Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 17/kontrolle

Kreisteilungskörper

Wir rekapitulieren ohne Beweis die wichtigsten Ergebnisse über Kreisteilungskörper, wie sie in der Galoistheorie bewiesen werden.

Definition Referenznummer erstellen

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

$X^{n}-1$

über ${}\mathbb {Q}$.

Die Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$ bezeichnen wir mit ${}K_{n}$. Offenbar ist ${}1$ eine Nullstelle von ${}X^{n}-1$, daher kann man ${}X^{n}-1$ durch ${}X-1$ teilen und erhält

${}X^{n}-1=(X-1){\left(X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1\right)}\,.$

Wegen ${}1\in \mathbb {Q}$ ist daher der ${}n$-te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von

$X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1.$

Da ${}X^{n}-1$ auf die in Lemma 2.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) beschriebene Art über ${}{\mathbb {C} }$ in Linearfaktoren zerfällt, nämlich

${}X^{n}-1=\prod _{k=0}^{n-1}(X-e^{k2\pi {\mathrm {i} }/n})\,,$

kann man ${}K_{n}$ als Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$ realisieren, und zwar ist ${}K_{n}$ der von allen ${}n$-ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$. Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt.

Lemma Lemma 17.2 ändern

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann wird der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$

von ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}$ erzeugt.

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ist also

${}K_{n}=\mathbb {Q} {\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}=\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\,.$

Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$.

Statt ${}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$ kann man auch jede andere ${}n$-te primitive Einheitswurzel aus ${}{\mathbb {C} }$ als Erzeuger nehmen.

Beispiel Referenznummer erstellen

Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine ${}n$. Bei ${}n=1$ oder ${}2$ ist der Kreisteilungskörper gleich ${}\mathbb {Q}$. Bei ${}n=3$ ist

${}X^{3}-1=(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}\,$

und der zweite Faktor zerfällt

${}X^{2}+X+1={\left(X+{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}\,.$

Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von ${}{\sqrt {-3}}={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$ erzeugte Körper, es ist also ${}K_{3}=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.

Bei ${}n=4$ ist natürlich

${}{\begin{aligned}X^{4}-1&={\left(X^{2}-1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1){\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1)(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} }).\end{aligned}}$

Der vierte Kreisteilungskörper ist somit ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)$, also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$.

Lemma Lemma 17.4 ändern

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist der ${}p$-te Kreisteilungskörper gleich

$\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1\right)}.$

Insbesondere besitzt der ${}p$-te Kreisteilungskörper den Grad ${}p-1$ über ${}\mathbb {Q}$.

Beispiel Beispiel 17.5 ändern

Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ erzeugt. Er hat aufgrund von Lemma 17.4 die Gestalt

${}K_{5}\cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,,$

wobei die Variable ${}X$ als ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ (oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Sei ${}x=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ und setze ${}v=x-x^{2}-x^{3}+x^{4}=-{\left(2x^{3}+2x^{2}+1\right)}$. Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist

${}{\begin{aligned}v^{2}&=4x^{6}+4x^{4}+1+8x^{5}+4x^{3}+4x^{2}\\&=4x+4x^{4}+1+8+4x^{3}+4x^{2}\\&=5+4{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)}\\&=5.\end{aligned}}$

Es ist also ${}v={\sqrt {5}}$ (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\subset K_{5}\,.$

Die Menge der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$ bilden eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$ und die primitiven Einheitswurzeln sind die Erzeuger davon. Ihre Anzahl stimmt damit generell mit der Anzahl der Erzeuger der additiven Gruppe ${}(\mathbb {Z} /(n),\cdot ,0)$ überein. Diese Anzahl bekommt einen eigenen Namen.

Definition Referenznummer erstellen

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$. Man nennt ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und seien ${}z_{1},\ldots ,z_{\varphi (n)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

${}\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})\in {\mathbb {C} }[X]\,$

das ${}n$-te Kreisteilungspolynom.

Lemma Referenznummer erstellen

Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome

liegen in ${}\mathbb {Z}$.

Satz Satz 17.9 ändern

Die Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ sind irreduzibel über ${}\mathbb {Q}$.

Satz Satz 17.10 ändern

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ${}K_{n}$ über ${}\mathbb {Q}$ hat die Beschreibung

${}K_{n}=\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\,,$

wobei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom bezeichnet.

Der Grad des ${}n$-ten Kreisteilungskörpers ist ${}{\varphi (n)}$.

Satz Satz 17.11 ändern

Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$- te Kreisteilungskörper.

Dann ist ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe

${}\operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\,.$

Dabei entspricht der Einheit ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ derjenige Automorphismus ${}\varphi _{a}\in \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )$, der eine ${}n$-te Einheitswurzel ${}\zeta$ auf ${}\zeta ^{a}$ abbildet.

