Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/4/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	3	3	4	4	4	6	3	3	3	7	4	8	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper ${}K$.
2. Der Kern zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

3. Die Restklassengruppe ${}G/H$ zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe ${}G$.
4. Ein offenes Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$.
5. Eine rationale Funktion über einem Körper ${}K$.
6. Paarweise unabhängige Ereignisse ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,\mu )$.

Lösung

1. Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
2. Der Kern von ${}\varphi$ ist

   ${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{x\in K^{n}\mid \varphi (x)=0\right\}}\,.$

3. Die Restklassengruppe ist die Quotientenmenge ${}G/\sim _{H}$ mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur.
4. Eine Teilmenge der Form

   ${}]a,b[={\left\{x\in K\mid a<x<b\right\}}\,$

   heißt offenes Intervall in ${}K$.

5. Zu zwei Polynomen ${}P,Q\in K[X]$, ${}Q\neq 0$, heißt die Funktion

   $D\longrightarrow K,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$

   wobei ${}D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

6. Die Ereignisse

   ${}E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M\,$

   heißen paarweise unabhängig, wenn

   ${}\mu (E_{i}\cap E_{j})=\mu (E_{i})\cdot \mu (E_{j})\,$

   für alle ${}i\neq j$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Matrixprodukt und die Hintereinanderschaltung von Abbildungen.
2. Der Satz über die Intervallschachtelung.
3. Die Periodizitätseigenschaften für die Sinusfunktion.

Lösung

1. Es sei ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix und ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix und es seien

   $K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}$

   die zugehörigen linearen Abbildungen. Dann beschreibt das Matrixprodukt ${}A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen.
2. Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Dann besteht der Durchschnitt

   $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

   aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.
3. 1. Es ist ${}\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
   2. Es ist ${}\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
   3. Es ist ${}\sin 0=0$, ${}\sin \pi /2=1$, ${}\sin \pi =0$, ${}\sin 3\pi /2=-1$ und ${}\sin 2\pi =0$.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}11&-20\\6&-11\end{pmatrix}}\,.$

a) Zeige

${}M^{2}=E_{2}\,.$

b) Bestimme die inverse Matrix zu ${}M$.

c) Löse die Gleichung

${}M{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-9\end{pmatrix}}\,.$

Lösung

a) Es ist

${}M^{2}={\begin{pmatrix}11&-20\\6&-11\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}11&-20\\6&-11\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}121-120&-220+220\\66-66&-120+121\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$

b) Nach Teil a) ist

${}M^{2}=E_{2}\,,$

also ist ${}M$ invertierbar und stimmt mit seinem Inversen überein, also

${}M^{-1}=M\,.$

c) Wir wenden auf die Gleichung beidseitig die Matrix ${}M^{-1}=M$ an und erhalten

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}&=M{\begin{pmatrix}4\\-9\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}11&-20\\6&-11\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\-9\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}44+180\\24+99\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}224\\123\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}U\subseteq K^{n}$ ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem ${}K^{n}$, die durch

$v_{1}\sim v_{2}{\text{ genau dann, wenn }}v_{1}-v_{2}\in U$

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Lösung

Wegen

${}v-v=0\in U\,$

ist ${}v\sim v$, die Relation ist also reflexiv. Es sei nun ${}v\sim u$. Dies bedeutet

${}v-u\in U\,.$

Somit ist auch

${}u-v=-(v-u)\in U\,$

und damit ist auch ${}u\sim v$, was die Symmetrie bedeutet. Es sei schließlich ${}u\sim v$ und ${}v\sim w$. Dies bedeutet

${}u-v\in U\,$

und

${}v-w\in U\,.$

Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraumes unter Addition gilt somit

${}(u-v)+(v-w)=u-w\in U\,,$

was ${}u=w$ bedeutet. Dies ergibt die Transitivität.

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Konzept der Wohldefiniertheit anhand eines typischen Beispiels.

Lösung Wohldefiniertheit/Typisches Beispiel/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(7)$.

${}{\begin{pmatrix}3&5\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}\,.$

Lösung

Das inverse Element zu ${}3$ in ${}\mathbb {Z} /(7)$ ist ${}5$, somit ist in ${}II'=II-2\cdot 5I=II+4I$ die Variable ${}x$ eliminiert. Dies ergibt

${}0=1\,$

und dies hat keine Lösung.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}I=[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}0\notin I$. Beschreibe die Menge

${}M={\left\{x\in K\mid x^{-1}\in [a,b]\right\}}\,$

als ein Intervall.

