Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 39

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Spirale7punkte.png

Wir betrachten auf dem weißen Teil des angegebenen Labyrinths die Äquivalenzrelation, die dadurch festgelegt ist, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn man durch eine stetige Bewegung (also ohne Sprünge) von einem Punkt zum anderen Punkt gelangen kann. Bestimme, welche der markierten Punkte zueinander äquivalent sind. Skizziere die Äquivalenzklassen des Labyrinths durch verschiedene Farben.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei die Menge der Menschen und die Verwandtschaftsrelation darauf, die wir großzügig als transitiv interpretieren. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es?


Aufgabe

In der Klasse herrscht ein rigides Cliquensystem, jeder Schüler und jede Schülerin gehört genau einer Clique an. Es gibt die „Borussen-Bande“ (Heinz Ngolo, Mustafa Müller, Veronika Zaitsev, Bernd Buxtehude, Paola Rodrigues und Peter Dembele), die „Eisfreunde Sonne“ (Lucy Sonnenschein, Fred Feuerstein, Natascha Schleckmaul, Frodo Gletscherzunge) die „Nutty Nerds“ (Gabi Hochster, Primo von Hinten), das „Anarcho-Syndikat“ (Anna-Lena Müller, Annegret Maier, Ann-Kathrin Schmitt, Anabelle Belami, Antoine de la Playa, Arndt MacDermott), die „Lucky Loosers“ (Yogi Nanging, Manfred Trutzenburg, Roberta Falstaff, Dörte Waterkant), die „Cauchy-Zwillinge“ (Carmen Cauchy, Conchita Cauchy), sowie fünf weitere Einzelpersonen, die für sich jeweils eine Clique bilden. Die Zugehörigkeit zur gleichen Clique definiert eine Äquivalenzrelation in der Klasse .

  1. Bestimme .
  2. Bestimme .
  3. Bestimme .
  4. Bestimme .
  5. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es in der Klasse?
  6. Wie viele Elemente besitzt die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation?
  7. Um das Klima in der Klasse zu verbessern, ruft Frau Maier-Sengupta ein Treffen zusammen, zu dem jede Clique einen Repräsentanten schickt. Wie viele Möglichkeiten für ein solches Treffen gibt es? Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die fünf Einzelpersonen zusammen eine neue Clique bilden und Antoine de la Playa das Anarcho-Syndikat verlässt und sich den Eisfreunden Sonne anschließt?


Aufgabe

Es finden ein Gipfeltreffen von Staaten statt, wobei jeder Staat entweder den Präsidenten(-in) oder den Vizepräsidenten hinschickt. Das Gastgeberland ist jedenfalls mit dem Präsidenten vertreten. Wie viele Möglichkeiten für das Gipfeltreffen (also Kombinationsmöglichkeiten an Repräsentanten) gibt es?


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass die Relation auf , die durch

eine Äquivalenzrelation ist. Was sind die Äquivalenzklassen?


Aufgabe

Es sei ein Körper und .

  1. Wir betrachten auf dem die Relation , die durch gegeben ist, falls es eine lineare Abbildung mit gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht?
  2. Wir betrachten auf dem die Relation , die durch gegeben ist, falls es eine bijektive lineare Abbildung mit gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht?


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Wir betrachten auf dem die Äquivalenzrelation , die durch gegeben ist, falls es eine bijektive lineare Abbildung mit gibt. Bestimme die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation.


Aufgabe

Es sei ein Vektorraum und . Betrachte auf der Produktmenge die folgende Relation.

Die beiden Vektorentupel stehen also in Relation zueinander, wenn sie den gleichen Untervektorraum erzeugen. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Man gebe eine Bijektion zwischen der zugehörigen Quotientenmenge und der Menge der Untervektorräume von , die durch Vektoren erzeugt werden können.


Aufgabe

Es sei ein Untervektorraum und die zugehörige Äquivalenzrelation im Sinne von Aufgabe 38.15.

  1. Zeige, dass die affinen Unterräume der Form die Äquivalenzklassen sind.
  2. Es sei ein weiterer Untervektorraum mit

    und derart, dass man jeden Vektor in der Form mit und schreiben kann. Zeige, dass ein Repräsentantensystem

    für die Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Sei ein Faden. Man versuche, sich die folgenden Äquivalenzrelationen auf und die zugehörige Identifizierungsabbildungen vorzustellen (möglichst geometrisch).