Kreisteilungsringe

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Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Der Ring der ganzen Zahlen im ${}n$-ten Kreisteilungskörper heißt ${}n$-ter Kreisteilungsring.

Wir bezeichnen diesen Kreisteilungsring mit ${}R_{n}$ und möchten die Gleichheit ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ nachweisen, was bedeutet, dass der Kreisteilungsring durch die selbe Gleichung beschrieben wird wie der Kreisteilungskörper. Für ${}n=3$ ist der Kreisteilungsring der Ring der Eisensteinzahlen, und für diesen gilt in der Tat die Beschreibung ${}\mathbb {Z} [u]/(u^{2}+u+1)$ und für ${}n=4$ ist der vierte Kreisteilungsring der Ring der Gaußschen Zahlen ${}\mathbb {Z} [u]/(u^{2}+1)$, und ${}u^{2}+1$ ist das vierte Kreisteilungspolynom. Aber schon für diese niedrigen Zahlen ist das Resultat nicht selbstverständlich, sondern beruht auf der expliziten Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche im Sinne von Satz 9.8.

Wir werden die Behauptung zuerst für eine Primzahl ${}n=p$ zeigen. Wenn ${}\zeta$ eine primitive ${}p$-te Einheitswurzel ist, so spielt das Element ${}1-\zeta$ eine besondere Rolle.

Lemma Lemma 17.13 ändern

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine primitive ${}p$-te Einheitswurzel.

Dann ist das einzige Primideal im ${}p$-ten Kreisteilungsring oberhalb von ${}(p)$ das Primhauptideal ${}(1-\zeta )$.

Beweis

Wir setzen

${}S:=\mathbb {Z} [\zeta ]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^{2}+Y+1)\subseteq R_{p}\subseteq {\mathbb {C} }\,.$

Das ${}p$-te Kreisteilungspolynom zerfällt

${}X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1=\prod _{k=1}^{p-1}(X-\zeta ^{k})\,,$

über ${}{\mathbb {C} }$ und auch über ${}S$. Für ${}X=1$ ergibt sich speziell die Gleichung

${}p=\prod _{k=1}^{p-1}(1-\zeta ^{k})\,.$

Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe ist

${}{\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}=1+\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{k-1}\,$

und dieses Element gehört zu ${}S$. Da ${}k$ zwischen ${}1$ und ${}p-1$ ist, gibt es jeweils ein ${}\ell$ mit ${}k\cdot \ell =1\mod p$. Wegen ${}\zeta ^{p}=1$ und

${}{\begin{aligned}{\frac {1-\zeta }{1-\zeta ^{k}}}&={\frac {1-\zeta ^{k\ell }}{1-\zeta ^{k}}}\\&={\frac {1-(\zeta ^{k})^{\ell }}{1-\zeta ^{k}}}\\&=1+\zeta ^{k}+(\zeta ^{k})^{2}+\cdots +(\zeta ^{k})^{\ell -1}\end{aligned}}$

gehört dieses Element ebenfalls zu ${}S$, d.h. die Elemente ${}{\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}$ sind Einheiten in ${}S$. Deshalb ist

${}p=\prod _{k=1}^{p-1}(1-\zeta ^{k})=\prod _{k=1}^{p-1}{\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}(1-\zeta )=u\cdot (1-\zeta )^{p-1}\,$

mit einer Einheit ${}u$ aus ${}S$. Deshalb gilt in ${}S$ und damit auch im ganzen Abschluss ${}R_{p}$ die Idealgleichheit ${}(p)=((1-\zeta )^{p-1})$.

Im ganzen Abschluss liegt nach Satz 12.2 eine Idealzerlegung

${}(1-\zeta )={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r}\,$

vor und daher gilt dort

${}(p)=((1-\zeta )^{p-1})={\mathfrak {p}}_{1}^{p-1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r}^{p-1}\,.$

Da der Grad der Erweiterung gleich ${}p-1$ ist, folgt direkt ${}r=1$ und somit, dass ${}(1-\zeta )$ ein Primideal ist, und zwar das einzige über ${}(p)$.

$\Box$

Lemma Lemma 17.14 ändern

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine primitive ${}p$-te Einheitswurzel.

Dann ist der ${}p$-te Kreisteilungsring gleich ${}\mathbb {Z} [\zeta ]$.

