Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 13

Übungsaufgaben

Das Kroneckerprodukt zu Matrizen

${}A=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}\,$

und

${}B=(b_{k\ell })_{1\leq \ell \leq p,\,1\leq k\leq r}\,$

ist durch

$(a_{ij}\cdot b_{k\ell })_{1\leq i\leq m,\,1\leq \ell \leq p;\,1\leq j\leq n,\,1\leq k\leq r}$

gegeben.

Aufgabe *

Berechne das Kroneckerprodukt der beiden Matrizen ${}{\begin{pmatrix}3&-4\\5&-2\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-2&7\\6&3\end{pmatrix}}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und

${}A=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}\,$

und

${}B=(b_{k\ell })_{1\leq \ell \leq p,\,1\leq k\leq r}\,$

Matrizen mit den zugehörigen linearen Abbildungen ${}A\colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ bzw. ${}B\colon K^{r}\rightarrow K^{p}$. Zeige, dass das Tensorprodukt dieser linearen Abbildungen bezüglich der Basen ${}e_{j}\otimes e_{k}$, ${}1\leq j\leq n,\,1\leq k\leq r$, von ${}K^{n}\otimes K^{r}$ und ${}e_{i}\otimes e_{\ell }$, ${}1\leq i\leq m,\,1\leq \ell \leq p$, von ${}K^{m}\otimes K^{p}$ durch das Kroneckerprodukt von ${}A$ und ${}B$ beschrieben wird.

Aufgabe

Zeige, dass das Tensorprodukt des Möbiusbandes mit sich selbst ein triviales Geradenbündel ist.

Aufgabe

Es seien ${}M_{1}$ und ${}M_{2}$ orientierte Mannigfaltigkeiten. Zeige, dass das Produkt ${}M_{1}\times M_{2}$ eine orientierte Mannigfaltigkeit ist (wobei die Orientierung von der Ordnung auf $\{1,2\}$ abhängt).

Aufgabe

Zeige, dass die ${}1$-Sphäre ${}S^{1}$ eine orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Es seien ${}M$ und ${}N$ orientierte Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Diese heißt ${}\varphi$ orientierungstreu, wenn für jeden Punkt ${}P\in M$ die Tangentialabbildung

$T\varphi \colon T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N$

bijektiv und orientierungstreu ist.

Aufgabe

Zeige, dass die antipodale Abbildung

$\varphi \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,P\longmapsto -P,$

orientierungstreu ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung

$\varphi \colon M\times M\longrightarrow M\times M,\,(P,Q)\longmapsto (Q,P),$

bezüglich der jeweiligen Produktorientierungen nicht orientierungstreu sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, der nur aus endlich vielen Elementen bestehe. Zeige, dass ${}X$ kompakt ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es seien ${}Y_{1},\ldots ,Y_{n}\subseteq X$ kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung ${}Y=\bigcup _{i=1}^{n}Y_{i}$ kompakt ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein kompakter Raum und es sei ${}Y\subseteq X$ eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ${}Y$ ebenfalls kompakt ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein nichtleerer kompakter topologischer Raum und sei

$f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass es ein ${}x\in X$ mit

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in X$

gibt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von ${}f$ homöomorph zu einem offenen, einem halboffenen, einem abgeschlossenen Intervall oder zu ${}S^{1}$ ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon S^{1}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von ${}f$ homöomorph zu einem abgeschlossenen Intervall ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ nicht überdeckungskompakt ist.

Aufgabe

Wir betrachten die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ und versehen sie mit der diskreten Metrik. Zeige, dass ${}\mathbb {N}$ abgeschlossen und beschränkt, aber nicht überdeckungskompakt ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein kompakter metrischer Raum. Zeige, dass ${}X$ vollständig ist.

Aufgabe

Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ gibt, die eine Basis der Topologie bilden.

Aufgabe *

Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{4}+z^{6}=1\right\}}\,$

eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine kompakte topologische ${}d$-dimensionale Mannigfaltigkeit, ${}d\geq 1$. Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ und eine stetige surjektive Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow M$

gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die ${}2$-Sphäre ${}S^{2}$ eine orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Antipodenabbildung

$S^{2}\longrightarrow S^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (-x,-y,-z),$

nicht orientierungstreu ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Hausdorffraum und es sei ${}Y\subseteq X$ eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei ${}Y$ kompakt. Zeige, dass ${}Y$ abgeschlossen in ${}X$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}X$ kompakt. Zeige, dass das Bild ${}\varphi (X)\subseteq Y$ ebenfalls kompakt ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension ${}n$ und sei das Produkt ${}V^{n}=V\times \cdots \times V$ mit der Produkttopologie versehen. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und

$\varphi \colon I\longrightarrow V^{n}$

eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass

${}\varphi (t)=(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t),\ldots ,\varphi _{n}(t))\,$

für jedes ${}t\in I$ eine Basis von ${}V$ ist. Zeige, dass sämtliche Basen ${}\varphi (t)$, ${}t\in I$, die gleiche Orientierung auf ${}V$ repräsentieren.