Lösung

Wir behaupten

${}M=[b^{-1},a^{-1}]\,.$

Wegen ${}0\notin I$ ist entweder ${}[a,b]\subseteq K_{+}$ oder ${}[a,b]\subseteq K_{-}$. Auf ${}K_{+}$ und auf ${}K_{-}$ ist die inverse Abbildung ${}x\mapsto x^{-1}$ streng fallend. Somit ist

${}{\begin{aligned}M&={\left\{x\in K\mid x^{-1}\in [a,b]\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a\leq x^{-1}\leq b\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a^{-1}\geq {\left(x^{-1}\right)}^{-1}\geq b^{-1}\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a^{-1}\geq x\geq b^{-1}\right\}}\\&=[b^{-1},a^{-1}].\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne

${\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}&={\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\right)}\\&=-{\frac {4}{25}}+{\left({\frac {14}{5}}+{\frac {1}{15}}\right)}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\left({\frac {1}{10}}-{\frac {7}{6}}-{\frac {2}{25}}\right)}\cdot 2^{\frac {2}{3}}+{\left(-{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{5}}\right)}\cdot 2+{\frac {1}{20}}\cdot 2^{\frac {4}{3}}\\&=-{\frac {4}{25}}-{\frac {1}{12}}+{\frac {14}{5}}+{\left({\frac {14}{5}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{10}}\right)}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\left({\frac {1}{10}}-{\frac {7}{6}}-{\frac {2}{25}}\right)}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\\&={\frac {-48-25+840}{300}}+{\frac {84+2+3}{30}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {15-175-12}{150}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\\&={\frac {767}{300}}+{\frac {89}{30}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}-{\frac {86}{75}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}K$, die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.

Lösung

Es sei ${}x_{n_{i}}$, ${}i\in \mathbb {N}$, eine konvergente Teilfolge mit dem Grenzwert ${}x$. Wir behaupten, dass die Folge ebenfalls gegen ${}x$ konvergiert. Es sei dazu ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Teilfolge gibt es ein ${}i_{0}$ derart, dass für alle ${}i\geq i_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n_{i}}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$

gilt. Da eine Cauchy-Folge vorliegt gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$

gilt. Daher gilt für ${}n\geq {\max {\left(n_{0},n_{i_{0}}\right)}}$ unter Verwendung eines ${}n_{i}$ mit ${}n_{i}\geq {\max {\left(n_{0},n_{i_{0}}\right)}}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x}\vert =\vert {x_{n}-x_{n_{i}}+x_{n_{i}}-x}\vert \leq \vert {x_{n}-x_{n_{i}}}\vert +\vert {x_{n_{i}}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon \,.$

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die Aussage, dass eine reelle Zahl, die eine periodische Dezimalentwicklung besitzt, eine rationale Zahl ist.

Lösung

Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl ${}x$ vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl ${}\neq 0$ noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form

$0,z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}{\ldots }$

besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als

${\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}\cdot 0,00{\ldots }00100{\ldots }00100{\ldots }00100{\ldots }001{\ldots }$

auffassen, wobei die Einsen an der ${}m$-ten, ${}2m$-ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten also die Reihe

$\sum _{i=1}^{\infty }{\left({\frac {1}{10^{m}}}\right)}^{i}.$

Nach Satz 47.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) konvergiert dies gegen

${}{\frac {1}{1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{m}}}-1={\frac {1}{\left({\frac {99{\cdots }99}{10^{m}}}\right)}}-1={\frac {10^{m}}{99{\cdots }99}}-1={\frac {1}{99{\cdots }99}}\,,$

wobei jeweils ${}m$ Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,,$

2. ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.$

Lösung

Es seien

${}P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\,$

und

${}Q=b_{m}X^{m}+b_{m-1}X^{m-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\,$

mit ${}a_{n},b_{m}\neq 0$, also ${}n=\operatorname {grad} \,(P)$ und ${}m=\operatorname {grad} \,(Q)$. Bei ${}m\neq n$ ist ${}\operatorname {max} (m,n)$ der Grad der Summe, bei ${}m=n$ ist bei ${}a_{n}\neq -b_{n}$ dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner (die Summe kann ${}0$ sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren). Wegen Lemma 23.12 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) ist ${}a_{n}b_{m}\neq 0$ und somit ist ${}a_{n}b_{m}X^{n+m}$ der Leitterm des Produktpolynoms ${}PQ$, dessen Grad somit gleich ${}n+m$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

${}x^{2}+px+q=0\,$

eine quadratische Gleichung über einem Körper ${}K$, und es sei ${}r\neq 0$ eine Lösung davon. Zeige, dass auch ${}{\frac {q}{r}}$ eine Lösung der Gleichung ist.

