Kurs:Analysis/Teil I/42/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 2 6 3 2 4 3 3 5 5 6 2 4 7 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
  2. Das Supremum einer nichtleeren Teilmenge in einem angeordneten Körper .
  3. Die reelle Exponentialfunktion zur Basis .
  4. Die Potenzreihe in zu den Koeffizienten , .
  5. Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge

    wobei eine Menge ist.

  6. Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion


Lösung

  1. Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  2. Eine obere Schranke von heißt das Supremum von , wenn für alle oberen Schranken von gilt.
  3. Die Funktion

    heißt Exponentialfunktion zur Basis .

  4. Die Potenzreihe in ist die Reihe
  5. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

    in konvergiert.

  6. Das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von heißt das Unterintegral von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das angenommene Maximum einer Funktion
    (welche Voraussetzungen muss die Funktion und das Intervall erfüllen)?
  2. Der Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
  3. Der Satz über die Existenz von Stammfunktionen.


Lösung

  1. Es sei ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei
    eine stetige Funktion. Dann gibt es ein mit
  2. Für jedes ist die Exponentialreihe
    absolut konvergent.
  3. Es sei ein reelles Intervall und sei
    eine stetige Funktion. Dann besitzt eine Stammfunktion.


Aufgabe (3 Punkte)

In Beweisen findet man häufig die Formulierung „Wir nehmen (jetzt, also) an“. Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?


Lösung Annahme/Funktion im Beweis/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

die durch die Tabelle

gegebene Verknüpfung .

  1. Berechne
  2. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?


Lösung

  1. Es ist
  2. Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.


Aufgabe (6 (3+2+1) Punkte)

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen und Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.

  1. Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
  2. Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
  3. Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?


Lösung

Die Gewichte der Äpfel seien

und die Bedingungen sind

und

  1. Wenn besonders groß werden soll, so hat man die besten Chancen beim Gesamtgewicht Gramm und wenn die fünf übrigen Äpfel alle möglichst klein sind. Daher setzen wir

    und

    an. Dies führt auf

    Division führt auf

    also gerundet Gramm. 90 Prozent davon sind

    Die anderen Äpfel der Packung wiegen also Gramm.

  2. Der analoge Ansatz führt auf das Gesamtgewicht Gramm,

    und

    Dann ist

    Division ergibt

    und somit

    Der leichteste Apfel hat also das Gewicht Gramm, die anderen fünf Äpfel in der Packung wiegen Gramm.

  3. Es ist

    der größtmögliche Apfel in einer Packung ist also Prozent größer als der kleinstmögliche Apfel in einer Packung.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper, es sei und seien Zahlen und nichtnegative Zahlen mit

gegeben. Zeige


Lösung

Wegen und ist für alle . Daher ist .

Wegen und ist für alle . Daher ist . Also ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten die Folgen (für )

und

Konvergiert die Folge

in ? Falls ja, was ist der Grenzwert?


Lösung

Es ist

die Folge konvergiert also gegen .


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien Elemente in einem Körper . Zeige, dass

und

die Gleichung erfüllen.


Lösung

Die linke Seite ist

und die rechte Seite ist

Um die Gleichheit zu zeigen, können wir den Summanden beidseitig abziehen und ausklammern, es ist somit

zu zeigen. Wir ziehen beidseitig ab und dann ist

zu zeigen. Der Summand links ist , wir ziehen beidseitig ab und somit folgt die Behauptung aus


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und verschiedene normierte Polynome vom Grad über einem Körper . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?


Lösung

Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn

ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn eine Nullstelle von ist. Da beide Polynome normiert sind und den gleichen Grad besitzen, hebt sich bei der Subtraktion der Leitterm weg und es ergibt sich ein Polynom vom Grad maximal . Da ist, ist die Differenz nicht das Nullpolynom. Nach Korollar 11.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) besitzt somit maximal Nullstellen, und daher gibt es maximal Schnittpunkte.


Aufgabe (3 Punkte)

Untersuche die Reihe

auf Konvergenz.


Lösung

Für den Zähler gilt

für alle . Für gilt , somit gilt für für den Nenner

Damit gilt insgesamt für die Abschätzung

Aufgrund des des Majorantenkriteriums und Beispiel 9.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) konvergiert die Reihe.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.


Lösung

Wir betrachten den Differenzenquotienten

und müssen zeigen, dass der Limes für existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu eine Folge in , die gegen konvergiert. Aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von konvergiert auch die Folge mit den Gliedern gegen . Wegen der Bijektivität ist für alle . Damit ist

wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert.


Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten den oberen Halbkreis mit Mittelpunkt und Radius und den unteren Halbkreis mit Mittelpunkt und Radius .

  1. Skizziere die Situation.
  2. Definiere eine Funktion

    deren Graph mit den beiden Halbkreisen übereinstimmt.

  3. Ist an der Stelle differenzierbar?


Lösung

  1. Skizze.
  2. Die erste Kreisgleichung ist

    die zweite Kreisgleichung ist

    Also ist

    eine beschreibende Funktion.

  3. Die Funktion ist an der Stelle nicht differenzierbar. Der Differenzenzenquotient für ist
    Für ist der Limes des Zählers gleich und der Limes des Nenners ist . Deshalb divergiert der Differenzenquotient bestimmt gegen und somit existert der Differentialquotient nicht.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Wir betrachten den Graphen der Sinusfunktion auf und den um vertikal verschobenen Graphen der Quadratwurzelfunktion, also den Graphen von

  1. Zeige, dass die beiden Graphen nur endlich viele Schnittpunkte besitzen.
  2. Zeige, dass die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Graphen (bei geeignetem ) beliebig groß werden kann.


Lösung Sinusfunktion/Quadratwurzelfunktion/Verschoben/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen .


Lösung

Nach Aufgabe 17.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist

Die Ableitung nach ist aufgrund von Satz 20.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), Korollar 20.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und der Kettenregel gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.


Lösung

Aufgrund von Satz 23.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) existiert das Integral. Mit der Integralfunktion

gilt die Beziehung

Aufgrund von Satz 24.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist differenzierbar mit

d.h. ist eine Stammfunktion von . Wegen Lemma 24.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist . Daher ist


Aufgabe (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

  1. Bestimme die reellen Nullstellen von .
  2. Bestimme die Extrema von .
  3. Bestimme den Flächeninhalt, der durch den Graphen und die -Achse eingegrenzt wird.


Lösung

  1. Wir schreiben und lösen die Gleichung

    Diese führt auf

    und damit sind die reellen Nullstellen von gleich .

  2. Die Ableitung von ist

    Die Ableitung besitzt also drei Nullstellen bei

    Die zweite Ableitung ist und besitzt im Nullpunkt einen negativen Wert und in einen positiven Wert. Deshalb liegt in ein isoliertes lokales Maximum und in liegen isolierte lokale Minima vor. Für gegen geht die Funktion gegen , daher sind die beiden Minima global mit dem gleichen Wert (wegen der Symmetrie) und das lokale Maximum ist nicht global.

  3. Da es zwischen und keine Nullstelle gibt, verläuft der Graph in diesem Intervall unterhalb der -Achse. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist der Betrag des bestimmten Integrals
    also gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Differentialgleichung

Zeige, dass man mit dem Ansatz

mit einer unbekannten Funktion eine Differentialgleichung für mit getrennten Variablen erhält.


Lösung

Mit dem Ansatz

wird die rechte Seite der Differentialgleichung zu

und die linke Seite zu

Die Bedingung wird zu

bzw. zu

bzw. zur Differentialgleichung mit getrennten Variablen