  1. Die beiden Endpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
  2. Es seien zwei Punkte fixiert. Diese beiden Punkte seien zueinander äquivalent, ansonsten seien die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
  3. Es seien Punkte fixiert. Diese Punkte seien untereinander äquivalent, ansonsten seien die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
  4. Auf dem Faden seien abwechselnd rote Punkte und blaue Punkte markiert. Die roten Punkte sollen untereinander äquivalent sein und die blauen Punkte sollen untereinander äquivalent sein, ansonsten seien die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
  5. Es sei der Mittelpunkt des Fadens. Zwei Punkte seien zueinander äquivalent, wenn sie zu den gleichen (gestreckter) Abstand haben.
  6. Der Faden wird in (oder ) gleichlange Teile unterteilt, die Länge eines Teiles sei . Zwei Punkte sind zueinander äquivalent, wenn ihr Abstand ein Vielfaches von ist.


Aufgabe

Sei ein Blatt Papier (oder ein Taschentuch). Man versuche, sich die folgenden Äquivalenzrelationen auf und die zugehörige Identifizierungsabbildungen vorzustellen (möglichst geometrisch).

  1. Die vier Eckpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
  2. Alle Randpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
  3. Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
  4. Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand und jeder Punkt des oberen Randes ist äquivalent zu seinem vertikal gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
  5. Jeder Punkt des Randes ist äquivalent zu seinem punktsymmetrisch (bezüglich des Mittelpunktes des Blattes) gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
  6. Sei ein Kreis (d.h. eine Kreislinie) auf dem Blatt. Alle Kreispunkte seien untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
  7. Es gebe zwei Punkte , die untereinander äquivalent seien, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
  8. Sei die horizontale Halbierungsgerade des Blattes. Zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie achsensymmetrisch zu sind.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und

die Betragsabbildung. Zeige, dass man diese Abbildung als Quotientenabbildung zur Äquivalenzrelation auf auffassen kann, für die bei gilt.


Aufgabe

Es sei

eine surjektive Abbildung mit der zugehörigen Äquivalenzrelation auf im Sinne von Lemma 38.10. Es sei die Quotientenmenge zu mit der kanonischen Projektion . Zeige, dass es eine bijektive Abbildung

mit

gibt.


Aufgabe

Es sei

eine surjektive lineare Abbildung mit dem Kern . Es sei die Äquivalenzrelation auf zu diesem Untervektorraum im Sinne von Aufgabe 38.15 und sei

die zugehörige Quotientenabbildung. Zeige, dass es nach Fakt ***** eine Abbildung

mit

gibt. Zeige, dass bijektiv ist.


Aufgabe

Beschreibe typische Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation auf , die durch die Additionsabbildung

im Sinne von Lemma 38.10 gegeben ist.


Aufgabe

Beschreibe typische Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation auf , die durch die Multiplikationsabbildung

im Sinne von Lemma 38.10 gegeben ist. Wie sieht die Äquivalenzklasse zu aus? Markiere in mit unterschiedlichen Farben unterschiedliche Äquivalenzklassen. Gibt es Äquivalenzklassen, die nur aus einem Element bestehen? Gibt es Äquivalenzklassen, die aus unendlich vielen Elementen bestehen? Welche Äquivalenzklassen bestehen aus zwei Elementen?


Aufgabe

Die Schüler und Schülerinnen der Klasse 3b werden für den Schwimmunterricht in die vier Leistungsklassen eingeteilt. Wenn der Schwimmunterricht im Freibad stattfindet, so schwimmen die Leistungsklassen und im großen Becken und die Leistungsklassen und im kleinen Becken. Wenn der Schwimmunterricht im Hallenbad stattfindet, so schwimmt die Leistungsklasse auf den Bahnen und , die Leistungsklassen und auf den Bahnen bis und die Leistungsklasse macht Trockenübungen. Erläutere diese Situation mit Hilfe von Fakt *****.


Aufgabe *

Wir betrachten auf die Relation , die durch

festgelegt ist, falls eine Potenz von und eine Potenz von teilt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.
  3. Es sei die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge . Zeige, dass es eine natürliche Abbildung

    gibt, die zu einer injektiven Abbildung

    führt. Ist surjektiv?

  4. Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?


Es seien und Äquivalenzrelationen auf der Menge . Man sagt, dass eine Verfeinerung von ist, wenn aus stets folgt.


Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge aller höheren Säugetiere die Äquivalenzrelationen, die durch „gehören zur gleichen Gattung“, „gehören zur gleichen Familie“, „gehören zur gleichen Art“, „gehören zur gleichen Klasse“, „gehören zur gleichen Ordnung“ gegeben sind. Welche Äquivalenzrelation ist eine Verfeinerung von welcher Äquivalenzrelation? Man gebe für je zwei dieser Äquivalenzrelationen Tiere an, die bezüglich der einen Relation äquivalent sind, aber nicht bezüglich der anderen. Wie viele Äquivalenzklassen besitzt die Äquivalenzrelation zur Ordnung?


