Kurs:Körper- und Galoistheorie/9/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 0 0 6 1 3 3 3 0 7 0 7 0 0 4 1 0 3 44




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine quadratische Körpererweiterung.
  2. Ein Integritätsbereich.
  3. Die formale Ableitung eines Polynoms .
  4. Der Exponent zu einer endlichen Gruppe .
  5. Eine einfache Körpererweiterung .
  6. Der Fixkörper zu einer Untergruppe der Automorphismengruppe eines Körpers .


Lösung

  1. Eine Körpererweiterung vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.
  2. Ein kommutativer, nullteilerfreier, von null verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
  3. Zu einem Polynom heißt das Polynom

    die formale Ableitung von .

  4. Der Exponent von ist die kleinste positive Zahl mit der Eigenschaft, dass für alle ist.
  5. Die Körpererweiterung , heißt einfach, wenn es ein Element mit

    gibt.

  6. Der Fixkörper zu ist


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Zerlegungssatz für Polynome über einem Körper .
  2. Der Satz über die Charakterisierung von separablen Polynomen.
  3. Der Satz über die Wohldefiniertheit des Transzendenzgrades.


Lösung

  1. sei . Dann gibt es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung

    mit und irreduziblen normierten Polynomen

    , .
  2. Es sei ein Körper und sei ein Polynom. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
    1. ist separabel.
    2. Es gibt eine Körpererweiterung derart, dass über in einfache Linearfaktoren zerfällt.
    3. und die Ableitung sind teilerfremd.
    4. und die Ableitung erzeugen das Einheitsideal.
  3. Es sei ein Grundkörper und eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis. Dann besitzt jede Transzendenzbasis von über gleich viele Elemente.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .


Lösung

Wir setzen und . Es sei eine -Basis von und eine -Basis von . Wir behaupten, dass die Produkte

eine -Basis von

bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum über aufspannen. Sei dazu . Wir schreiben

Wir können jedes als

 mit Koeffizienten ausdrücken. Das ergibt

Daher ist eine -Linearkombination der Produkte .
Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei

angenommen mit . Wir schreiben dies als . Da die linear unabhängig über sind und die Koeffizienten der zu gehören folgt, dass ist für jedes . Da die linear unabhängig über sind und ist folgt, dass ist für alle .


Aufgabe (1 Punkt)

Sei eine Gruppe und sei eine Untergruppe des Zentrums von . Zeige, dass ein Normalteiler in ist.


Lösung

Sei und die Linksnebenklasse von . Ein Element daraus hat die Form mit

und daher ist

D.h. die Linksnebenklassen stimmen mit den Rechtsnebenklassen überein.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in das Inverse von ( bezeichnet die Restklasse von ).


Lösung

Wir machen Division mit Rest von durch . Das ergibt

Also ist

und daher ist das Inverse von gegeben durch


Aufgabe (3 Punkte)

Das Polynom ist irreduzibel und definiert daher eine Körpererweiterung

vom Grad . Die Restklasse von in sei mit bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus

und

Nullstellen von sind.


Lösung

Dies beruht unter Verwendung von

auf den Rechnungen

und


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Primzahl, mit und sei der Körper mit Elementen und der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring zu einem Ideal endlich ist.


Lösung

Sei ein Ideal. Der Polynomring über einem Körper ist ein Hauptidealbereich, daher ist mit einem Polynom . Man kann annehmen, dass normiert ist, dass also der Leitkoeffizient ist. Dann ist

Dies bedeutet, dass man im Restklassenring die Potenz durch kleinere Potenzen ausdrücken kann. Iterativ kann man dann überhaupt jede Potenz durch Polynome vom Grad ausdrücken, d.h. die Potenzen bilden ein -Erzeugendensystem (sogar eine Basis) dieser -Algebra. Damit liegt ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper vor, und dieser hat nur endlich viele Elemente.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (7 (3+1+3) Punkte)

Es sei die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Körpererweiterung

  1. Bestimme das Minimalpolynom von .
  2. Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung gleich ist.
  3. Zeige, dass die komplexe Konjugation nicht in überführt.


Lösung

  1. Es ist

    Daher annulliert das Element. Als Minimalpolynom kommt nur ein Teiler (mit rationalen Koeffizienten) dieses Polynoms in Frage. Die andern komplexen Nullstellen dieses Polynoms sind und . Die Faktorzerlegung dieses Polynoms über ist daher

    Die echten Teiler des Polynoms, die den mittleren Linearfaktor als Faktor enthalten, sind

    und

    die beide keine rationalen Koeffizienten besitzen. Also ist das Minimalpolynom.

  2. Der Grad der Körpererweiterung ist , da nach Satz 7.11 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) die Isomorphie

    gilt und somit der Grad vorliegt.

  3. Die konjugiert-komplexe Zahl zu ist und somit ist die konjugiert-komplexe Zahl von gleich . Wir behaupten, dass diese Zahl nicht zu gehört. Nehmen wir an, sie würde doch dazugehören. Dann ist auch

    und somit würde auch gelten. Es ist aber

    da der Durchschnitt ein Zwischenkörper ist, dessen Grad ein Teiler des Gesamtgrades sein muss. Wegen ist aber der Grad ausgeschlossen und der Grad muss sein. Dies ist ein Widerspruch, da reell, aber nicht rational ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz von Artin über Fixkörper.


Lösung

 Nehmen wir an, dass ist. Wir können annehmen, dass endlich über ist, da wir durch einen (über endlichen) Zwischenkörper der Form mit beliebig hohem Grad ersetzen können. Nach Lemma 16.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist die Körpererweiterung separabel und nach dem Satz vom primitiven Element kann man schreiben. Dabei ist der Grad des Minimalpolynoms von gleich dem Grad der Körpererweiterung, so dass sich ein Widerspruch zu Lemma 16.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ergibt. Also ist eine endliche Körpererweiterung mit . Nach Satz 14.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) muss hierbei Gleichheit gelten. Die Inklusion ist trivial. Da nach Satz 14.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) schon die maximal mögliche Anzahl von -Automorphismen enthält, gilt hier Gleichheit.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein irreduzibles Polynom vom Grad an, das in genau zwei reelle Nullstellen hat und dessen Galoisgruppe nicht die ist.


Lösung

Wir betrachten das Polynom

das nach dem Lemma von Eisenstein irreduzibel ist. Es ist

woraus ersichtlich ist, dass es genau zwei reelle Nullstellen gibt. Wir betrachten die Körperkette

Dabei ist der Zerfällungskörper des Polynoms, da die vier Nullstellen enthält. Die Grade in der Körperkette sind aber und , so dass die Gesamterweiterung den Grad besitzt. Die hat aber Elemente.


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei

eine quadratische Gleichung mit . Zeige, dass die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden

und des Kreises

die Lösungen der quadratischen Gleichung sind.


Lösung

Es sei ein Schnittpunkt der Geraden und des Kreises. Dann ist

Nach dem Satz von Vieta (genauer der Umkehrung) sind und die Lösungen der quadratischen Gleichung.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen nicht möglich ist.


Lösung

Es genügt, einen (konstruierbaren) Winkel derart anzugeben, dass nicht konstruierbar ist. Wir betrachten Grad, welcher konstruierbar ist, da die dritten Einheitswurzeln konstruierbar sind, weil sie nämlich in einer quadratischen Körpererweiterung von liegen. Dagegen ist der Winkel nicht konstruierbar, da andernfalls das regelmäßige -Eck konstruierbar wäre, was nach Korollar 27.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) aber nicht der Fall ist.