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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 13

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Übungsaufgaben


Das Kroneckerprodukt zu Matrizen

und

ist durch

gegeben.


Aufgabe *

Berechne das Kroneckerprodukt der beiden Matrizen und .


Aufgabe

Es sei ein Körper und

und

Matrizen mit den zugehörigen linearen Abbildungen bzw. . Zeige, dass das Tensorprodukt dieser linearen Abbildungen bezüglich der Basen , , von und , , von durch das Kroneckerprodukt von und beschrieben wird.


Aufgabe

Zeige, dass das Tensorprodukt des Möbiusbandes mit sich selbst ein triviales Geradenbündel ist.


Aufgabe

Es seien und orientierte Mannigfaltigkeiten. Zeige, dass das Produkt eine orientierte Mannigfaltigkeit ist (wobei die Orientierung von der Ordnung auf abhängt).


Aufgabe

Zeige, dass die -Sphäre eine orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.


Es seien und orientierte Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Diese heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt die Tangentialabbildung

bijektiv und orientierungstreu ist.


Aufgabe

Zeige, dass die antipodale Abbildung

orientierungstreu ist.


Aufgabe

Es sei eine orientierte Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung

bezüglich der jeweiligen Produktorientierungen nicht orientierungstreu sein muss.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum, der nur aus endlich vielen Elementen bestehe. Zeige, dass kompakt ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und es seien kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung kompakt ist.


Aufgabe *

Es sei ein kompakter Raum und es sei eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ebenfalls kompakt ist.


Aufgabe *

Es sei ein nichtleerer kompakter topologischer Raum und sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass es ein mit

gibt.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von homöomorph zu einem offenen, einem halboffenen, einem abgeschlossenen Intervall oder zu ist.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von homöomorph zu einem abgeschlossenen Intervall ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen nicht überdeckungskompakt ist.


Aufgabe

Wir betrachten die natürlichen Zahlen und versehen sie mit der diskreten Metrik. Zeige, dass abgeschlossen und beschränkt, aber nicht überdeckungskompakt ist.


Aufgabe *

Es sei ein kompakter metrischer Raum. Zeige, dass vollständig ist.


Aufgabe

Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im gibt, die eine Basis der Topologie bilden.


Aufgabe *

Zeige, dass die Menge

eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe *

Es sei eine kompakte topologische -dimensionale Mannigfaltigkeit, . Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge und eine stetige surjektive Abbildung

gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die -Sphäre eine orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Antipodenabbildung

nicht orientierungstreu ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Hausdorffraum und es sei eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei kompakt. Zeige, dass abgeschlossen in ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und topologische Räume und es sei

eine stetige Abbildung. Es sei kompakt. Zeige, dass das Bild ebenfalls kompakt ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension und sei das Produkt mit der Produkttopologie versehen. Es sei ein reelles Intervall und

eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass

für jedes eine Basis von ist. Zeige, dass sämtliche Basen , , die gleiche Orientierung auf repräsentieren.




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