Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 46

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass im Ring der rationalen Folgen ${}\mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }$ die Teilmenge der Nullfolgen kein Ideal bildet.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Menge aller Folgen in ${}K$ (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.

Dieser Folgenring wird mit ${}K^{\mathbb {N} }$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Menge aller Folgen in ${}K$ (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) kein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Menge aller konvergenten Folgen in ${}K$ (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe

Die beiden Zwillingsschwestern Carmen und Conchita Cauchy waren gestern auf einer tollen Party. Beide haben jeweils genau eine Erinnerungslücke, einen Moment, an den sie sich nicht errinnern können. Sie möchten wissen, ob es sich um die gleiche Lücke handelt. Da es sich um eine Lücke handelt, können sie diese nicht direkt adressieren und untereinander vergleichen. Welche Möglichkeiten haben sie, ihre Erinnerungslücken allein mit Hilfe ihrer Erinnerungen zu vergleichen?

Aufgabe

Wir nennen zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ aus ${}\mathbb {Q}$ Cauchy-äquivalent, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}m,n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-y_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Cauchy-Äquivalenz ist eine symmetrische und transitive Relation auf dem Folgenring ${}\mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }$.
2. Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Cauchy-Folge genau dann, wenn sie zu sich selbst Cauchy-äquivalent ist.
3. Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen ist die Cauchy-Äquivalenz eine Äquivalenzrelation.
4. Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen stimmt die Cauchy-Äquivalenz von zwei Folgen mit der Eigenschaft überein, dass ihre Differenzfolge eine Nullfolge ist.
5. Wenn ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zu ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-äquivalent ist, so ist auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K^{\mathbb {N} }$ der zugehörige Folgenring. Es sei ${}k\in \mathbb {N}$ fixiert.

1. Zeige, dass

   ${}I_{k}={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid x_{k}=0\right\}}\,$

   ein Ideal in ${}K^{\mathbb {N} }$ ist.

2. Welche Bedeutung hat die durch dieses Ideal gegebene Äquivalenzrelation?
3. Zeige, dass die Gesamtabbildung

   $K\longrightarrow K^{\mathbb {N} }\longrightarrow K^{\mathbb {N} }/I_{k}$

   bijektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K^{\mathbb {N} }$ der zugehörige Folgenring. Zeige, dass durch

${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\sim {\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\,,$

falls sich die beiden Folgen nur in endlich vielen Gliedern unterscheiden, eine Äquivalenzrelation definiert ist. Rührt diese Äquivalenzrelation von einem Ideal her?

Aufgabe *

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in ${}\mathbb {Q}$ konvergenten Folgen ein Ideal?

Aufgabe

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in ${}\mathbb {R}$ konvergenten Folgen ein Ideal?

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq \mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }$ der Ring, der aus allen in ${}\mathbb {Q}$ konvergenten, rationalen Folgen besteht.

1. Zeige, dass die Menge der Nullfolgen ein Ideal in ${}R$ bildet.
2. Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow \mathbb {Q}$

   gibt.

3. Zeige, dass es einen bijektiven Ringhomorphismus

   $\psi \colon R/N\longrightarrow \mathbb {Q}$

   gibt.

Aufgabe *

Es sei

${}D={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{ Cauchy-Folge in }}\mathbb {R} \right\}}\,$

und ${}N$ das Ideal der Nullfolgen in ${}D$.

1. Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus

   $\psi \colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   gibt.

2. Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon D/N\longrightarrow \mathbb {R}$

   gibt.

3. Zeige, dass die Gesamtabbildung

   $\mathbb {R} \longrightarrow D{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}\mathbb {R}$

   bijektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R=\mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }$ der Ring aller rationalen Folgen. Ist die Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow R,$

die einer rationalen Zahl ihre Dezimalbruchfolge zuordnet, ein Ringhomomorphismus?

Aufgabe

Wir betrachten die Ringhomomorphismen

$q\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(n)$

und

$q\colon C\longrightarrow C/N=\mathbb {R} ,$

wobei ${}C$ den Ring der rationalen Cauchy-Folgen und ${}N$ das Ideal der Nullfolgen bezeichnet. Zeige, dass es jeweils (über kanonische Repräsentanten) eine natürliche Abbildung ${}s$ in die andere Richtung mit

${}q\circ s=\operatorname {Id} \,$

gibt, die aber kein Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}M$ die Menge der wachsenden Folgen in ${}K_{\geq 0}$. Zeige, dass ${}M$ mit der gliedweisen Addition und Multiplikation ein kommutativer Halbring ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ rationale Cauchy-Folgen. Zeige, dass in ${}\mathbb {R} =C/N$ die Ordnungsbeziehung

${}[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\geq [{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\,$

genau dann gilt, wenn es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\geq n_{0}$ gilt.

Aufgabe

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ rationale Cauchy-Folgen. Zeige, dass in ${}\mathbb {R} =C/N$ die Ordnungsbeziehung

${}[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\geq [{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\,$

genau dann gilt, wenn es unendlich viele ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ gibt.

