Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Vorlesung 13

Die offenen Mengen D(f)

Wir wollen zeigen, dass die Zariski-offenen Teilmengen ${}D(f)\subseteq K-\operatorname {Spek} \,(R)$ selbst homöomorph zum ${}K$-Spektrum einer endlich erzeugten ${}K$-Algebra sind. Dazu benötigen wird den Begriff des multiplikativen Systems und der Nenneraufnahme.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

1. ${}1\in S$,
2. Wenn ${}f,g\in S$, dann ist auch ${}fg\in S$,

gelten.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ ein Element. Dann bilden die Potenzen ${}f^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ein multiplikatives System.

Definition

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System, ${}0\notin S$. Dann nennt man den Unterring

${}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$

die Nenneraufnahme zu ${}S$.

Für die Nenneraufnahme an einem Element ${}f$ schreibt man einfach ${}R_{f}$ statt ${}R_{\left\{f^{n}\mid n\in {\mathbb {N} }\right\}}$. Für den Begriff der Nenneraufnahme für beliebige kommutative Ringe, siehe Aufgabe 13.1.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte ${}K$- Algebra, ${}f\in R$.

Dann ist die Zariski-offene Menge ${}D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ in natürlicher Weise homöomorph zu ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}$.

Beweis

Wir betrachten die zum ${}K$- Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow R_{f}$ gehörende Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)},\,P\longmapsto P\circ \varphi ,$

die nach Satz 12.7 stetig ist. Es ist ${}f(P\circ \varphi )=P(\varphi (f))\neq 0$, da ja ${}f$ in ${}R_{f}$ eine Einheit wird. Daher liegt das Bild von ${}\varphi ^{*}$ in ${}D(f)$.
Es sei ${}Q\in D(f)$ irgendein Punkt, d.h. ${}Q$ ist ein ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}Q\colon R\rightarrow K$ mit ${}Q(f)\neq 0$. Dann ist ${}Q(f)$ eine Einheit und daher lässt sich dieser Homomorphismus nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme (siehe Aufgabe 13.6) zu einem Homomorphismus von ${}R_{f}$ nach ${}K$ fortsetzen. Dieser Homomorphismus ist das gesuchte Urbild und daher ist ${}\varphi ^{*}$ als Abbildung nach ${}D(f)$ surjektiv.
Zur Injektivität seien zwei ${}K$-Algebrahomomorphismen

$P_{1},P_{2}\colon R_{f}\longrightarrow K$

gegeben, deren Verknüpfungen mit

$R\longrightarrow R_{f}$

übereinstimmen. Wegen

${}P_{1}{\left({\frac {r}{f^{s}}}\right)}=P_{1}(rf^{-s})=P_{1}(r)P_{1}(f^{s})^{-1}\,$

und ebenso für ${}P_{2}$ ist dann aber ${}P_{1}=P_{2}$.
Zur Homöomorphie ist lediglich zu beachten, dass die Zariski-offenen Mengen von ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}$ von ${}D(g)$, ${}g\in R_{f}$, überdeckt werden. Dabei kann man ${}g\in R$ annehmen, da ${}f$ eine Einheit in ${}R_{f}$ ist. Dann ist aber dieses ${}D(g)$ gleich ${}(\varphi ^{*})^{-1}(D(gf))$, wo letzteres ${}D(gf)$ die offene Menge in ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ bezeichnet.

$\Box$

Bemerkung  

Satz 13.4 besagt insbesondere, dass eine offene Menge ${}D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ selbst das ${}K$- Spektrum einer endlich erzeugten ${}K$- Algebra ist (nämlich von ${}R_{f}$, das über ${}R$ von ${}1/f$ erzeugt wird), und sich daher auch als Zariski-abgeschlossene Menge eines affinen Raumes realisieren lassen muss. Aus

${}R_{f}\cong R[T]/(Tf-1)\,$

(siehe Aufgabe 13.4) erhält man eine solche Realisierung. Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Dann liefert der surjektive Ringhomomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n},T]\longrightarrow (K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})[T]\longrightarrow ((K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})[T])/(Tf-1)\cong R_{f}$

eine (nach Proposition 12.8  (3)) abgeschlossene Einbettung von ${}D(f)$ in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$. Ist ${}\psi$ die Gesamtinklusion

${}D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,,$

so kann man die abgeschlossene Einbettung auch als

$\psi \times {\frac {1}{f}}\colon D(f)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

auffassen, wobei hier wieder das Produkt von Varietäten auftritt.

