Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 13

Die Kegelabbildung

Definition

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring. Dann nennt man zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ das von allen homogenen Elementen aus ${}{\mathfrak {a}}$ erzeugte Ideal die Homogenisierung von ${}{\mathfrak {a}}$. Sie wird mit ${}{\mathfrak {a}}^{h}$ bezeichnet.

Die Homogenisierung ist wieder ein Ideal, das im Ausgangsideal enthalten ist. Zu einem Primideal ist die Homogenisierung ein Primideal.

Definition

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring. Dann versteht man unter der Kegelabbildung den Schemamorphismus

$D(R_{+})\longrightarrow \operatorname {Proj} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto {\mathfrak {p}}^{h},$

der auf den offenen Mengen zu homogenen Elementen ${}f\in R_{+}$ durch die Spektrumsabbildung zu ${}{\left(R_{f}\right)}_{0}\rightarrow R_{f}$ gegeben ist.

Satz

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring.

Dann ist die Kegelabbildung in der Tat ein Schemamorphismus.

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Homogenisierung eines Primideals wieder ein Primideal ist. Zu einem homogenen ${}f\in R_{+}$ und einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist ${}f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann, wenn ${}f\in {\mathfrak {p}}^{h}$ ist, daher ist das Urbild von ${}D_{+}(f)$ gleich ${}D(f)$ und die Abbildung ist stetig. Das Diagramm von Abbildungen

${\begin{matrix}D(f)&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&D_{+}(f)&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

kommutiert. Dabei steht oben die eingeschränkte Kegelabbildung, unten die natürliche Spektrumsabbildung, links die Identifizierung aus Lemma 9.13 und rechts die Identifizierung aus Lemma 12.8. Um die Kommutativität nachzuweisen, ist für ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in D(f)$ die Gleichheit

${}{\mathfrak {p}}^{h}\cap (R_{f})_{0}={\mathfrak {p}}\cap (R_{f})_{0}\,$

zu zeigen, wobei die Primideale in ${}R_{f}$ aufzufassen sind. Die Gleichheit beruht auf den Argumenten zu Lemma 12.8. Dadurch ist der Morphismus schematheoretisch auf ${}D(f)$ festgelegt. Die Morphismen ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}$ zu verschiedenen ${}f$ sind miteinander kompatibel und legen einen globalen Schemamorphismus fest.

$\Box$

Beispiel

Zum Polynomring ${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ in ${}n+1$ Variablen mit der Standardgraduierung über einem Körper ${}K$ ist die Kegelabbildung gleich

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\supset D(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto {\mathfrak {p}}^{h}.$

Auf den ${}K$-Punkten ist diese Abbildung einfach durch

$K^{n+1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{}^{n}(K),\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

geben, die einem Punkt ${}\neq 0$ die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet.

Moduln auf einem beringten Raum

So wie es für einen kommutativen Ring ${}R$ wichtig ist, die ${}R$- Moduln zu verstehen, muss man für einen beringten Raum die darauf gegebenen ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Moduln verstehen.

Definition

Eine Garbe ${}{\mathcal {M}}$ auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul, wenn es für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ auf ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$ eine ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$- Modulstruktur gegeben ist, die mit den Restriktionsabbildungen zu ${}U\subseteq V$ verträglich ist.

Die Verträglichkeitsbedingung bedeutet, dass zu offenen Mengen ${}U\subseteq V$ das Diagramm

${\begin{matrix}\Gamma {\left(V,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\times \Gamma {\left(V,{\mathcal {M}}\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma {\left(V,{\mathcal {M}}\right)}&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\times \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Die Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ ist insbesondere ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul. Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ist insbesondere eine Garbe von abelschen Gruppen.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul. Eine Untergarbe ${}{\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {M}}$ derart, dass ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {N}}\right)}$ für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ ein ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$- Untermodul von ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$ ist, heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Untermodul von ${}{\mathcal {M}}$.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Untermodul ${}{\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}$ heißt Idealgarbe.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum und ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul. Zu einem Punkt ${}P\in X$ nennt man

${}{\mathcal {M}}(P):={\mathcal {M}}_{P}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,P}}\kappa (P)\,$

die Faser von ${}{\mathcal {M}}$ im Punkt ${}P$.

