Lösung
- Man nennt die Menge
-
das Radikal zu
.
- Ein Kegelschnitt
ist der Durchschnitt des Standardkegels
mit einer affinen Ebene
(nicht alle
),
also
-

- Man nennt die
Nenneraufnahme
an
die Lokalisierung von
an
.
- Das Untermonoid
-

heißt die Normalisierung von
.
- Das
Ideal
in
, das von allen
Homogenisierungen
von Elementen aus
erzeugt wird, heißt die Homogenisierung von
.
- Eine
Zariski-abgeschlossene
Teilmenge
,
wobei
ein
homogenes Ideal
in
ist, heißt projektive Varietät.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.
- Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.
- Der Satz über die Glattheit und Normalität einer ebenen Kurve.
Lösung
- Es sei
ein Körper und seien
und
kommutative Algebren von endlichem Typ. Es sei
ein
-Algebrahomomorphismus. Dann induziert dies eine Abbildung
-
Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.
- Es sei
ein kommutativer Ring und sei
ein kommutatives Monoid. Es sei
eine kommutative
-Algebra und
-
ein Monoidhomomorphismus
(bezüglich der multiplikativen Struktur von
).
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten
-Algebrahomomorphismus
-
derart, dass das Diagramm
-
kommutiert.
- Es sei
ein Körper und sei
nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve
.
Es sei
ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal
und mit lokalem Ring
.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist ein glatter Punkt der Kurve.
- Die Multiplizität von
ist eins.
ist ein diskreter Bewertungsring.
ist ein normaler Integritätsbereich.
Lösung /Aufgabe/Lösung
- Ist das
Bild
der Funktion
-
eine
algebraische Kurve?
- Ist das Bild der Funktion
-
eine algebraische Kurve?
- Ist das Bild der Funktion
-
„isomorph“ zu einer algebraischen Kurve?
Lösung
Lösung
Wir setzen
-

in die Kreisgleichung ein und erhalten

Dies führt auf
-

und somit auf
-

Daher ist

also
-

oder
-

Somit ist
-

Beweise den Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge
.
Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Es seien
kommutative Ringe
und sei
-

der
Produktring.
- Es seien
-
Ideale.
Zeige, dass die Produktmenge
-
ein Ideal in
ist.
- Zeige, dass jedes Ideal
die Form
-

mit Idealen
besitzt.
- Es sei
-

ein Ideal in
. Zeige, dass
genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche
Hauptideale sind.
- Zeige, dass
genau dann ein
Hauptidealring
ist, wenn alle
Hauptidealringe sind.
Lösung
- Wegen
-
ist
nicht leer. Für zwei Elemente
und
aus
ist jeweils
. Daher ist stets
und somit gehört
-

zum Ideal. Für
-
und
-
ist jeweils
und daher
. Somit gehört
-

zu
.
- Zu einem Ideal
-

setzen wir
-

Hierbei steht
an der
-ten Stelle. Dies ist jeweils ein Ideal in
: Es ist
; wenn
-
ist auch
-
Wenn
und
ist, so ist
-
und somit ist
-
also
. Wir behaupten
-

Wenn
-
ist, so ist auch
(mit der
an der
-ten Stelle)
-
also
. Also ist
. Wenn umgekehrt
ist, so ist
, also
-
Wegen
-

ist somit
.
- Es seien zunächst die
Hauptideale in
. Für jedes Element
ist dann
mit einem
. Damit ist
-

also ist
ein Erzeuger von
und es liegt ein Hauptideal vor. Wenn umgekehrt
ein Hauptideal ist, so sei
ein Erzeuger davon. Zu jedem
gehört
zu
und somit gibt es ein
mit
-

Also ist
-

und daher ist
ein Erzeuger von
.
- Dies folgt unmittelbar aus (3).
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
- Für
ist der Koordinatenring unmittelbar gleich
.
Für
betrachten wir den
Ringhomomorphismus
,
der
auf
und
auf
schickt. Der Kern ist dabei
und smoit induziert dies eine Isomorphie
.
- Es ist
-
![{\displaystyle {}R=K[X,Y]/(Y,Y-X^{2})\cong K[X]/(X^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb45aef58d06ac605e10ef9217e85ec03d36204)
mit der
-Basis
, die Dimension ist also
.
- Wegen
in
ist
eine Einheit. Die Einheiten in den Koordinatenringen sind aber nur die Konstanten
aus
, deren Produkte ergeben nur die Konstanten.
Es sei
das
Bild
der
Abbildung
-
Skizziere die Bilder von
unter den
Projektionen
auf die verschiedenen Koordinatenebenen.
Lösung Projektionen/t t^2 t^3/Skizziere/Aufgabe/Lösung
Lösung
Lösung
Es sei
eine kommutative
-
Algebra
über einem kommutativen Ring
. Zu
bezeichne
-
die
-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei
-linearen Abbildungen
-
bezeichne
-
![{\displaystyle {}[\varphi _{1},\varphi _{2}]=\varphi _{1}\circ \varphi _{2}-\varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7307941213194905b6c44144d9513a4ea67850b3)
Es sei
eine
-
Derivation.
Zeige, dass zu jedem
die Abbildung
eine Multiplikationsabbildung ist.
Lösung
Es ist
&={\left(\delta \circ \mu _{g}-\mu _{g}\circ \delta \right)}(x)\\&=\delta (gx)-g\delta (x)\\&=g\delta (x)+x\delta (g)-g\delta (x)\\&=x\delta (g).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b2e07969edd0f8c1e84721b8396bea763a23521)
Somit ist
die Multiplikation mit
.
Betrachte die affine Nullstellenmenge
-

über dem Körper
mit zwei Elementen.
a) Bestimme die Punkte von
.
b) Bestimme den
projektiven Abschluss
von
.
c) Zeige, dass der projektive Abschluss von
nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur
Homogenisierung
von
übereinstimmt.
Lösung
a)
besteht genau aus den beiden Punkten
und
.
b) Der projektive Abschluss von
stimmt mit
überein, da endliche Mengen stets abgeschlossen sind.
c) Die Homogenisierung von
ist
. Die Punkte im Unendlichen ergeben sich, wenn man
setzt, also als Lösung der Gleichung
-

Es kommt der Punkt mit den homogenen Koordinaten
hinzu, deshalb sind die beiden Mengen verschieden.
Beweise den Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.
Lösung
Es sei
ein Punkt, der nicht auf der Kurve liegt. Einen solchen Punkt gibt es, da der Körper insbesondere unendlich ist. Wir betrachten die
Projektion weg von
,
die insgesamt einen Morphismus
-
induziert. Die Faser dieses Morphismus über einem Punkt
(der eine Richtung in
repräsentiert)
besteht genau aus den Punkten der Kurve, die auf der durch
definierten Geraden
-

liegen. Daher wird die Faser über
auf
beschrieben, indem man in der Kurvengleichung
mittels der Geradengleichung eine Variable eliminiert. Das Ergebnis ist ein homogenes Polynom
in zwei Variablen vom Grad
, das nicht
ist, denn sonst wäre
ein Punkt der Kurve. Da wir über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind, besitzt dieses Polynom
mindestens eine und höchstens
Nullstellen, die alle von
verschieden sind. Dies ergibt die Surjektivität und die Abschätzung für die Faser.