Kurs:Analysis/Teil I/48/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 1 3 2 6 6 4 4 4 4 5 2 4 3 3 5 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  2. Eine Verknüpfung auf einer Menge .
  3. Eine wachsende Folge in einem angeordneten Körper.
  4. Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge

    wobei eine Menge ist.

  5. Der Differenzenquotient zu einer Funktion

    in einem Punkt einer offenen Menge .

  6. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .


Lösung

  1. Die Abbildung

    die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .

  2. Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung
  3. Die Folge heißt wachsend, wenn für alle ist.
  4. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

    in konvergiert.

  5. Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .

  6. Die Funktion

    heißt die Integralfunktion zu zum Startpunkt .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in .
  2. Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produkts von Reihen.
  3. Die Taylor-Abschätzung.


Lösung

  1. Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in konvergiert.
  2. Es seien

    zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt absolut konvergent und für die Summe gilt

  3. Es sei ein beschränktes abgeschlossenes Intervall,

    eine -mal stetig differenzierbare Funktion, ein innerer Punkt und . Dann gilt zwischen und dem -ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung


Aufgabe (1 Punkt)

Eine Termitenkönigin legt Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang (am . Februar legt sie keine Eier). Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?


Lösung

Es sind

Eier.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die Funktionen

seien durch

und

gegeben.

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne auf zwei unterschiedliche Arten.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist einerseits
    und andererseits


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.


Lösung


Aufgabe (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Wir definieren die Folge (der sogenannten Bernoulli-Zahlen) , , durch und für durch die rekursive Bedingung

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne .
  4. Berechne .
  5. Zeige, dass alle rationale Zahlen sind.


Lösung

  1. Für ist die rekursive Bedingung gleich
    also ist .
  2. Für ist die rekursive Bedingung gleich
    also ist .
  3. Für ist die rekursive Bedingung gleich
    also ist .
  4. Für ist die rekursive Bedingung gleich
    also ist .
  5. Wir zeigen die Aussage durch Induktion nach , wobei der Induktionsanfang bereits erledigt ist. Zum Beweis des Induktionsschrittes nehmen wir an, das die Rationalität von bereits bekannt sei. Die Rekursionsbedingung

    schreiben wir als

    bzw. als

    Da die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind, steht hier wieder eine rationale Zahl.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.


Lösung

Die Folge sei durch

beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist . Es sei das -te Intervall bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften

In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element

mit . Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe 7.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl .


Aufgabe (4 Punkte)

Das Heron-Verfahren berechnet zu jedem mit dem fest gewählten Startwert eine von abhängige Folge . Beschreibe explizit die Funktionen

für .


Lösung

Die Iteration im Heron-Verfahren zur Berechnung von ist durch

gegeben. Deshalb ist


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Karl möchte mit seinem programmierbaren Taschenrechner den Wert der Reihe annähernd berechnen. Die Anzeige des Rechners besitzt Nachkommastellen. Der Rechner schafft pro Sekunde eine Addition (also ein Reihenglied wird zur bisherigen Summe draufaddiert) der Reihe und zeigt das neue Ergebnis direkt an. Karl hat richtig programmiert und denkt sich folgende Strategie aus: „Wenn die Anzeige eine ganze Stunde lang immer das gleiche anzeigt, so wird das wohl ziemlich nah am Ergebnis sein, so dass ich das als eine gute Annäherung nehmen kann. Der Rechner soll dann aufhören“.

  1. Was ist ungefähr das letzte Reihenglied, das aufaddiert wird?
  2. Was ist von der Strategie zu halten?


Lösung

  1. Die .te Nachkommastelle bezieht sich auf . Die Bedingung, dass sich innerhalb einer Stunde, also bei Aufsummierungen, an dieser Stelle nichts ändert, führt zu der Bedingung

    für , und zwar suchen wir das kleinste mit dieser Eigenschaft. In dieser Größenordnung ist der Unterschied zwischen und vernachlässigbar und wir können die Bedingung als Gleichung ansetzen. Dies führt auf die Bedingung

    bzw.

    also Milliarden. Das letzte aufaddierte Glied ist also ungefähr .

  2. Es handelt sich um die divergente harmonische Reihe, die Strategie ist also sinnlos.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei eine stetige Funktion mit und sei eine Nullfolge. Zu bezeichne die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst.

  1. Sei fixiert. Zeige, dass die Folge , , eine Nullfolge ist.
  2. Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass die Folge , , keine Nullfolge sein muss.


Lösung

  1. Als Hintereinanderschaltung von stetigen Funktionen ist nach [[Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] auch stetig. Nach Fakt ***** konvergiert auch die Bildfolge, und zwar wegen

    gegen . Somit ist eine Nullfolge.

  2. Sei

    dies ist eine Nullfolge, und sei

    Dann ist

    und somit ist

    also die konstante Folge mit dem Wert und keine Nullfolge.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge


Lösung

Es sei und vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein mit für alle und alle . Wegen der Stetigkeit von in gibt es ein mit für alle mit . Für diese gilt somit


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige gerade Funktion , die im Nullpunkt kein lokales Extremum besitzt.


Lösung

Wir setzen

Diese Funktion ist stetig, was für klar ist und für daraus folgt, dass der Kosinus beschränkt ist und daher der Limes von für gleich ist. Da der Kosinus eine gerade Funktion ist, gilt

also ist gerade. Im Nullpunkt liegt kein lokales Extremum vor, da an den Stellen

mit die Funktion positive und an den Stellen

mit die Funktion negative Werte besitzt, und diese Stellen beliebig nahe an der liegen.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Nach der Quotientenregel ist


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass der Graph des Kosinus hyperbolicus nicht überall oberhalb der Standardparabel verläuft.


Lösung

Es ist

Für ist dies

Dabei haben wir verwendet, dass sich die weiteren Summanden hinter durch Multiplikation mit u.s.w. ergeben und daher mit der geometrischen Reihe abgeschätzt werden können.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die komplexe Exponentialfunktion

surjektiv ist.


Lösung

Es sei , , vorgegeben. Nach Satz 21.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es eine reelle Zahl und ein mit

Nach Satz 17.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es ein mit . Mit der Funktionalgleichung ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion

im Punkt bis zum Grad .


Lösung

Die ersten beiden Ableitungen von sind

und

Somit ist

Somit ist die Taylorentwicklung in bis zum Grad gleich


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion. Es sei und es sei

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann differenzierbar ist und dass für alle gilt.


Lösung

Es sei fixiert. Der Differenzenquotient ist

Wir müssen zeigen, dass für der Limes existiert und gleich ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem ein mit

und damit ist

Für konvergiert gegen und wegen der Stetigkeit von konvergiert gegen .


Aufgabe (2 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

mit .


Lösung

Eine Stammfunktion zu ist , die allgemeine Lösung ist also

Die Anfangsbedingung führt auf

also ist

und die Lösung des Anfangwertproblems ist