Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/4/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 3 3 3 4 4 4 6 3 3 3 7 4 8 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper .
  2. Der Kern zu einer linearen Abbildung
  3. Die Restklassengruppe zu einer Untergruppe in einer kommutativen Gruppe .
  4. Ein offenes Intervall in einem angeordneten Körper .
  5. Eine rationale Funktion über einem Körper .
  6. Paarweise unabhängige Ereignisse in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .


Lösung

  1. Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
  2. Der Kern von ist
  3. Die Restklassengruppe ist die Quotientenmenge mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur.
  4. Eine Teilmenge der Form

    heißt offenes Intervall in .

  5. Zu zwei Polynomen , , heißt die Funktion

    wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.

  6. Die Ereignisse

    heißen paarweise unabhängig, wenn

    für alle ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Matrixprodukt und die Hintereinanderschaltung von Abbildungen.
  2. Der Satz über die Intervallschachtelung.
  3. Die Periodizitätseigenschaften für die Sinusfunktion.


Lösung

  1. Es sei eine -Matrix und eine -Matrix und es seien
    die zugehörigen linearen Abbildungen. Dann beschreibt das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen.
  2. Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Dann besteht der Durchschnitt
    aus genau einem Punkt .
    1. Es ist für alle .
    2. Es ist für alle .
    3. Es ist , , , und .


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

a) Zeige

b) Bestimme die inverse Matrix zu .

c) Löse die Gleichung


Lösung

a) Es ist

b) Nach Teil a) ist

also ist invertierbar und stimmt mit seinem Inversen überein, also

c) Wir wenden auf die Gleichung beidseitig die Matrix an und erhalten


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem , die durch

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Lösung

Wegen

ist , die Relation ist also reflexiv. Es sei nun . Dies bedeutet

Somit ist auch

und damit ist auch , was die Symmetrie bedeutet. Sei schließlich und . Dies bedeutet

und

Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraumes unter Addition gilt somit

was bedeutet. Dies ergibt die Transitivität.


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Konzept der Wohldefiniertheit anhand eines typischen Beispiels.


Lösung Wohldefiniertheit/Typisches Beispiel/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper .


Lösung

Das inverse Element zu in ist , somit ist in die Variable eliminiert. Dies ergibt

und dies hat keine Lösung.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper mit . Beschreibe die Menge

als ein Intervall.


Lösung

Wir behaupten

Wegen ist entweder oder . Auf und auf ist die inverse Abbildung streng fallend. Somit ist


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.


Lösung

Es sei , , eine konvergente Teilfolge mit dem Grenzwert . Wir behaupten, dass die Folge ebenfalls gegen konvergiert. Sei dazu vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Teilfolge gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Da eine Cauchy-Folge vorliegt gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Daher gilt für unter Verwendung eines mit die Abschätzung


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die Aussage, dass eine reelle Zahl, die eine periodische Dezimalentwicklung besitzt, eine rationale Zahl ist.


Lösung

Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form

besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als

auffassen, wobei die Einsen an der -ten, -ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten also die Reihe

Nach Satz 47.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) konvergiert dies gegen

wobei jeweils Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. ,
  2. .


Lösung

Es seien

und

mit , also und . Bei ist der Grad der Summe, bei ist bei dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner (die Summe kann sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren). Wegen Lemma 23.12 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) ist und somit ist der Leitterm des Produktpolynoms , dessen Grad somit gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine quadratische Gleichung über einem Körper , und es sei eine Lösung davon. Zeige, dass auch eine Lösung der Gleichung ist.


Lösung

Wir behaupten, dass das Polynom die Faktorzerlegung

besitzt. Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, so stimmt der konstante Koeffizient und der Leitkoeffizient mit den Koeffizienten der linken Seite überein. Der lineare Koeffizient ist

so dass hier auch Überstimmung vorliegt. Wenn man nun rechts einsetzt, kommt offenbar raus, es liegt also eine Lösung vor.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Lösung

Unter der Bedingung

ist


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion , die die Gleichung

für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.


Lösung

Sei . Dann ist wegen

auch . Wegen

ist . Wegen

ist

von verschieden. Wegen

ist positiv. Wir vergleichen mit . Für stimmen die beiden Funktionen überein. Für ist aufgrund der Funktionalgleichung

Für ist wegen

also gilt die Gleichheit für . Für mit gilt wegen

und der eindeutigen Existenz von -ten Wurzeln

Daraus folgt über die Beziehung

auch die Übereinstimmung für negative rationale Argumente. Da nach Voraussetzung stetig ist und da stetig ist, und da es zu jeder reellen Zahl eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen konvergiert, müssen die beiden Funktionen nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit übereinstimmen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft.


Lösung

Der Richtungsvektor der Geraden ist . Somit besitzt die Geradengleichung die Form

Einsetzen eines Punkt ergibt . Somit ist

Dies setzen wir in die Kreisgleichung

ein und erhalten

oder

Die Normierung davon ist

Somit ist

und

Die Schnittpunkte sind also


Aufgabe (8 (1+1+5+1) Punkte)

Es wollen Personen untereinander wichteln. Jede Person soll also genau von einer Person ein Geschenk bekommen, aber natürlich nicht von sich selbst. Die Personen schreiben ihren Namen auf einen Zettel, die Zettel werden in einem Hut gesammelt und daraus zieht jede Person einen Zettel, den sie dann beschenken soll.

  1. Es sei . Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Namensziehung wichtelkonform ist?
  2. Wie viele Ziehmöglichkeiten gibt es bei allgemeinem ?
  3. Wie hoch ist bei allgemeinem die Wahrscheinlichkeit , dass eine Namensziehung wichtelkonform ist?
  4. Was kann man über die Konvergenz von für sagen?


Lösung

Eine Ziehung bedeutet eine bijektive Abbildung von nach , eine wichtelkonforme Ziehung bedeutet eine fixpunktfreie bijektive Abbildung.

  1. Es gibt nur die beiden Möglichkeiten Identität und Vertauschung, die Wahrscheinlichkeit, dass die Ziehung wichtelkonform ist, ist somit gleich .
  2. Es gibt bijektive Abbildungen (Permutationen) einer -elementigen Menge in sich selbst.
  3. Zu jedem sei das Ereignis, dass bei einer bijektiven Abbildung auf sich selbst abgebildet wird. Somit ist das Ereignis, dass eine bijektive Abbildung mindestens einen Fixpunkt besitzt. Nach der Siebformel ist

    mit

    Das Ereignis bedeutet also, dass alle Indizes aus Fixpunkte sind (und eventuell weitere). Dazu gibt es Möglichkeiten, da die bijektiven Abbildungen mit als Fixpunkt den bijektiven Abbildungen von in sich entsprechen. Da es -elementige Teilmengen gibt, erhält man

    Das Ereignis, eine wichtelkonforme (fixpunktfreie) bijektive Abbildung zu ziehen, ist somit gleich

  4. Für die Exponentialfunktion zur Basis gilt nach Fakt ***** die Darstellung

    Somit ist die oben ermittelte Formel die Anfangssumme von . Insbesondere konvergiert gegen .