Kurs:Differentialgeometrie/7/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	4	5	4	9	0	8	6	0	3	3	0	0	7	55

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Gaußkrümmung zu einer differenzierbaren Fläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ in einem Punkt ${}P\in Y$.
2. Eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$.
3. Ein zeitunabhängiges Vektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
4. Eine Differentialform vom Grad ${}k$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit.
6. Ein torsionsfreier linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Existenzsatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche.
2. Der Satz über die lokale Beschreibung von Differentialformen.
3. Die Quaderversion des Satzes von Stokes.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei ${}M$ die durch

${}x^{2}+3y^{2}=2\,$

gegebene Ellipse im ${}\mathbb {R} ^{2}$, ${}P={\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{pmatrix}}$ und ${}Q={\begin{pmatrix}-1\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{pmatrix}}$ Punkte auf ${}M$.

1. Zeige, dass

   ${}v={\begin{pmatrix}-{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}}\,$

   ein Tangentialvektor in ${}P$ an ${}M$ ist.

2. Bestimme das Bild von ${}v$ unter einem Paralleltransport auf ${}M$ von ${}P$ nach ${}Q$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Orientierungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Fläche versehen mit einem Einheitsnormalenfeld ${}N$. Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine stetig differenzierbare Kurve und sei

$F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

ein differenzierbares tangentiales Vektorfeld längs ${}\gamma$, das parallel sei. Zeige, dass dann auch das Vektorfeld

$I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto N(\gamma (t))\times F(t),$

parallel ist, wobei ${}\times$ das Kreuzprodukt im ${}\mathbb {R} ^{3}$ bezeichnet.

Aufgabe * (9 Punkte)

Es sei ${}M\neq \emptyset$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

${}M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots \subseteq M_{n-1}\subseteq M_{n}=M\,$

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M_{i}$ die Dimension ${}i$ besitzt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei

$\psi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion und

$M={\left\{\left(x_{1},\,,\ldots ,,\,x_{n},\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\right)\mid (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \,$

der Graph von ${}\psi$. Zeige, dass ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit ist und dass für die kanonische Volumenform ${}\omega$ auf ${}M$ die Formel

${}(\operatorname {Id} \times \psi )^{*}(\omega )={\left(1+\sum _{i=1}^{n}{\left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}\right)}^{2}\right)}^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

gilt.

Aufgabe (6 Punkte)

Berechne die Oberfläche der Einheitskugel.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der ${}1$- Differentialform

${}\omega ={\frac {x^{2}}{y}}dx-{\frac {x}{y^{2}}}dy\,$

auf ${}U={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y\neq 0\right\}}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand aus (einer disjunkten Vereinigung von) unendlich vielen Kreisen ${}S^{1}$ besteht.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel ${}TM$ gegeben, der metrisch und torsionsfrei sei. Zeige, dass für Vektorfelder ${}X,Y,Z$ die Formel

${}\left\langle \nabla _{X}Y,Z\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(D_{X}\left\langle Y,Z\right\rangle +D_{Y}\left\langle Z,X\right\rangle -D_{Z}\left\langle X,Y\right\rangle -\left\langle Y,[X,Z]\right\rangle -\left\langle Z,[Y,X]\right\rangle +\left\langle X,[Z,Y]\right\rangle \right)}\,$

gilt.