Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 12
- Die Pausenaufgabe
Es seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass und für jedes ist.
- Übungsaufgaben
Es sei ein angeordneter Körper und ein positives Element. Zeige, dass die ganzzahlige Exponentialfunktion
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Es sei ein Körper und sei
die Menge aller invertierbaren
-
Matrizen.
a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.
b) Zeige
(ohne Bezug zur Determinante),
dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Es sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei . Zeige, dass das Potenzieren
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Es sei eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz
entsprechen.
Bestimme die Gruppenhomomorphismen von nach .
Kommentar:
Dies ist ein Spezialfall von Aufgabe 12.9 und geht ähnlich. Man muss zeigen, dass jeder Gruppenhomomorphismus
die triviale Abbildung ist, d.h. für alle . Die Grundidee ist einfach. Nehmen wir an, dass
ist, wobei eine rationale Zahl ist. Innerhalb der rationalen Zahlen kann man beliebig dividieren, insbesondere kann man halbieren. Es ist
und somit gilt
was bedeutet, dass man auch das Bild in halbieren kann. SO kann man weitermachen und erhält, dass man in durch , durch , durch ... teilen kann, was zu einem Widerspruch führt.
Hier kann man auch eine ähnliche Idee wie in Aufgabe 12.7 verwenden: jeder solche Gruppenhomomorphismus ist durch eindeutig festgelegt. In der Tat folgt durch Induktion, dass für alle positive ganze Zahl und alle . Wegen
erhält man . Somit gilt für alle und alle . Insbesondere gilt für , dass , also . Sei nun ein beliebiges mit , gegeben. Dann gilt
Daher kann durch bestimmt werden.
Nun genügt es also zu zeigen, dass . Dies folgt aus der Tatsache, dass für alle .
Im allgemeinen Fall, in dem durch einen Körper ersetzt wird, wird nicht notwendigerweise durch bestimmt. Es gilt jedoch immer noch, dass für alle und alle mit . Damit muss wieder die triviale Abbildung sein.
Es sei ein Körper. Zeige, dass es außer der trivialen Abbildung keinen weiteren Gruppenhomomorphismus von nach gibt.
Es bezeichne die (multiplikative) Einheitengruppe von . Man gebe einen nichttrivialen Gruppenhomomorphismus von nach an.
Kommentar:
Ein Gruppenhomomorphismus
ist eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass für alle . Um eine solche Funktion zu konstruieren, sollte man natürlich über die Umkehrung der Potenzfunktionen nachdenken, da die Potenzfunktion die Eigenschaft erfüllt. Diese Funktionen wurden bereits implizit in Aufgabe 8.33 betrachtet. Die Aufgabe besagt, dass jedes eine eindeutige Darstellung der Form
besitzt, wobei das (endliche) Produkt sich über Primzahlen erstreckt und die Exponenten sind. Also ist für jede Primzahl eine Abbildung von nach . Jetzt muss man noch überprüfen, dass jedes ein Gruppenhomomorphismus ist.
Es sei . Wir betrachten die Restklassengruppe
Zeige, dass die Abbildung
kein Gruppenhomomorphismus ist.
Kommentar:
Wir wissen bereits, dass die Addition in der Restklassengruppe die Addition modulo ist. Also gilt beispielsweise usw. In sind und aber unterschiedlich. Es folgt
also . Somit ist kein Gruppenhomomorphismus.
Ähnlich wie in Aufgabe 12.8 und Aufgabe 12.9 kann man auch zeigen, dass es außer der trivialen Abbildung keinen weiteren Gruppenhomomorphismus von nach gibt.
Wie in der Vorlesung erwähnt, sind lineare Abbildungen insbesondere Gruppenhomomorphismen. Den Kern kann man wie folgt auch für einen Gruppenhomomorphismus definieren.
Es seien und Gruppen und sei
ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von , geschrieben
Es gilt auch wieder das Kernkriterium, also die Aussage, dass ein Gruppenhomomorphismus genau dann injektiv ist, wenn der Kern trivial ist, d.h. nur aus besteht.
Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus
Seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von eine Untergruppe von ist.
Stelle in der Restklassengruppe die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen und dar.
- ,
- ,
- .
Bestimme für die folgenden Hintereinanderausführungen von Teildrehungen (in der Ebene um den Nullpunkt), um welche Gesamtdrehung es sich handelt. Die Gesamtdrehung soll dabei durch eine Drehung um höchstens Grad (höchstens eine Halbdrehung) mit oder gegen den Uhrzeigersinn beschrieben werden.
- Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Vierteldrehung im Uhrzeigersinn.
- Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn.
- Eine Volldrehung im Uhrzeigersinn.
- Eine Drei-Viertel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn gefolgt von einer Zwei-Drittel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn.
- Eine Fünfteldrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Fünf-Achtel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn.
Begründe, dass die Menge der zu einer Geraden parallelen Geraden eine kommutative Gruppe bilden. Addiere zwei solche Geraden miteinander. Illustriere die Wohldefiniertheit an diesem Beispiel.
Es sei eine kommutative Gruppe und
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.
Es sei ein Teiler von . Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
kommutiert. Warum lassen sich die Reste modulo und modulo besonders einfach berechnen?
Es seien und kommutative Gruppen und sei eine Untergruppe mit der zugehörigen Äquivalenzrelation auf . Es sei ein Gruppenhomomorphismus mit . Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus mit gibt.
Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 8.4, dass jede Untergruppe von ein Ideal ist.
Zeige, dass eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.
Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.
Erstelle für Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für die Restklassenringe . Was haben diese Tabellen mit dem Rechnen im -System zu tun?
- Gibt es eine Primzahl derart, dass auch und Primzahlen sind?
- Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch und Primzahlen sind?
Bestimme den Rest von modulo .
Bestimme den Rest von modulo .
Es sei eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ein Vielfaches von für jede ganze Zahl ist.
Bestimme das inverse Element zu in .
Bestimme das inverse Element zu in .
Es sei und der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass eine Einheit modulo genau dann ist, wenn und teilerfremd sind.
Es sei ein Körper. Wir betrachten die Abbildung
Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung , welche nicht?
Löse die lineare Gleichung
für die folgenden Körper :
a) ,
b) ,
c) , der Körper mit zwei Elementen aus Beispiel 4.12,
d) , der Körper mit sieben Elementen aus Beispiel 12.11.
Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper aus Beispiel 12.11.
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass der Betrag
ein Gruppenhomomorphismus ist. Was ist der Kern?
Aufgabe (3 Punkte)
Betrachte die Matrix
Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von nach und ebenso von nach definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.
Aufgabe (2 Punkte)
Stelle in der Restklassengruppe die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen und dar.
- ,
- ,
- ,
- .
Aufgabe (3 Punkte)
Erstelle Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für den Restklassenring .
Aufgabe (3 Punkte)
Führe in folgende Polynomdivision aus.
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne über das Matrizenprodukt
Aufgabe (3 Punkte)
Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper aus Beispiel 12.11.
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