Beweis

Wir zeigen, dass

${}\mathbb {Z} [\zeta ]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^{2}+Y+1)\,$

bereits normal ist, also mit seinem ganzen Abschluss übereinstimmt. Dazu genügt es zu zeigen, dass die Lokalisierung von ${}\mathbb {Z} [\zeta ]$ an jedem Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ ein diskreter Bewertungsring ist. Es sei

${}{\mathfrak {q}}\cap \mathbb {Z} =(q)\,$

mit einer Primzahl ${}q$ und wir machen eine Fallunterscheidung je nachdem, ob ${}q=p$ ist oder nicht. Bei ${}q=p$ zeigt Lemma 17.13, dass ${}{\mathfrak {q}}=(\zeta -1)$ ein Hauptideal ist, was sich auf die Lokalisierung überträgt. Bei ${}q\neq p$ lokalisieren wir die Situation an ${}(q)$. Da ${}X^{p}-1$ und seine Ableitung ${}pX^{p-1}$ teilerfremd in ${}\mathbb {Z} _{(q)}[X]$ sind, gilt dies auch für das Kreisteilungspolynom und seine Ableitung. Deshalb sind die Primteiler des Kreisteilungspolynoms in ${}\mathbb {Z} /(q)[X]$ einfach. Somit sind die Lokalisierungen oberhalb von ${}(q)$ nach Lemma 15.1 diskrete Bewertungsringe.

$\Box$

Insbesondere ist ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}$ eine Ganzheitsbasis des Kreisteilungsringes.

Beispiel Referenznummer erstellen

Das exemplarische Zerlegungsverhalten im fünften Kreisteilungsring umd im quadratischen Zahlbereich zu ${}{\sqrt {5}}$.

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)=\mathbb {Z} [x]$ der fünfte Kreisteilungsring. Wir verwenden den Zwischenring (vergleiche Beispiel 17.5)

${}{\begin{aligned}\mathbb {Z} &\subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]\\&\subseteq \mathbb {Z} [W]/(W^{2}-W-1)\\&=S\\&\subseteq \mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)\\&=S[X]/(X^{2}+XW+1)\end{aligned}}$

mit

${}w={\frac {v+1}{2}}=x^{3}+x^{2}+1\,$

und ${}v^{2}=5$. Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Zu einer Primzahl ${}p$ kommen als Restekörper der Primideale in ${}R$ oberhalb von ${}(p)$ nach Korollar 8.8 nur die Körper ${}\mathbb {Z} /(p),{\mathbb {F} }_{p^{2}},{\mathbb {F} }_{p^{3}},{\mathbb {F} }_{p^{4}}$ in Frage (die Möglichkeit ${}{\mathbb {F} }_{p^{3}}$ werden wir gleich ausschließen), und zwar muss es in den Restekörpern fünf Einheitswurzeln (über ${}(5)$ fallen die zusammen) geben. Wegen Satz 9.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist dies genau dann der Fall, wenn ${}p^{e}-1$ ein Vielfaches von ${}5$ ist. Daraus ergeben sich die Möglichkeiten ${}e=1,2,4$. Wir geben Beispiele für typisches Zerlegungsverhalten.

Sei ${}p=2$. Es ist ${}S/2S$ ein Körper mit vier Elementen und es ist ${}R/2R$ ein Körper mit ${}16$ Elementen.

Sei ${}p=5$. Hier ist über ${}\mathbb {Z} /(5)$

${}(X-1)(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)=X^{5}-1=(X-1)^{5}\,$

und somit ${}X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-1)^{4}$. Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von ${}(5)$ und dessen Restklassenkörper ist ${}\mathbb {Z} /(5)$, was auch von Lemma 17.13 her klar ist.

Bei ${}q=11$ sind ${}1,3,4,5,9$ fünfte Einheitswurzeln und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung

${}X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-3)(X+2)(X-4)(X-5)\,.$

Oberhalb von ${}(11)$ liegen in ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ vier Primideale, alle mit dem Restekörper ${}\mathbb {Z} /(11)$. Dabei liegen ${}(X-3)$ und ${}(X-4)$ über ${}(W-4)$ und ${}(X+2)$ und ${}(X-5)$ über ${}(W-8)$ in ${}S$.

Bei ${}p=19$ ist ${}9^{2}=5=10^{2}$, in ${}S$ gibt es somit zwei Primideale oberhalb von ${}(19)$, beide mit dem Restekörper ${}\mathbb {Z} /(19)$. In ${}\mathbb {Z} /(19)$ gibt es aber keine fünfte Einheitswurzeln, deshalb liegen oberhalb von ${}(19)$ in ${}R$ zwei Primideale, beide mit dem Restekörper ${}{\mathbb {F} }_{361}$. Über ${}(19)$ liegt die Faktorzerlegung

${}X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1={\left(X^{2}+5X+1\right)}{\left(X^{2}+15X+1\right)}\,$

vor.

Lemma Lemma 17.16 ändern

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}\zeta$ eine primitive ${}p$-te Einheitswurzel.

