Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 42

Übungsaufgaben

Aufgabe

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&0\\0&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-11\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine quadratische ${}n\times n$-Matrix über ${}{\mathbb {K} }$. Es sei ${}\varphi _{1}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${}v'=Mv+z_{1}(t)\,$

und ${}\varphi _{2}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${}v'=Mv+z_{2}(t)\,.$

Zeige, dass ${}\varphi _{1}+\varphi _{2}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${}v'=Mv+z_{1}(t)+z_{2}(t)\,$

ist.

Aufgabe

Es sei

${}v'=Mv\,$

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten zu einer reellen ${}n\times n$-Matrix ${}M$ und sei ${}u\in {\mathbb {C} }^{n}$ ein Eigenvektor von ${}M$ zum Eigenwert ${}\lambda =a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass ${}e^{at}\cos \left(bt\right){\begin{pmatrix}\operatorname {Re} \,{\left(u_{1}\right)}\\\vdots \\\operatorname {Re} \,{\left(u_{n}\right)}\end{pmatrix}}$ und ${}e^{at}\sin \left(bt\right){\begin{pmatrix}\operatorname {Im} \,{\left(u_{1}\right)}\\\vdots \\\operatorname {Im} \,{\left(u_{n}\right)}\end{pmatrix}}$ Lösungen des Systems sind.

Aufgabe

Es sei

${}v'=Mv\,$

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, sei ${}L$ der Lösungsraum dieses Systems und sei ${}t_{0}\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Abbildung

$L\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,\varphi \longmapsto \varphi (t_{0}),$

ein Vektorraum-Isomorphismus ist.

Aufgabe

Wie transformieren sich in Lemma 42.5 die Anfangsbedingungen?

Aufgabe *

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&-4\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3\\0&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&-3\\4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}.$

Kommentar:

Es handelt sich hierbei um ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten ${}v'=Mv$ . Dank Lemma 42.1 wissen wir, dass Lösungen allein durch Untersuchung der Systemmatrix ${}M$, also mit Hilfe der linearen Algebra gefunden werden können. Haben wir einen Eigenwert ${}\lambda$ von ${}M$ mit zugehörigem Eigenvektor ${}u$, so löst ${}v(t)=ce^{\lambda t}u$ das Differentialgleichungssystem, wobei ${}c$ eine unbestimmte Konstante ist. Dies ist nur eine Lösung und da kein Anfangswert vorgegeben ist, gibt es unendlich viele weitere Funktionen, die das Differentialgleichungssystem erfüllen (allein durch verschiedene Wahl von ${}c$). Um den gesamten Lösungsraum beschreiben zu können, müssen alle Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren von ${}M$ berechnet werden. Dies ist eine gute Gelegenheit entsprechende Inhalte aus dem vorherigen Kurs zu wiederholen. [[Charakteristisches Polynom/2 5 -3 4/Eigenwerte/Eigenräume/Beispiel|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Charakteristisches Polynom/2 5 -3 4/Eigenwerte/Eigenräume/Beispiel/Beispielreferenznummer (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))]] zeigt noch einmal das Vorgehen zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix.

Es ergeben sich für unsere Matrix zwei komplexe Eigenwerte mit zwei verschiedenen Eigenvektoren (Eigenvektoren sind nur bis auf skalare Vielfache eindeutig). Der gesamte Lösungsraum ist schließlich wegen Korollar 42.12 durch die Linearkombinationen der Einzellösungen zu den jeweiligen Eigenvektoren gegeben.

 

Aufgabe *

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

b) Löse das Anfangswertproblem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe *

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$

b) Löse das Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

mit der Anfangsbedingung ${}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}}$.

Aufgabe *

Beschreibe für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\,$

die allgemeine Lösung mit

1. Exponentialfunktionen,
2. Hyperbelfunktionen.

Aufgabe

Finde für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-v\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\,$

Lösungen mit ${}u(0)=a$ und ${}v(0)=b$, wobei ${}a,b\in \mathbb {R}$ sind.

Aufgabe

Es sei

${}v'=Mv\,$

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten mit einer oberen Dreiecksmatrix ${}M$. Zeige, dass es ein Fundamentalsystem von Lösungsfunktionen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ mit

${}v_{i}={\begin{pmatrix}v_{i1}\\\vdots \\v_{ii}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,$

gibt.

Die folgenden Aufgaben löse man mit Satz Anhang 4.1, man spricht vom Ansatz vom Typ der rechten Seite.

Aufgabe

Löse die Differentialgleichung

${}y^{\prime \prime }-2y'+5y=e^{t}\,.$

Kommentar:

Es liegt eine Differentialgleichung höherer Ordnung vor, genauer, der Ordnung 2. Man kann diese durch Einführung von zusätzlichen Variablen in ein Differentialgleichungssystem mit Differentialgleichungen von erster Ordnung transformieren, siehe Lemma 40.14. Oftmals ist es danach trotzdem noch sehr schwierig dieses System zu lösen.

Wir sind aber in der guten Situation, dass unsere Differentialgleichung von besonderer Form ist. Sie ist von Ordnung 2, und die Funktion ${}y$ und ihre Ableitungen kommen nur linear vor. Die rechte Seite ist eine Exponentialfunktion in ${}t$ multipliziert mit einem Polynom ${}p(t)$. Anders als in Aufgabe 42.30 ist es in diesem Fall ein Polynom vom Grad ${}0$, nämlich ${}p(t)=1$.

