Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 13

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Die Kegelabbildung

Definition  

Es sei ein -graduierter Ring. Dann nennt man zu einem Ideal das von allen homogenen Elementen aus erzeugte Ideal die Homogenisierung von . Sie wird mit bezeichnet.

Die Homogenisierung ist wieder ein Ideal, das im Ausgangsideal enthalten ist. Zu einem Primideal ist die Homogenisierung ein Primideal.


Definition  

Es sei ein -graduierter Ring. Dann versteht man unter der Kegelabbildung den Schemamorphismus

der auf den offenen Mengen zu homogenen Elementen durch die Spektrumsabbildung zu gegeben ist.



Satz  

Es sei ein -graduierter Ring.

Dann ist die Kegelabbildung in der Tat ein Schemamorphismus.

Beweis  

Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Homogenisierung eines Primideals wieder ein Primideal ist. Zu einem homogenen und einem Primideal ist genau dann, wenn ist, daher ist das Urbild von gleich und die Abbildung ist stetig. Das Diagramm von Abbildungen

kommutiert. Dabei steht oben die eingeschränkte Kegelabbildung, unten die natürliche Spektrumsabbildung, links die Identifizierung aus Lemma 9.13 und rechts die Identifizierung aus Lemma 12.8. Um die Kommutativität nachzuweisen, ist für ein Primideal die Gleichheit

zu zeigen, wobei die Primideale in aufzufassen sind. Die Gleichheit beruht auf den Argumenten zu Lemma 12.8. Dadurch ist der Morphismus schematheoretisch auf festgelegt. Die Morphismen zu verschiedenen sind miteinander kompatibel und legen einen globalen Schemamorphismus fest.



Beispiel  

Zum Polynomring in Variablen mit der Standardgraduierung über einem Körper ist die Kegelabbildung gleich

Auf den -Punkten ist diese Abbildung einfach durch

geben, die einem Punkt die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet.




Moduln auf einem beringten Raum

So wie es für einen kommutativen Ring wichtig ist, die -Moduln zu verstehen, muss man für einen beringten Raum die darauf gegebenen -Moduln verstehen.


Definition  

Eine Garbe auf einem beringten Raum heißt -Modul, wenn es für jede offene Menge auf eine -Modulstruktur gegeben ist, die mit den Restriktionsabbildungen zu verträglich ist.

Die Verträglichkeitsbedingung bedeutet, dass zu offenen Mengen das Diagramm

kommutiert. Die Strukturgarbe ist insbesondere ein -Modul. Ein -Modul ist insbesondere eine Garbe von abelschen Gruppen.


Definition  

Es sei ein beringter Raum und ein -Modul. Eine Untergarbe derart, dass für jede offene Teilmenge ein -Untermodul von ist, heißt -Untermodul von .


Definition  

Es sei ein beringter Raum. Ein -Untermodul heißt Idealgarbe.


Definition  

Es sei ein lokal beringter Raum und ein -Modul. Zu einem Punkt nennt man

die Faser von im Punkt .

Die Faser ist insbesondere ein Vektorraum über dem Restekörper .


Definition  

Es sei ein beringter Raum und seien und -Moduln auf . Ein Garbenhomomorphismus heißt -Modulhomomorphismus, wenn für jede offene Menge die Abbildung

ein -Modulhomomorphismus ist.

Ein -Modulhomomorphismus ist insbesondere ein Homomorphismus von Garben von abelschen Gruppen.

Die folgende Aussage ist eine Version des Festlegungssatzes aus der linearen Algebra.



Satz  

Es sei ein beringter Raum und sei ein -Moduln auf .

Dann geben globale Schnitte Anlass zu einem eindeutig bestimmten Modulhomomorphismus

Beweis  

Zu jeder offenen Menge ist der freie -Modul mit der Basis . Die globalen Schnitte liefern Einschränkungen . Nach dem Festlegungssatz gibt es dazu einen eindeutig bestimmten -Modulhomomorphismus

Diese Modulhomomorphismen sind mit den Einschränkungen zu verträglich und daher liegt ein Homomorphismus von Modulgarben vor.




Lemma  

Es sei ein beringter Raum und sei ein -Moduln auf .

Dann entspricht ein globaler Schnitt eindeutig dem Modulhomomorphismus

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Satz 13.10.




Konstruktionen für Modulgarben

Definition  

Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf . Dann nennt man

mit der natürlichen -Modulstruktur den (globalen) Homomorphismenmodul zu und .

