Grad ${}d$. Insbesondere können Polynome von einem größeren Grad nicht durch ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ dargestellt werden, und diese endlich vielen Polynome sind kein Erzeugendensystem für alle Polynome.

Die vorstehende Aussage folgt auch daraus, dass wir aufgrund von Beispiel schon eine unendliche Basis, nämlich die Potenzen ${}X^{n}$, des Polynomrings kennen. Dies schließt generell die Existenz einer endlichen Basis aus, siehe Aufgabe (der Beweis zu Fakt zeigt strenggenommen nur, dass zwei endliche Basen die gleiche Anzahl haben müssen).

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann ist ${}U$ ebenfalls endlichdimensional und es gilt

${}\dim _{K}{\left(U\right)}\leq \dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Beweis

Es sei ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Jede linear unabhängige Familie in ${}U$ ist auch linear unabhängig in ${}V$. Daher kann es aufgrund des Basisaustauschsatzes in ${}U$ nur linear unabhängige Familien der Länge ${}\leq n$ geben. Es sei ${}k\leq n$ derart, dass es in ${}U$ eine linear unabhängige Familie mit ${}k$ Vektoren gibt, aber nicht mit ${}k+1$ Vektoren. Sei ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}$ eine solche Familie. Diese ist dann insbesondere eine maximal linear unabhängige Familie in ${}U$ und daher wegen Fakt eine Basis von ${}U$.

$\Box$

Die Differenz

$\operatorname {dim} _{}\left(V\right)-\operatorname {dim} _{}\left(U\right)$

nennt man auch die Kodimension von ${}U$ in ${}V$.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper. Man kann sich einfach einen Überblick über die Untervektorräume des ${}K^{n}$ verschaffen, als Dimension von Untervektorräumen kommt nach Fakt nur ${}k$ mit ${}0\leq k\leq n$ in Frage. Bei ${}n=0$ gibt es nur den Nullraum selbst, bei ${}n=1$ gibt es den Nullraum und ${}K$ selbst. Bei ${}n=2$ gibt es den Nullraum, die gesamte Ebene ${}K^{2}$, und die eindimensionalen Geraden durch den Nullpunkt. Jede solche Gerade ${}G$ hat die Gestalt

${}G=Kv={\left\{sv\mid s\in K\right\}}\,$

mit einem von ${}0$ verschiedenen Vektor ${}v$. Zwei von ${}0$ verschiedene Vektoren definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn sie linear abhängig sind. Bei ${}n=3$ gibt es den Nullraum, den Gesamtraum ${}K^{3}$, die eindimensionalen Geraden durch den Nullpunkt und die zweidimensionalen Ebenen durch den Nullpunkt.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit endlicher Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben.

Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Der folgende Satz heißt Basisergänzungssatz.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es seien

$u_{1},\ldots ,u_{k}$

linear unabhängige Vektoren in ${}V$.

Dann gibt es Vektoren

$u_{k+1},\ldots ,u_{n}$

derart, dass

$u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1},\ldots ,u_{n}$

eine Basis von ${}V$ bilden.

Beweis

Es sei ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine Basis von ${}V$. Aufgrund des Austauschsatzes findet man ${}n-k$ Vektoren aus der Basis ${}{\mathfrak {b}}$, die zusammen mit den vorgegebenen ${}u_{1},\ldots ,u_{k}$ eine Basis von ${}V$ bilden.

$\Box$

Insbesondere kann man eine Basis eines Untervektorraumes ${}U\subseteq V$ stets zu einer Basis des Gesamtraumes ergänzen.