Differentialgleichungen von dieser Form können mit Hilft des Ansatzes vom Typ der rechten Seite, Satz Anhang 4.1, gelöst werden. Das charakteristische Polynom zur Differentialgleichung ist ${}x^{2}-2x+5$ und wir sehen durch einsetzen, dass der Parameter ${}c$, welcher hier 1 ist, keine Nullstelle ist. Der Ansatz vom Typ der rechten Seite liefert uns demnach, dass es eine Lösung der Form

$x^{0}q(t)e^{1\cdot t}=q(t)e^{t}$

gibt. Es ist bisher nur eine Ansatzlösung. Das Polynom ${}q$ hat dabei denselben Grad wie das Polynom ${}p$ und muss noch genauer bestimmt werden. Das wird im Allgemeinen gemacht, indem für ${}q$ ein entsprechendes Polynom mit noch zu bestimmenden Koeffizienten angesetzt wird. Einsetzen der Ansatzlösung für ${}y$ und deren Ableitungen auf der linken Seite der Differentialgleichung macht es möglich die Koeffizienten von ${}q$ durch Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite zu bestimmen. Siehe dazu auch die Lösung von Aufgabe 42.16.

In dieser Aufgabe ist es recht leicht, denn wie ist der Grad von ${}q$?

 

Aufgabe *

Löse die Differentialgleichung

${}y^{\prime \prime }-y=e^{t}\,.$

Aufgabe *

Löse die Differentialgleichung

${}y^{\prime \prime }-3y'+9y=(t^{2}-8)e^{5t}\,.$

Aufgabe

Löse die Differentialgleichung

${}y^{\prime \prime }+4y'+6y=(t^{3}+5t+3)e^{2{\mathrm {i} }t}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}v'=Mv$ ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in ${}d$ Variablen und sei ein Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{d}$ vorgegeben.

1. Erstelle eine rekursive Formel für die Punkte ${}P_{n}$ im Polygonzugverfahren zum Startpunkt ${}P_{0}=P$ und zur Schrittweite ${}s$ in dieser Situation.
2. Erstelle eine geschlossene Formel für ${}P_{n}$ zur Schrittweite ${}s$.
3. Erstelle eine Formel für ${}P_{n}$ zur Schrittweite ${}{\frac {1}{n}}$.

In eine Potenzreihe kann man nicht zur Zahlen einsetzen, sondern auch quadratische Matrizen, wobei die Potenzen als Matrixpotenzen zu interpretieren sind, und sich fragen, ob die entstehenden Folgen im Raum der Matrizen konvergieren.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine reelle (oder komplexe) ${}d\times d$- Matrix. Zeige, dass

${}{\begin{aligned}\exp M&=E_{d}+M+{\frac {1}{2}}M^{2}+{\frac {1}{3!}}M^{3}+\ldots \\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}M^{k}\end{aligned}}$

im Raum der Matrizen konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}v'=Mv$ ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Zeige, dass die Lösung des Anfangswertproblems mit der Anfangbedingung ${}v(0)=w\in \mathbb {R} ^{d}$ durch

${}v(t)={\left(\exp \left(tM\right)\right)}w\,$

gegeben ist.

Verwende, dass die Ableitung der Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \operatorname {Mat} _{d}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{d^{2}},\,t\longmapsto \exp \left(tM\right),$

gleich ${}M\cdot \exp \left(tM\right)$ ist.

Aufgabe

Begründe Lemma 42.1 mit Aufgabe 42.20.

Aufgabe

Es sei ${}v'=Mv$ ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in ${}d$ Variablen und sei ${}s\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R} ^{d},$

die einem Punkt ${}w\in \mathbb {R} ^{d}$ den Ortspunkt zum Zeitpunkt ${}s$ der Lösung des Anfangswertproblems ${}v(0)=w$ zuordnet, eine lineare Abbildung ist und durch die Matrix ${}\exp \left(sM\right)$ beschrieben wird.

Aufgabe

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

${}M={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,$

gleich

${}\chi _{M}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ und ${}D$ die Ableitung, aufgefasst als Operator

$D\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto D(f)=f'.$

Zu einem Polynom ${}P\in \mathbb {R} [X]$, ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$, betrachten wir den Operator

$P(D)\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto (P(D))(f)=a_{n}D^{n}(f)+\cdots +a_{2}D^{2}(f)+a_{1}D(f)+a_{0}f.$

Berechne ${}(P(D))(f)$ für ${}P=2X^{3}-4X^{2}+7X-3$ und ${}f=x^{4},e^{x},e^{2x},\sin x$. Zeige, dass ${}P(D)$ eine lineare Abbildung auf ${}M$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}\lambda \in \mathbb {R}$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass der Differentialoperator ${}(D-\lambda )^{n}$ die Funktionen ${}x^{j}e^{\lambda x}$ mit ${}0\leq j<n$ auf die Nullfunktion abbildet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3&2\\0&2&5\\0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\\v_{3}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$. Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die allgemeine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}t^{2}+e^{t}\\t\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse die Differentialgleichung

${}y^{\prime \prime }+y'-8y=(t^{2}-4t+7)e^{3t}\,.$

Fußnoten