Kurs:Algebraische Kurven/11/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 0 3 4 4 0 12 0 3 2 2 3 3 5 47




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Radikal zu einem Ideal in einem kommutativen Ring .
  2. Ein Kegelschnitt.
  3. Die Lokalisierung eines kommutativen Ringes an einem Primideal .
  4. Die Normalisierung zu einem kommutativen Monoid .
  5. Die Homogenisierung zu einem Ideal .
  6. Eine projektive Varietät.


Lösung

  1. Man nennt die Menge

    das Radikal zu .

  2. Ein Kegelschnitt ist der Durchschnitt des Standardkegels mit einer affinen Ebene (nicht alle ), also
  3. Man nennt die Nenneraufnahme an die Lokalisierung von an .
  4. Das Untermonoid

    heißt die Normalisierung von .

  5. Das Ideal in , das von allen Homogenisierungen von Elementen aus erzeugt wird, heißt die Homogenisierung von .
  6. Eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge , wobei ein homogenes Ideal in ist, heißt projektive Varietät.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.
  2. Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.
  3. Der Satz über die Glattheit und Normalität einer ebenen Kurve.


Lösung

  1. Sei ein Körper und seien und kommutative Algebren von endlichem Typ. Es sei ein -Algebrahomomorphismus. Dann induziert dies eine Abbildung
    Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.
  2. Sei ein kommutativer Ring und sei ein kommutatives Monoid. Sei eine kommutative -Algebra und

    ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von ). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten -Algebrahomomorphismus

    derart, dass das Diagramm

    kommutiert.
  3. Sei ein Körper und sei nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve . Es sei ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal und mit lokalem Ring . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. ist ein glatter Punkt der Kurve.
    2. Die Multiplizität von ist eins.
    3. ist ein diskreter Bewertungsring.
    4. ist ein normaler Integritätsbereich.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

  1. Ist das Bild der Funktion

    eine algebraische Kurve?

  2. Ist das Bild der Funktion

    eine algebraische Kurve?

  3. Ist das Bild der Funktion

    „isomorph“ zu einer algebraischen Kurve?


Lösung

  1. Das Bild ist die Menge

    Der Durchschnitt mit der vollen Diagonalen besitzt unendlich viele Punkte, ist aber nicht die volle gerade, also ist das Bild nach Lemma 1.3 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) keine ebene algebraische Kurve.

  2. Das Bild ist die Menge

    Somit ist wie in (1) keine ebene algebraische Kurve.

  3. Nach (2) ist das Bild gleich , dies ist isomorph zur komplexen Hyperbel .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte von und in .


Lösung

Wir setzen

in die Kreisgleichung ein und erhalten

Dies führt auf

und somit auf

Daher ist

also

oder

Somit ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge .


Lösung

Die Inklusion wurde in Lemma 3.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))  (1) gezeigt. Da nach Definition abgeschlossen ist, folgt daraus .

Sei umgekehrt und sei angenommen. Dies bedeutet, dass es eine Zariski-offene Menge gibt mit und . Sei . Die Bedingung bedeutet, dass es ein geben muss mit . Es ist dann und damit . Also ist und somit . Wegen ergibt sich ein Widerspruch zu .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (12 (3+5+3+1) Punkte)

Es seien kommutative Ringe und sei

der Produktring.

  1. Es seien

    Ideale. Zeige, dass die Produktmenge

    ein Ideal in ist.

  2. Zeige, dass jedes Ideal die Form

    mit Idealen besitzt.

  3. Sei

    ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche Hauptideale sind.

  4. Zeige, dass genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle Hauptidealringe sind.


Lösung

  1. Wegen

    ist nicht leer. Für zwei Elemente und aus ist jeweils . Daher ist stets und somit gehört

    zum Ideal. Für

    und

    ist jeweils und daher . Somit gehört

    zu .