Die Faser ist insbesondere ein Vektorraum über dem Restekörper ${}\kappa (P)$.

Definition

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Moduln auf ${}X$. Ein Garbenhomomorphismus ${}\varphi \colon {\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}$ heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus, wenn für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ die Abbildung

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {N}}\right)}$

ein ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$- Modulhomomorphismus ist.

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulhomomorphismus ist insbesondere ein Homomorphismus von Garben von abelschen Gruppen.

Die folgende Aussage ist eine Version des Festlegungssatzes aus der linearen Algebra.

Satz

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und sei ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf ${}X$.

Dann geben globale Schnitte ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ Anlass zu einem eindeutig bestimmten Modulhomomorphismus

$\varphi \colon {\mathcal {O}}_{X}^{n}\longrightarrow {\mathcal {M}},\,e_{i}\longmapsto s_{i}.$

Beweis

Zu jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ ist ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}^{n}\right)}=\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}^{n}$ der freie ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$- Modul mit der Basis ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$. Die globalen Schnitte ${}s_{i}$ liefern Einschränkungen ${}{\left(s_{i}\right)}{|}_{U}\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$. Nach dem Festlegungssatz gibt es dazu einen eindeutig bestimmten ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$- Modulhomomorphismus

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}^{n}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)},\,e_{i}\longmapsto {\left(s_{i}\right)}{|}_{U}.$

Diese Modulhomomorphismen sind mit den Einschränkungen zu ${}V\subseteq U$ verträglich und daher liegt ein Homomorphismus von Modulgarben vor.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und sei ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Moduln auf ${}X$.

Dann entspricht ein globaler Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ eindeutig dem Modulhomomorphismus

$\varphi \colon {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {M}},\,1\longmapsto s.$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Satz 13.10.

$\Box$

Konstruktionen für Modulgarben

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$. Dann nennt man

${}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}={\left\{\varphi :{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}\mid \varphi {\text{ Modulhomomorphismus}}\right\}}\,$

mit der natürlichen ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$- Modulstruktur den (globalen) Homomorphismenmodul zu ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$.

Im Wesentlichen gibt es zu jeder Konstruktion für ${}R$-Moduln eine analoge Konstruktion für ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Moduln. Der Leitgedanke ist dabei, dass die konstruierten Objekte wieder die „richtigen Eigenschaften“ innerhalb der Kategorie aller ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Moduln besitzt. Von daher ist auch zu erwarten, dass die vorstehende Definition noch nicht das letzte Wort ist, sondern um eine Garbenversion zu erweitern ist.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$. Dann nennt man die Zuordnung

$U\longmapsto \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}={\left\{\varphi :{\mathcal {M}}{|}_{U}\rightarrow {\mathcal {N}}{|}_{U}\mid \varphi {\text{ Modulhomomorphismus}}\right\}}$

die Homomorphismengarbe zu ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$. Sie wird mit ${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ bezeichnet.

Es ist also

${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}{\left(U\right)}=\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}\,.$

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$.

Dann ist die Homomorphismengarbe ${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ eine ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulgarbe auf ${}X$.

Beweis

Es liegt die Beziehung

${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}{\left(U\right)}=\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}\subseteq \operatorname {Mor} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}\,$

vor, und rechts steht nach Lemma 4.9 eine Garbe. Die Homomorphieeigenschaft, also die Verträglichkeit mit der Addition und der Skalarmultiplikation, kann man dabei lokal testen (siehe Aufgabe 13.11), so dass links eine Untergarbe steht. Die ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Struktur auf ${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ wird durch die Addition und Skalarmultiplikation in der zweiten Komponente gegeben, und dies ist mit den Einschränkungen verträglich.

$\Box$

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und sei ${}{\mathcal {M}}$ eine Modulgarbe auf ${}X$. Dann nennt man

${}{\mathcal {M}}^{*}={{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$

mit der natürlichen ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulstruktur den dualen Modul zu ${}{\mathcal {M}}$.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ Modulgarben auf ${}X$. Dann nennt man die Vergarbung der Prägarbe

$U\longmapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$

das Tensorprodukt der Moduln. Sie wird mit ${}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}$ bezeichnet.