Aufgabe

Wir betrachten die Folge ${}{\sqrt {\frac {1}{n}}}$ in ${}\mathbb {R}$. Jedes Folgenglied sei selbst durch die Heron-Folge ${}x_{ni},i\in \mathbb {N}$, mit dem Startwert ${}x_{n0}=1$ repräsentiert. Bestimme die Diagonalfolgenglieder ${}y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$ im Sinne von Satz 46.9.

Aufgabe

Es sei ${}u_{n}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$ mit dem Startwert ${}u_{0}=1$, also ${}u_{1}=3$, ${}u_{2}={\frac {7}{3}}$, ${}u_{3}={\frac {47}{21}}$, ... Wir betrachten die reelle Folge

${}z_{n}:={\sqrt {u_{n}}}\,.$

Zu jedem ${}n$ sei ${}x_{ni},\,i\in \mathbb {N}$, die Heron-Folge zur Berechnung von ${}z_{n}={\sqrt {u_{n}}}$ mit dem Startwert ${}x_{n0}=1$. Bestimme die Diagonalfolgenglieder ${}y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$ im Sinne von Satz 46.9. Zeige, dass ${}z_{n}$ eine Cauchy-Folge ist und bestimme den Grenzwert.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge von reellen Zahlen. Zeige, dass man die ${}z_{n}$ durch rationale Cauchy-Folgen ${}x_{ni},\,i\in \mathbb {N}$, derart repräsentieren kann, dass die Diagonalfolge

${}y_{n}:=x_{nn}\,$

(siehe Satz 46.9)

1. in ${}\mathbb {R}$ nicht konvergiert,
2. in ${}\mathbb {R}$ konvergiert, aber nicht gegen den Grenzwert von ${}z_{n}$,
3. in ${}\mathbb {R}$ konvergiert, und zwar gegen den Grenzwert von ${}z_{n}$.

Aufgabe

Es sei ${}M$ die Menge aller reellen konvergenten Folgen und

$\Psi \colon M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\longmapsto {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)},$

die Abbildung, die einer konvergenten Folge ihren Grenzwert zuordnet. Warum ist dies eine (wohldefinierte) Abbildung? Ist ${}\Psi$ injektiv? Ist ${}\Psi$ surjektiv?

Aufgabe

Bestimme für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ den Kern des Potenzierens

$\mathbb {R} ^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} ^{\times },\,z\longmapsto z^{n}.$

Aufgabe

Gibt es Gruppenhomomorphismen

$(\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} ,+,0),$

die nicht ${}\mathbb {R}$-linear sind?

Aufgabe *

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {Q}$ gibt.

Aufgabe

Es seien ${}K\subseteq L$ archimedisch angeordnete Körper. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in K$ eine in ${}K$ konvergente Folge. Zeige, dass diese Folge auch in ${}L$ konvergiert.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$, die in einem größeren angeordneten Körper

${}K\subseteq L\,$

nicht konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass das reelle Einheitsintervall ${}[0,1]$ unendlich viele irrationale Zahlen enthält.

Aufgabe

Zeige, dass jedes reelle Intervall mit positiver Intervalllänge unendlich viele irrationale Zahlen enthält.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {Q}$. Zeige, dass jede Teilfolge davon das gleiche Element im Cauchy-Folgen-Modell definiert.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, bei dem eine Teilmenge ${}P\subseteq K$ ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.

1. Für ${}x\in K$ ist entweder ${}x\in P$ oder ${}-x\in P$ oder ${}x=0$.
2. Aus ${}x,y\in P$ folgt ${}x+y\in P$.
3. Aus ${}x,y\in P$ folgt ${}x\cdot y\in P$.

Zeige, dass durch die Festlegung

$x\geq y{\text{ genau dann, wenn }}x=y{\text{ oder }}x-y\in P$

ein angeordneter Körper entsteht.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Menge aller beschränkten Folgen in ${}K$ (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Folge ${}z_{n}={\sqrt {\frac {n+1}{n}}}$ in ${}\mathbb {R}$. Jedes Folgenglied sei selbst durch die Heron-Folge ${}x_{ni},i\in \mathbb {N} _{+}$, mit dem Startwert ${}x_{n0}=1$ repräsentiert. Bestimme die Diagonalfolgenglieder ${}y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$ im Sinne von Satz 46.9.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K^{\mathbb {N} }$ der zugehörige Folgenring. Es sei ${}I\subseteq K^{\mathbb {N} }$ die Menge aller Folgen über ${}K$, bei denen nur endlich viele Glieder von ${}0$ verschieden sind.

1. Zeige, dass ${}I$ ein Ideal in ${}K^{\mathbb {N} }$ ist.
2. Zeige, dass der Restklassenring ${}K^{\mathbb {N} }/I$ kein Körper ist.