Dann ist die Diskriminante der ${}\mathbb {Q}$- Basis ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}$ des ${}p$-ten Kreisteilungskörpers gleich

${}\triangle (1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2})=\pm p^{p-2}\,.$

Beweis

Das ${}p$-te Kreisteilungspolynom ist

${}\Phi _{p}=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1=(X-\zeta )(X-\zeta ^{2})\cdots (X-\zeta ^{p-1})\,.$

Es ist nach Lemma 8.11

${}{\begin{aligned}\triangle (1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2})&=\prod _{0\leq i<j\leq p-2}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})^{2}\\&=\pm \prod _{0\leq i,j\leq p-2,\,i\neq j}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j}).\end{aligned}}$

Wenn man die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}$ und ${}\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2},\zeta ^{p-1}$ betrachtet, so ist deren Determinante gleich ${}\pm 1$ und deshalb kann man wegen Lemma 8.2 genauso gut ${}\pm \prod _{1\leq i,j\leq p-1,\,i\neq j}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})$ berechnen.

Wir verwenden nun zwei verschiedene Möglichkeiten, die Ableitung des Kreisteilungspolynoms zu bestimmen. Die Ableitung von ${}\Phi _{p}$ ist nach der Produktregel gleich

$\sum _{k=1}^{p-1}(X-\zeta )(X-\zeta ^{2})\cdots (X-\zeta ^{p-1})/(X-\zeta ^{k}).$

Wenn man darin ${}\zeta ^{i}$, ${}i=1,\ldots ,p-1$, einsetzt, so werden alle Summanden mit der einzigen Ausnahme für ${}k=i$ zu ${}0$, und der verbleibende Summand ist

${}\Phi _{p}'(\zeta ^{i})=\prod _{1\leq j\leq p-1,\,j\neq i}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})\,.$

Somit ist die Diskriminante gleich

${}\pm \prod _{i=1}^{p-1}\Phi _{p}'(\zeta ^{i})=\pm \prod _{\varphi }\Phi _{p}'(\varphi (\zeta ))=\pm \prod _{\varphi }\varphi (\Phi _{p}'(\zeta ))=\pm N(\Phi _{p}'(\zeta ))\,,$

wobei ${}\varphi$ die Galoisgruppe durchläuft und Lemma 7.14 verwendet wurde. Aufgrund von

${}X^{p}-1=(X-1)\Phi _{p}\,$

gilt für die Ableitung auch die Beziehung

${}pX^{p-1}=(X-1)\Phi _{p}'-\Phi _{p}\,.$

Wenn man darin ${}\zeta$ einsetzt, so erhält man

${}p\zeta ^{p-1}=p\zeta ^{-1}=(\zeta -1)\Phi _{p}'(\zeta )\,$

und somit

${}\Phi _{p}'(\zeta )=p\zeta ^{-1}(\zeta -1)^{-1}\,.$

Die Norm von ${}\zeta -1$ ist

${}N(\zeta -1)=\prod _{k=1}^{p-1}(\zeta ^{k}-1)=\pm \Phi _{p}(1)=\pm p\,.$

Deshalb ist die Diskriminante nach Lemma 8.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) und Lemma 10.2 gleich

${}{\begin{aligned}\pm N(\Phi _{p}'(\zeta ))&=\pm N(p\zeta ^{-1}(\zeta -1)^{-1})\\&=\pm N(p)N(\zeta ^{-1})N((\zeta -1)^{-1})\\&=\pm p^{p-1}\cdot {\frac {1}{p}}\\&=\pm p^{p-2}\end{aligned}}$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}p$ eine Primzahl, ${}q=p^{r}$ und ${}\zeta$ eine primitive ${}p^{r}$-te Einheitswurzel und

Dann ist die Diskriminante der ${}\mathbb {Q}$- Basis ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{{\varphi (p^{r})}-1}$ des ${}p^{r}$-ten Kreisteilungskörpers gleich

${}\triangle (1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{{\varphi (p^{r})}-1})=\pm p^{p^{r-1}(rp-r-1)}\,.$

Beweis

Dies wird ähnlich wie Lemma 17.16 bewiesen.

$\Box$

Satz

Sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel.

Dann ist der ${}n$-te Kreisteilungsring gleich ${}\mathbb {Z} [\zeta ]$.

Beweis

Dies wird zuerst ausgehend von Lemma 17.14 für Primzahlpotenzen bewiesen. Bei ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{k}^{r_{k}}$ ergibt sich eine Ganzheitsbasis des Ganzheitsringes wegen der nach Lemma 17.17 teilerfremden Diskiminanten aus den Produkten der Ganzheitsbasen der einzelnen Kreisteilungsringen zu den Primzahlpotenzen.

$\Box$

Es ist also

${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})\,,$

wobei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom bezeichnet.

Fußnoten