Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/7/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 7 2 2 2 3 4 2 4 2 3 1 3 3 3 8 2 2 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Basis im .
  2. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  3. Eine Teilfolge einer Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Der Polynomring über einem Körper (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
  5. Eine Drehung in .
  6. Der Produktraum der diskreten Wahrscheinlichkeitsräume .


Lösung

  1. Die Vektoren im heißen eine Basis des , wenn man jeden Vektor eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann.
  2. Man nennt

    die Quotientenmenge von .

  3. Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

    eine Teilfolge der Folge.

  4. Der Polynomring über einem Körper besteht aus allen Polynomen

    mit , , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

    definiert ist.

  5. Eine Drehung ist eine lineare Abbildung, die durch eine Matrix der Form gegeben ist.
  6. Es seien die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten auf den . Dann nennt man die Produktmenge zusammen mit der durch

    gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung
  2. Der Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.
  3. Der Satz über die Homomorphismuseigenschaft der reellen Exponentialfunktionen.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und sei

    eine lineare Abbildung. Dann ist genau dann injektiv, wenn

    ist.
  2. Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine Cauchy-Folge in . Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.
    1. Die Folge ist eine Nullfolge.
    2. Es gibt eine positive Zahl derart, dass ab einem gewissen die Abschätzung

      für alle gilt.

    3. Es gibt eine positive Zahl derart, dass ab einem gewissen die Abschätzung

      für alle gilt.

  3. Es sei eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion
    ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.


Lösung

Sei die Lösungsmenge nicht leer und sei ein beliebig gewählter Punkt. Es sei der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem, der nach Lemma 34.2 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) ein Untervektorraum von ist. Wir müssen die Mengengleichheit zeigen. Wenn ist, so bedeutet dies

für alle . Für ist dann

also ist dieser Punkt eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und somit ist . Wenn umgekehrt eine Lösung ist, so ist

und diese Differenz erfüllt

Also ist und somit .


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Anna-Lena, Marie-Simone, Hans-Peter und Fritz-Franz gehen zur Farbberatung. Es ergibt sich folgende Empfehlung. Anna-Lena stehen die Farben grün, gelb und pink, Marie-Simone steht gelb und feuerrot, Hans-Peter steht grün, grau und graublau, Fritz-Franz stehen alle bisher genannten Farben außer graublau, dafür zusätzlich noch violett. Es sei die Menge der vier Personen und die Menge der erwähnten Farben zuzüglich blau.

  1. Erstelle eine Tabelle und ein Verbindungsdiagramm, die die Relation aus Personen und Farben wiedergibt.
  2. Bestimme die Fasern zu blau, zu grün und zu Marie-Simone.


Lösung

  1. grün gelb pink feuerrot grau graublau violett blau
    Anna-Lena
    Marie-Simone
    Hans-Peter
    Fritz-Franz
  2. Die Faser zu blau ist leer, die Faser zu grün ist und die Faser zu Marie-Simone ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Seien und Mengen und sei eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

wenn

eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.


Lösung

Da der Funktionswert eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar . Wenn ist, so bedeutet das und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt , was wiederum bedeutet. Wenn und ist, so bedeutet dies einerseits und andererseits . Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt , was bedeutet.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und Mengen mit Verknüpfungen und es sei

eine mit den Verknüpfungen verträgliche surjektive Abbildung, es gelte also

Die Verknüpfung auf sei assoziativ. Zeige, dass auch die Verknüpfung auf assoziativ ist.


Lösung

Es seien Elemente in . Wegen der Surjektivität gibt es Elemente mit , , . Somit ist unter Verwendung der Assoziativität von und der Verträglichkeit


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Lösung

Sei

Wegen . ist . Seien . Das bedeutet und . Dann ist

und daher .

Sei nun und beliebig. Dann ist

also ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und seien rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung

gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.