Lösung

Wir behaupten, dass das Polynom ${}X^{2}+pX+q$ die Faktorzerlegung

${}X^{2}+pX+q=(X-r){\left(X-{\frac {q}{r}}\right)}\,$

besitzt. Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, so stimmt der konstante Koeffizient und der Leitkoeffizient mit den Koeffizienten der linken Seite überein. Der lineare Koeffizient ist

${}-r-{\frac {q}{r}}={\frac {-r^{2}-q}{r}}={\frac {-{\left(-pr-q\right)}-q}{r}}={\frac {pr+q-q}{r}}=p\,,$

sodass hier auch Überstimmung vorliegt. Wenn man nun rechts ${}{\frac {q}{r}}$ einsetzt, kommt offenbar ${}0$ raus, es liegt also eine Lösung vor.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

${}f(x)=2x^{3}-4x+5\,.$

Zeige, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

${}\vert {x-3}\vert \leq {\frac {1}{800}}\,,$

dann ist

${}\vert {f(x)-f(3)}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Lösung

Unter der Bedingung

${}\vert {x-3}\vert \leq {\frac {1}{800}}\,$

ist

${}{\begin{aligned}\vert {f(x)-f(3)}\vert &=\vert {2x^{3}-4x+5-2\cdot 3^{3}+4\cdot 3-5}\vert \\&=\vert {2(x^{3}-3^{3})-4(x-3)}\vert \\&\leq 2\vert {x^{3}-3^{3}}\vert +4\vert {x-3}\vert \\&\leq 2\vert {x-3}\vert \cdot \vert {x^{2}+3x+3^{2}}\vert +{\frac {4}{800}}\\&\leq 2\cdot {\frac {1}{800}}\cdot \vert {16+12+9}\vert +{\frac {4}{800}}\\&={\frac {78}{800}}\\&\leq {\frac {1}{10}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion ${}\neq 0$, die die Gleichung

${}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein ${}b>0$ mit ${}f(x)=b^{x}$ gibt.

Lösung

Es sei ${}f(u)\neq 0$. Dann ist wegen

${}f(u)=f(u+0)=f(u)f(0)\,$

direkt ${}f(0)=1$. Wegen

${}1=f(0)=f(1-1)=f(1)\cdot f(-1)\,$

ist

${}b:=f(1)\,$

von ${}0$ verschieden. Wegen

${}f(1)=f{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}=f{\left({\frac {1}{2}}\right)}f{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\left(f{\left({\frac {1}{2}}\right)}\right)}^{2}\,$

ist ${}b$ positiv. Wir vergleichen ${}f(x)$ mit ${}b^{x}$. Für ${}x=0,1$ stimmen die beiden Funktionen überein. Für ${}x=n\in \mathbb {N}$ ist aufgrund der Funktionalgleichung

${}f(n)=f(1)^{n}=b^{n}\,.$

Für ${}n\in \mathbb {Z} _{-}$ ist wegen ${}1=f(0)=f(n-n)=f(n)f(-n)$

${}f(n)=f(-n)^{-1}={\left(b^{-1}\right)}^{-n}=b^{n}\,,$

also gilt die Gleichheit für ${}n\in \mathbb {Z}$. Für ${}n=p/q\in \mathbb {Q} _{+}$ mit ${}p,q\in \mathbb {N} _{+}$ gilt wegen

${}f(p)=f{\left(q\cdot {\frac {p}{q}}\right)}={\left(f{\left({\frac {p}{q}}\right)}\right)}^{q}\,$

und der eindeutigen Existenz von ${}q$-ten Wurzeln

${}f{\left({\frac {p}{q}}\right)}={\sqrt[{q}]{f(p)}}={\sqrt[{q}]{b^{p}}}=b^{\frac {p}{q}}\,.$

Daraus folgt über die Beziehung

${}1=f(r-r)=f(r)\cdot f(-r)\,$

auch die Übereinstimmung für negative rationale Argumente. Da ${}f$ nach Voraussetzung stetig ist und da ${}b^{x}$ stetig ist, und da es zu jeder reellen Zahl ${}x$ eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen ${}x$ konvergiert, müssen die beiden Funktionen nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit übereinstimmen.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${}(-1,1)$ und ${}(4,-2)$ verläuft.

Lösung

Der Richtungsvektor der Geraden ist ${}{\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}}$. Somit besitzt die Geradengleichung die Form

${}3x+5y=c\,.$

Einsetzen eines Punkt ergibt ${}c=2$. Somit ist

${}y={\frac {2-3x}{5}}\,.$

Dies setzen wir in die Kreisgleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

ein und erhalten

${}x^{2}+{\left({\frac {2-3x}{5}}\right)}^{2}=1\,$

oder

${}x^{2}+{\frac {4-12x+9x^{2}}{25}}-1={\frac {34}{25}}x^{2}-{\frac {12}{25}}x-{\frac {21}{25}}=0\,.$