Im Wesentlichen gibt es zu jeder Konstruktion für -Moduln eine analoge Konstruktion für -Moduln. Der Leitgedanke ist dabei, dass die konstruierten Objekte wieder die „richtigen Eigenschaften“ innerhalb der Kategorie aller -Moduln besitzt. Von daher ist auch zu erwarten, dass die vorstehende Definition noch nicht das letzte Wort ist, sondern um eine Garbenversion zu erweitern ist.


Definition  

Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf . Dann nennt man die Zuordnung

die Homomorphismengarbe zu und . Sie wird mit bezeichnet.

Es ist also



Lemma  

Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf .

Dann ist die Homomorphismengarbe eine -Modulgarbe auf .

Beweis  

Es liegt die Beziehung

vor, und rechts steht nach Lemma 4.9 eine Garbe. Die Homomorphieeigenschaft, also die Verträglichkeit mit der Addition und der Skalarmultiplikation, kann man dabei lokal testen (siehe Aufgabe 13.11), so dass links eine Untergarbe steht. Die -Struktur auf wird durch die Addition und Skalarmultiplikation in der zweiten Komponente gegeben, und dies ist mit den Einschränkungen verträglich.



Definition  

Es sei ein beringter Raum und sei eine Modulgarbe auf . Dann nennt man

mit der natürlichen -Modulstruktur den dualen Modul zu .


Definition  

Es sei ein beringter Raum und seien Modulgarben auf . Dann nennt man die Vergarbung der Prägarbe

das Tensorprodukt der Moduln. Sie wird mit bezeichnet.

Aufgrund der universellen Eigenschaft der Vergarbung gibt es eine kanonische Abbildung

die in den Halmen ein Isomorphismus ist. Der Halm ist dabei das Tensorprodukt der Halme, siehe Aufgabe 13.13.



Invertierbare Garben

Definition  

Ein -Modul auf einem beringten Raum heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung derart gibt, dass die Einschränkungen isomorph zu sind.


Eine invertierbare Garbe auf einem beringten Raum heißt trivial, wenn sie isomorph zur Strukturgarbe ist.



Beispiel  

Es sei ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen und eine reelles Geradenbündel auf . Dann ist die Garbe der stetigen Schnitte im Sinne von Beispiel 3.12 ein invertierbarer -Modul. Zu einer offenen Menge mit einer Trivialisierung ist ja ,



Beispiel  

Es sei ein Körper und der projektive Raum über . Die Strukturgarbe ist für jede offene Teilmenge eine Teilmenge des Funktionenkörpers

Wegen der Faktorialität des Polynomringes gibt es zu jedem homogenen Ideal ein bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig bestimmtes homogenes Polynom von maximalem Grad ohne mehrfache Faktoren mit

(daei ist hier erlaubt, wobei dann allerdings die Schreibweise nicht verwendet wird.). Wegen Satz 9.8 ist der globale Schnittring gleich

Sei fixiert. Wir definieren eine Garbe durch

Dabei handelt es sich um eine invertierbare Garbe. Auf (und ebenso auf den ) ist nämlich

ein -Modulisomorphismus, der sich auf die kleineren offenen Teilmengen überträgt. Die globale Auswertung auf dem projektiven Raum ist einfach , was zeigt, dass (bei ) diese invertierbaren Garben zu nicht zueinander isomorph sind (das stimmt für alle ).



Definition  

Zu einem lokal beringten Raum , einer invertierbaren Garbe auf und einem globalen Schnitt nennt man

den Invertierbarkeitsort von .

Das Komplement , also das Nullstellengebilde des Schnittes, bezeichnen wir mit .



Lemma  

Es sei ein lokal beringter Raum, eine invertierbare Garbe auf und ein globaler Schnitt.

Dann ist der Invertierbarkeitsort offen.

Beweis  

Dies folgt durch eine lokale Betrachtung aus Lemma 7.16.




Lemma  

Es sei ein lokal beringter Raum und eine invertierbare Garbe auf . Es sei ein globaler Schnitt mit dem Invertierbarkeitsort .

Dann ist die Einschränkung trivial.

Beweis  

Der globale Schnitt gibt nach Lemma 13.11 Anlass zu einem Modulhomomorphismus

und insbesondere zu einem Modulhomomorphismus

Für jeden Punkt ist dies ein Isomorphismus, daher ist nach Lemma 4.6 ebenfalls ein Isomorphismus.


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