Beispiel

Betrachten wir in Anschluss an Bemerkung 13.5 die offene Menge

${}D(X)={\left\{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{1}\mid P\neq 0\right\}}\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}\,.$

Diese offene Menge nennt man die punktierte affine Gerade. Auf dieser offenen Menge ist ${}X$ invertierbar, d.h. die rationale Funktion ${}{\frac {1}{X}}$ ist darauf definiert. Diese Abbildung liefert zusammen mit der gegebenen (offenen) Inklusion ${}D(X)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ die abgeschlossene Inklusion

$D(X)\longrightarrow V(XY-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,x\longmapsto \left(x,\,{\frac {1}{x}}\right),$

dessen Bild eine (in der affinen Ebene abgeschlossene) Hyperbel ist. Die punktierte affine Gerade und die Hyperbel sind also homöomorph (und die zugehörigen Ringe, nämlich ${}K[X]_{X}=K[X,X^{-1}$ und ${}K[X,Y]/(XY-1)$, sind isomorph).

Zusammenhang und idempotente Elemente

Wir interessieren uns dafür, wie es sich auf den Koordinatenring auswirkt, wenn eine affin-algebraische Menge zusammenhängend ist, und wie sich gegebenenfalls die Zusammenhangskomponenten charakterisieren lassen. Wir beginnen mit einem Beispiel, das zeigt, dass über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper keine überzeugende Theorie zu erwarten ist.

Beispiel

Wir betrachten (wie in Beispiel 11.5) die beiden algebraischen Kurven

$V_{1}=V(X^{2}+Y^{2}-2){\text{ und }}V_{2}=(X^{2}+2Y^{2}-1)\subseteq \mathbb {A} _{K}^{2}.$

Der Durchschnitt wird beschrieben durch das Ideal

${}(X^{2}+Y^{2}-2,X^{2}+2Y^{2}-1)=(Y^{2}+1,X^{2}-3)\,.$

Es sei ${}K=\mathbb {R}$. Dann ist ${}V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$ leer.

Die affin-algebraische Menge ${}V=V_{1}\cup V_{2}$ ist nicht zusammenhängend (${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ sind die irreduziblen Komponenten und die Zusammenhangskomponenten). Der Koordinatenring von ${}V$ ist

$\mathbb {R} [X,Y]/((X^{2}+Y^{2}-2)(X^{2}+2Y^{2}-1)).$

Man könnte erwarten, dass die Funktion auf ${}V$, die auf ${}V_{1}$ konstant gleich ${}1$ und auf ${}V_{2}$ konstant gleich ${}0$ ist, sich im Koordinatenring wiederfindet. Dies ist aber nicht der Fall, und zwar liegt das daran, dass über den komplexen Zahlen ${}V_{\mathbb {C} }$ zusammenhängend ist. Daher besitzt der komplexe Koordinatenring nur die trivialen idempotenten Elemente, und das überträgt sich auf den reellen Koordinatenring.

Definition

Ein Element ${}e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn ${}e^{2}=e$ gilt.

Die Elemente ${}0$ und ${}1$ sind idempotent.

Definition

Es seien ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

$R_{1}\times \cdots \times R_{n},$

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der ${}R_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

In einem Produktring gibt es viele idempotente Elemente, nämlich solche Elemente, deren Komponenten alle ${}0$ oder ${}1$ sind.

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich $0\neq 1$) enthält.

Ein zusammenhängender topologischer Raum (rot) und ein nicht zusammenhängender Raum (grün).

Definition

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt zusammenhängend, wenn es in ${}X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich ${}\emptyset$ und der Gesamtraum $X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Die leere Menge und der Gesamtraum sind stets zugleich offen und abgeschlossen. Solche Mengen nennt man auch randlos oder clopen. Der leere topologische Raum gilt nicht als zusammenhängend, da es in ihm nur eine zugleich offene und abgeschlossene Menge gibt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R_{1}$ und ${}R_{2}$ endlich erzeugte ${}K$- Algebren mit dem Produktring ${}R=R_{1}\times R_{2}$.

Dann gibt es eine natürliche Homöomorphie

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\uplus K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{2}\right)}.$

Dabei werden die Einbettungen von rechts nach links durch die Projektionen ${}R\rightarrow R_{i}$, ${}i=1,2$, induziert.