Lösung

Wir definieren die Abbildung durch

Da es sich bis auf die Verschiebung um um eine lineare Funktion mit einem positiven Proportionalitätsfaktor handelt, ist sie nach Lemma 25.15 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (1) streng wachsend und auch bijektiv. Es ist offenbar und . Somit ist

und die Abbildung lässt sich auf die Intervalle zu einer bijektiven Abbildung einschränken. Für eine rationale Zahl ist

wegen der Rationalität von und wieder rational.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Die Folge sei durch

definiert.

  1. Bestimme und .
  2. Konvergiert die Folge in ?


Lösung

  1. Es ist und .
  2. Die Folge konvergiert nicht, da sie unendlich oft den Wert und unendlich oft den Wert annimmt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Lösung

Es ist

Bei ist somit

und bei ist

Daher ist stets

Für ein vorgegebenes gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen natürliche Zahlen  und derart, dass

für und

für gilt. Für gilt daher

Dies bedeutet die Konvergenz von gegen .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (1 Punkt)

Ist die Zahl rational?


Lösung

Wenn

rational wäre, so wäre auch rational, was nach Satz 42.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) nicht gilt. Somit ist nicht rational.


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir erweitern mit und erhalten

Folgen der Form , , konvergieren gegen , nach den Rechengesetzen für konvergente Folgen konvergiert diese Folge also gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.


Lösung

Wir wollen

zeigen. Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu

bzw. zu

Wegen

ist dies in der Tat wahr.


Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche die Division mit Rest in und in ( ein Körper).


Lösung Division mit Rest/Polynomring und Z/Diskussion/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (8 (3+2+3) Punkte)

  1. Bestimme ein Polynom vom Grad mit

    und

  2. Bestimme ein normiertes Polynom vom Grad mit

    und

  3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu und zu .


Lösung

  1. Wir machen den Ansatz

    Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

    Elimination von führt auf

    Addition der ersten beiden Gleichungen führt auf

    also

    Dies führt auf

    und

    Somit ist

    also

    und

    Das gesuchte Polynom ist also

  2. Wir machen den Ansatz

    Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

    Dies führt auf

    Die Gleichung ist

    also

    und

    Das gesuchte Polynom ist also

  3. Die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen zu und zu sind die Nullstellen von

    Wir arbeiten mit . Wegen

    ist eine Nullstelle dieses Polynoms. Die Division mit Rest führt auf

    Es geht also noch um die Nullstellen von

    Diese sind und . Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind demnach


Aufgabe (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?


Lösung

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

Es ist und und . Da als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein mit .


Aufgabe (2 Punkte)

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt . Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander drei Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest besitzt?


Lösung

Es gibt insgesamt Sprungkombination und jede Sprungkombination besitzt die Wahrscheinlichkeit . Wegen

kann Lucy nur auf einen Abstand von zum Ausgangspunkt kommen, wenn sie dreimal in die gleiche Richtung springt. Dafür gibt es vier Möglichkeiten. Sie gelangt also mit Wahrscheinlichkeit auf einen Punkt mit dem Abstand .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei der Körper mit elf Elementen. Im Vektorraum werden zufällig drei Punkte ausgewählt, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen?


Lösung

Im Vektorraum gibt es Elemente. Insgesamt gibt es

Wahlmöglichkeiten für die drei Punkte. Zwei verschiedene Punkte definieren eine eindeutige Gerade, und jede Gerade besitzt so viele Elemente wie der Körper, also Elemente. Dass die beiden zuerst gewählten Punkte übereinstimmen, hat die Wahrscheinlichkeit . In diesem Fall liegen alle drei Punkte auf einer Geraden. Der komplementäre Fall, dass die beiden zuerst gewählten Punkte nicht übereinstimmen, besitzt die Wahrscheinlichkeit . In diesem Fall wird durch die beiden ersten Punkte eine Gerade festgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der dritte Punkt auf dieser Geraden liegt, ist dann . Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass die drei Punkte auf (mindestens) einer Geraden liegen, beträgt somit