Die Normierung davon ist

$x^{2}-{\frac {6}{17}}x-{\frac {21}{34}}.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {{\frac {6}{17}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{17}}\right)}^{2}+4\cdot {\frac {21}{34}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{17}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{17}}\right)}^{2}+{\frac {42}{17}}}}}{2}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {6^{2}+714}}}{34}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {750}}}{34}}\\&={\frac {6\pm 5{\sqrt {30}}}{34}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}y_{1,2}&={\frac {2-3x_{1,2}}{5}}\\&={\frac {2-3{\left({\frac {6\pm 5{\sqrt {30}}}{34}}\right)}}{5}}\\&={\frac {68-3{\left(6\pm 5{\sqrt {30}}\right)}}{170}}\\&={\frac {50\mp 15{\sqrt {30}}}{170}}\\&={\frac {10\mp 3{\sqrt {30}}}{34}}.\end{aligned}}$

Die Schnittpunkte sind also

$\left({\frac {6+5{\sqrt {30}}}{34}},\,{\frac {10-3{\sqrt {30}}}{34}}\right)\,\,{\text{ und }}\,\,\left({\frac {6-5{\sqrt {30}}}{34}},\,{\frac {10+3{\sqrt {30}}}{34}}\right).$

Aufgabe (8 (1+1+5+1) Punkte)

Es wollen ${}n$ Personen untereinander wichteln. Jede Person soll also genau von einer Person ein Geschenk bekommen, aber natürlich nicht von sich selbst. Die ${}n$ Personen schreiben ihren Namen auf einen Zettel, die Zettel werden in einem Hut gesammelt und daraus zieht jede Person einen Zettel, den sie dann beschenken soll.

1. Es sei ${}n=2$. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Namensziehung wichtelkonform ist?
2. Wie viele Ziehmöglichkeiten gibt es bei allgemeinem ${}n$?
3. Wie hoch ist bei allgemeinem ${}n$ die Wahrscheinlichkeit ${}p(n)$, dass eine Namensziehung wichtelkonform ist?
4. Was kann man über die Konvergenz von ${}p(n)$ für ${}n\rightarrow \infty$ sagen?

Lösung

Eine Ziehung bedeutet eine bijektive Abbildung von ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ nach ${}{\{1,\ldots ,n\}}$, eine wichtelkonforme Ziehung bedeutet eine fixpunktfreie bijektive Abbildung.

1. Es gibt nur die beiden Möglichkeiten Identität und Vertauschung, die Wahrscheinlichkeit, dass die Ziehung wichtelkonform ist, ist somit gleich ${}{\frac {1}{2}}$.
2. Es gibt ${}n!$ bijektive Abbildungen (Permutationen) einer ${}n$-elementigen Menge in sich selbst.
3. Zu jedem ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}E_{i}$ das Ereignis, dass bei einer bijektiven Abbildung ${}i$ auf sich selbst abgebildet wird. Somit ist ${}E_{1}\cup E_{2}\cup \ldots \cup E_{n}$ das Ereignis, dass eine bijektive Abbildung mindestens einen Fixpunkt besitzt. Nach der Siebformel ist

   ${}{\#\left(E_{1}\cup E_{2}\cup \ldots \cup E_{n}\right)}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}{\#\left(E_{J}\right)}\right)}\,$

   mit

   ${}E_{J}=\bigcap _{i\in J}E_{i}\,.$

   Das Ereignis ${}E_{J}$ bedeutet also, dass alle Indizes aus ${}J$ Fixpunkte sind (und eventuell weitere). Dazu gibt es ${}(n-k)!$ Möglichkeiten, da die bijektiven Abbildungen mit ${}J$ als Fixpunkt den bijektiven Abbildungen von ${}{\{1,\ldots ,n\}}\setminus J$ in sich entsprechen. Da es ${}{\binom {n}{k}}$ ${}k$-elementige Teilmengen gibt, erhält man

   ${}{\begin{aligned}{\#\left(E_{1}\cup E_{2}\cup \ldots \cup E_{n}\right)}&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\binom {n}{k}}(n-k)!\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}(n-k)!\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {n!}{k!}}.\end{aligned}}$

   Das Ereignis, eine wichtelkonforme (fixpunktfreie) bijektive Abbildung zu ziehen, ist somit gleich

   ${}{\begin{aligned}1-P(E_{1}\cup E_{2}\cup \ldots \cup E_{n})&=1-{\frac {\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {n!}{k!}}}{n!}}\\&=1-{\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {1}{k!}}\right)}\\&=1+\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}\\&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}.\end{aligned}}$

4. Für die Exponentialfunktion zur Basis ${}e$ gilt nach Satz 53.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) die Darstellung

   ${}e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}\,.$

   Somit ist die oben ermittelte Formel ${}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}$ die Anfangssumme von ${}e^{-1}$. Insbesondere konvergiert ${}p(n)$ gegen ${}e^{-1}$.