Aufgabe

Es sei eine Menge und seien und Äquivalenzrelationen auf mit den zugehörigen kanonischen Abbildungen

und

Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist eine Verfeinerung von .
  2. Für die Äquivalenzklassen zu jedem Element gilt .
  3. Es ist (als Teilmengen von )
  4. Es gibt eine Abbildung

    mit .


Aufgabe

Es sei eine Produktmenge. Zeige, dass die Gleichheit in der ersten Komponente eine Äquivalenzrelation auf ist. Zeige, dass man jede Äquivalenzklasse mit und die Quotientenmenge mit identifizieren kann.


Aufgabe

Es seien und Mengen. Wir betrachten auf der Abbildungsmenge diejenige Relation, bei der die Abbildungen

in Relation stehen, wenn es eine bijektive Abbildung

mit

gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Es seien und Mengen, wobei endlich sei. Wir betrachten die Abbildung

Einer Abbildung wird also die Abbildung zugeordnet, die jedem Wert die Anzahl seiner Urbilder zuordnet. Finde möglichst viele Interpretationen für diese Situation.


Aufgabe

Es sei eine Schulklasse und

die Menge der Schulnoten. Das Ergebnis einer Klausur ist eine Abbildung , wobei jedem Schüler seine in der Klausur erzielte Note zugeordnet wird. Die zugehörige Notenverteilung ist die Abbildung, die jeder Note zuordnet, wie oft diese Note in der Klausur vergeben wurde. Die in Aufgabe 10.23 besprochene Abbildung

ordnet also dem Klausurergebnis die Notenverteilung zu. Es sei nun

die Abbildung, die jedem Klausurergebnis die Durchschnittsnote zuordnet.

  1. Erstelle eine Formel für die Durchschnittsnote zu einem Klausurergebnis .
  2. Erstelle eine Formel für die Durchschnittsnote zu einer Notenverteilung .
  3. Zeige, dass man die Durchschnittsnote zum Klausurergebnis allein aus der zugehörigen Notenverteilung berechnen kann.
  4. Zeige, dass es eine Abbildung

    mit

    gibt.

  5. Aus welchen Notenverteilungen ist das Klausurergebnis rekonstruierbar?
  6. Was ist eine sinnvolle Antwort auf die Frage „Wie ist die Klausur ausgefallen“?


Aufgabe

Es seien und Mengen, wobei endlich sei. Es sei die Äquivalenzrelation auf aus Aufgabe 40.22 und sei

die in Aufgabe 10.23 besprochene Abbildung.

  1. Es sei eine bijektive Abbildung und eine Abbildung. Zeige
  2. Es seien . Zeige genau dann, wenn ist.
  3. Zeige, dass es eine injektive Abbildung

    mit gibt, wobei die kanonische Projektion in die Quotientenmenge bezeichnet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Relation zwischen den Mengen und . Wir definieren auf die Relation durch , wenn für alle die Beziehung genau dann gilt, wenn gilt. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation auf ist.


TwoTone.svg

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Schachfiguren Turm, Läufer, Pferd und Esel zusammen mit ihren erlaubten Zügen auf einem -Schachbrett. Ein Esel darf dabei pro Zug einen Doppelschritt nach vorne, nach hinten, nach rechts oder nach links machen. Jede dieser Figuren definiert eine Äquivalenzrelation auf den Feldern, indem zwei Felder als äquivalent angesehen werden, wenn das eine Feld von dem anderen Feld aus mit dieser Figur in endlich vielen Zügen erreichbar ist. Beschreibe für jede dieser Schachfiguren die zugehörige Äquivalenzrelation und ihre Äquivalenzklassen. Wie sieht es auf einem -Schachbrett aus?


Aufgabe (1 Punkt)

Im Portemonnaie befinden sich vier -Euro-Münzen, sechs -Euro-Münzen, drei -Cent-Münzen, zwei -Cent-Münzen, eine -Cent-Münze, keine -Cent-Münze, fünf -Cent-Münzen und acht -Cent-Münzen. Wir betrachten auf dieser Münzmenge diejenige Äquivalenzrelation, bei der zwei Münzen als äquivalent gelten, wenn sie den gleichen Münzwert haben. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Wie viele Elemente besitzen die einzigen Äquivalenzklassen? Wie viele Elemente besitzt die Quotientenmenge?


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und Äquivalenzrelationen auf der Menge mit den zugehörigen kanonischen Abbildungen

und

Es sei der Durchschnitt der beiden Äquivalenzrelationen mit der zugehörigen kanonischen Projektion

Zeige, dass es eine injektive Abbildung

mit gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten auf der Menge der Geraden in der Ebene die Äquivalenzrelation, die durch die Parallelität von Geraden gegeben ist. Zeige, dass die folgende Menge ein Repräsentantensystem ist: die -Achse und diejenigen Geraden, die durch den Nullpunkt und einen Punkt der Form mit verlaufen.



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