  2. Zu einem Ideal

    setzen wir

    Hierbei steht an der -ten Stelle. Dies ist jeweils ein Ideal in : Es ist ; wenn

    ist auch

    Wenn und ist, so ist

    und somit ist

    also . Wir behaupten

    Wenn

    ist, so ist auch (mit der an der -ten Stelle)

    also . Also ist . Wenn umgekehrt ist, so ist , also

    Wegen

    ist somit .

  3. Es seien zunächst die Hauptideale in . Für jedes Element ist dann mit einem . Damit ist

    also ist ein Erzeuger von und es liegt ein Hauptideal vor. Wenn umgekehrt ein Hauptideal ist, so sei ein Erzeuger davon. Zu jedem gehört zu und somit gibt es ein mit

    Also ist

    und daher ist ein Erzeuger von .

  4. Dies folgt unmittelbar aus (3).


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei das Bild der Abbildung

Skizziere die Bilder von unter den Projektionen auf die verschiedenen Koordinatenebenen.


Lösung Projektionen/t t^2 t^3/Skizziere/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen injektiven Monoidhomomorphismus zwischen kommutativen Monoiden derart an, dass die zugehörige Spektrumsabbildung nicht surjektiv ist.


Lösung

Wir betrachten die Inklusion . Zu einem beliebigen Körper ist die Abbildung , die auf und alle positiven Zahlen auf abbildet, ein Monoidhomomorphismus, also ein Punkt aus . Dieser Homomorphismus ist nicht zu einem Monoidhomomorphismus auf ganz ausdehnbar, da dort invertierbar ist und daher auf eine Einheit geschickt werden muss.


Aufgabe (2 Punkte)

Ist die ebene projektive Kurve isomorph zum projektiven Abschluss einer monomialen Kurve?


Lösung

Wir schreiben

wobei wir schreiben. D.h. wir führen eine projektive Variablentransformation durch und schreiben die Gleichung in den neuen Variablen . In dieser Form ist die Kurve der projektive Abschluss der affinen monomialen Kurve .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine kommutative -Algebra über einem kommutativen Ring . Zu bezeichne

die -lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei -linearen Abbildungen

bezeichne

Es sei eine -Derivation. Zeige, dass zu jedem die Abbildung eine Multiplikationsabbildung ist.


Lösung

Es ist

Somit ist die Multiplikation mit .


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Betrachte die affine Nullstellenmenge

über dem Körper mit zwei Elementen.

  1. Bestimme die Punkte von .
  2. Bestimme den projektiven Abschluss von .
  3. Zeige, dass der projektive Abschluss von nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von übereinstimmt.


Lösung

  1. besteht genau aus den beiden Punkten und .
  2. Der projektive Abschluss von stimmt mit überein, da endliche Mengen stets abgeschlossen sind.
  3. Die Homogenisierung von ist . Die Punkte im Unendlichen ergeben sich, wenn man setzt, also als Lösung der Gleichung

    Es kommt der Punkt mit den homogenen Koordinaten hinzu, deshalb sind die beiden Mengen verschieden.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.


Lösung

Es sei ein Punkt, der nicht auf der Kurve liegt. Einen solchen Punkt gibt es, da der Körper insbesondere unendlich ist. Wir betrachten die Projektion weg von , die insgesamt einen Morphismus

induziert. Die Faser dieses Morphismus über einem Punkt (der eine Richtung in repräsentiert) besteht genau aus den Punkten der Kurve, die auf der durch definierten Geraden

liegen. Daher wird die Faser über auf beschrieben, indem man in der Kurvengleichung mittels der Geradengleichung eine Variable eliminiert. Das Ergebnis ist ein homogenes Polynom in zwei Variablen vom Grad , das nicht ist, denn sonst wäre ein Punkt der Kurve. Da wir über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind, besitzt dieses Polynom mindestens eine und höchstens Nullstellen, die alle von verschieden sind. Dies ergibt die Surjektivität und die Abschätzung für die Faser.