Aufgrund der universellen Eigenschaft der Vergarbung gibt es eine kanonische Abbildung

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}\right)},$

die in den Halmen ein Isomorphismus ist. Der Halm ist dabei das Tensorprodukt der Halme, siehe Aufgabe 13.13.

Invertierbare Garben

Definition

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul ${}{\mathcal {L}}$ auf einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass die Einschränkungen ${}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}$ isomorph zu ${}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$ sind.

Eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt trivial, wenn sie isomorph zur Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ ist.

Beispiel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen ${}C(-,\mathbb {R} )$ und ${}L\rightarrow X$ eine reelles Geradenbündel auf ${}X$. Dann ist die Garbe der stetigen Schnitte ${}S$ im Sinne von Beispiel 3.12 ein invertierbarer ${}C(-,\mathbb {R} )$- Modul. Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ mit einer Trivialisierung ${}L{|}_{U}\cong \mathbb {R} \times U$ ist ja ${}S(U,L{|}_{U})\cong C(U,\mathbb {R} )$,

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum über ${}K$. Die Strukturgarbe ist für jede offene Teilmenge ${}U$ eine Teilmenge des Funktionenkörpers

${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}\subseteq K({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}})\,.$

Wegen der Faktorialität des Polynomringes gibt es zu jedem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ ein bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig bestimmtes homogenes Polynom ${}f$ von maximalem Grad ohne mehrfache Faktoren mit

${}D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq D_{+}(f)\,$

(daei ist hier ${}f=1$ erlaubt, wobei dann allerdings die Schreibweise ${}D_{+}(f)$ nicht verwendet wird.). Wegen Satz 9.8 ist der globale Schnittring gleich

${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=\Gamma {\left(D_{+}(f),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)}_{0}\subseteq K({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}})\,.$

Sei ${}\ell \in \mathbb {Z}$ fixiert. Wir definieren eine Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )$ durch

${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\right)}=\Gamma {\left(D_{+}(f),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\right)}:={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)}_{\ell }\,.$

Dabei handelt es sich um eine invertierbare Garbe. Auf ${}D_{+}(X_{0})$ (und ebenso auf den $D_{+}(X_{i})$) ist nämlich

${\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}\longrightarrow {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{\ell },\,{\frac {F}{G}}\longmapsto X_{0}^{\ell }\cdot {\frac {F}{G}},$

ein ${}{\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}$- Modulisomorphismus, der sich auf die kleineren offenen Teilmengen überträgt. Die globale Auswertung auf dem projektiven Raum ist einfach ${}{\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}_{\ell }$, was zeigt, dass (bei ${}n\geq 1$) diese invertierbaren Garben zu ${}\ell \geq 0$ nicht zueinander isomorph sind (das stimmt für alle ${}\ell$).

Definition

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$, einer invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}X$ und einem globalen Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ nennt man

${}X_{s}:={\left\{P\in X\mid s_{P}\notin {\mathfrak {m}}_{P}{\mathcal {L}}_{P}\right\}}\,$

den Invertierbarkeitsort von ${}s$.

Das Komplement ${}X\setminus X_{s}$, also das Nullstellengebilde des Schnittes, bezeichnen wir mit ${}Z(s)$.

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum, ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ und ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein globaler Schnitt.

Dann ist der Invertierbarkeitsort ${}X_{s}\subseteq X$ offen.

Beweis

Dies folgt durch eine lokale Betrachtung aus Lemma 7.16.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$. Es sei ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein globaler Schnitt mit dem Invertierbarkeitsort ${}X_{s}$.

Dann ist die Einschränkung ${}{\mathcal {L}}{|}_{X_{s}}$ trivial.

Beweis

Der globale Schnitt ${}s$ gibt nach Lemma 13.11 Anlass zu einem Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {L}},\,1\longmapsto s,$

und insbesondere zu einem Modulhomomorphismus

$\varphi \colon {\mathcal {O}}_{X}{|}_{X_{s}}\longrightarrow {\mathcal {L}}{|}_{X_{s}}.$

Für jeden Punkt ${}P\in X_{s}$ ist dies ein Isomorphismus, daher ist ${}\varphi$ nach Lemma 4.6 ebenfalls ein Isomorphismus.

$\Box$

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