Beweis

Die Projektion ${}R_{1}\times R_{2}\rightarrow R_{1}$ ist ein ${}K$- Algebrahomomorphismus und liefert daher (nach Proposition 12.8  (3)) eine stetige Abbildung

(und zwar eine abgeschlossene Einbettung)

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}.$

Ebenso gibt es eine Abbildung auf ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{2}\right)}$. Diese zusammengenommen definieren eine stetige Abbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\uplus K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}.$

Es sei ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}$, also ${}P\colon R_{1}\times R_{2}\rightarrow K$ sei ein ${}K$-Algebrahomomorphismus. Seien ${}e_{1}=(1,0)$ und ${}e_{2}=(0,1)$ die zur Produktzerlegung gehörenden idempotenten Elemente. Wegen ${}e_{1}+e_{2}=1$ und ${}e_{1}e_{2}=0$ wird genau eines dieser Elemente (sagen wir ${}e_{1}$) unter ${}P$ auf ${}0$ abgebildet (das andere auf ${}1$). Dann wird aber ${}R_{1}\times 0$ auf ${}0$ geschickt und ${}P$ faktorisiert durch eine Projektion. Das beweist die Surjektivität.

Zur Injektivität seien ${}P_{1},P_{2}$ in der disjunkten Vereinigung gegeben, ${}P_{1}\neq P_{2}$. Wenn sie beide in einem der Teilstücke liegen, so bleiben sie unter der Abbildung verschieden, da auf den Teilstücken eine abgeschlossene Einbettung vorliegt. Wenn sie auf verschiedenen Teilstücken liegen, so faktorisieren sie durch die beiden verschiedenen Projektionen und für den einen Punkt ist ${}P_{1}(e_{1})=0$ und für den anderen Punkt ${}P_{2}(e_{1})=1$. Sie sind also verschieden als Elemente in ${}K-\operatorname {Spek} \,(R_{1}\times R_{2})$.

Eine Homöomorphie liegt vor, da sich die einzelnen abgeschlossenen Einbettungen zu einer abgeschlossenen Abbildung zusammensetzen.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine reduzierte kommutative ${}K$- Algebra von endlichem Typ.

Dann stiftet die Abbildung

$e\longmapsto D(e)$

eine Bijektion zwischen den idempotenten Elementen in ${}R$ und denjenigen Teilmengen aus ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, die sowohl offen also auch abgeschlossen sind.

Beweis

Zunächst ist ${}D(e)=V(1-e)$ offen und abgeschlossen. Dies folgt aus

${}D(e)\cup D(1-e)=D(1)=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\,$

und aus

${}D(e)\cap D(1-e)=D(e(1-e))=D(e-e^{2})=D(0)=\emptyset \,.$

D.h. die Abbildung ist wohldefiniert.
Es seien ${}e_{1},e_{2}$ zwei idempotente Elemente mit ${}U=D(e_{1})=D(e_{2})$. Da ein idempotentes Element in einem Körper nur die Werte ${}0$ oder ${}1$ annehmen kann, haben sowohl ${}e_{1}$ als auch ${}e_{2}$ auf ${}U$ den Wert ${}1$ und außerhalb den Wert ${}0$. Damit haben ${}e_{1}$ und ${}e_{2}$ überall den gleichen Wert und sind nach dem Identitätssatz für Polynome überhaupt gleich. Dies beweist die Injektivität.
Es sei nun ${}U=D({\mathfrak {a}})$ sowohl offen als auch abgeschlossen. D.h. es gibt ein weiteres Ideal ${}{\mathfrak {b}}$ mit ${}D({\mathfrak {a}})\cup D({\mathfrak {b}})=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}D({\mathfrak {a}})\cap D({\mathfrak {b}})=\emptyset$. Nach Korollar 11.12 erzeugen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ zusammen das Einheitsideal. D.h. es gibt ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}b\in {\mathfrak {b}}$ mit ${}a+b=1$. Wegen ${}D(a)\cap D(b)=D(ab)=\emptyset$ ist nach Aufgabe 12.9 das Element ${}ab$ nilpotent und wegen der Reduziertheit ist ${}ab=0$. Also ist

${}a=a\cdot 1=a(a+b)=a^{2}+ab=a^{2}\,$

idempotent. Wegen ${}D(a)\subseteq D({\mathfrak {a}})$ , ${}D(b)\subseteq D({\mathfrak {b}})$ und ${}D(a)\cup D(b)=K-\operatorname {Spek} \,(R)$ ist ${}U=D({\mathfrak {a}})=D(a)$.

$\Box$

Es folgt, dass über einem algebraisch abgeschlossenen Körper eine reduzierte ${}K$-Algebra ${}R$ von endlichem Typ genau dann zusammenhängend ist, wenn das zugehörige ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ zusammenhängend ist.

Die vorstehende Aussage gilt auch im nichtreduzierten Fall, da überhaupt die idempotenten Elemente bei der Reduktion in Bijektion zueinander stehen, siehe Aufgabe 13.26 und Aufgabe 13.29.

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