Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 19/kontrolle

In dieser Vorlesung möchten wir zunächst nachweisen, dass es sich bei einem Kreisteilungskörper über $\mathbb{Q}$ um eine Galoiserweiterung handelt, deren Galoisgruppe abelsch ist und eine Struktur besitzt, die unmittelbar mit den Einheitswurzeln zusammenhängt.

Kreisteilungskörper als Galoiserweiterung

Wir kommen nun zur Galoiseigenschaft der Kreisteilungskörper über $\mathbb{Q}$.

Satz Satz 19.1 ändern

Es sei $K_n$ der $n$-te Kreisteilungskörper.

Dann ist  $\mathbb{Q}\subseteq K_n$  eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe

$\mathrm{Gal}(K_n/\mathbb{Q})\cong {(\mathbb{Z}/(n))}^{\times }.$

Dabei entspricht der Einheit  $a\in {(\mathbb{Z}/(n))}^{\times }$  derjenige Automorphismus  ${\phi }_a\in \mathrm{Gal}(K_n/\mathbb{Q})$,  der eine $n$-te Einheitswurzel $\zeta$ auf ${\zeta }^a$ abbildet.

Beweis

Nach Korollar 18.11 ist

$K_n=\mathbb{Q}[X]/({\mathrm{\Phi }}_n),$

wobei ${\mathrm{\Phi }}_n$ das $n$-te Kreisteilungspolynom ist. Dieses ist das Produkt  ${\mathrm{\Phi }}_n=\prod _{i=1}^{\phi \left(n\right)}(X-z_i)$  über alle primitiven Einheitswurzeln und damit vom Grad $\phi \left(n\right)$. Da der Kreisteilungskörper all diese primitiven Einheitswurzeln enthält, zerfällt das Kreisteilungspolynom über $K_n$ in Linearfaktoren und daher ist $K_n$ der Zerfällungskörper des Kreisteilungspolynoms und somit nach Satz 15.6 eine Galoiserweiterung.

Es sei nun $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, und zwar diejenige, die bei der obigen Restklassenidentifizierung der Variablen $X$ entspricht. Zu $a\in {(\mathbb{Z}/(n))}^{\times }$ ist ${\zeta }^a$ ebenfalls eine primitive Einheitswurzel. Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus

$\mathbb{Q}[X]⟶\mathbb{Q}[X]/({\mathrm{\Phi }}_n),X⟼{\zeta }^a.$

Dieser ist surjektiv, da ${\zeta }^a$ den Kreisteilungskörper erzeugt. Wegen  ${\mathrm{\Phi }}_n\left({\zeta }^a\right)=0$  induziert dies einen Automorphismus

$\mathbb{Q}[X]/({\mathrm{\Phi }}_n)⟶\mathbb{Q}[X]/({\mathrm{\Phi }}_n),\zeta ⟼{\zeta }^a.$

Dadurch erhalten wir eine Zuordnung

$(\mathbb{Z}/(n){)}^{\times }⟶\mathrm{Gal}(K_n/\mathbb{Q}),a⟼{\phi }_a.$

Für $a,a^{\prime }\in {(\mathbb{Z}/(n))}^{\times }$ ist

${\phi }_{a{a}^{\prime }}(\zeta )={\zeta }^{a{a}^{\prime }}={\left({\zeta }^{a^{\prime }}\right)}^a={\phi }_a\left({\zeta }^{a^{\prime }}\right)={\phi }_a({\phi }_{a^{\prime }}(\zeta ))=({\phi }_a\circ {\phi }_{a^{\prime }})(\zeta ),$

sodass  ${\phi }_{a{a}^{\prime }}={\phi }_a\circ {\phi }_{a^{\prime }}$  gilt (da die Automorphismen auf dem Erzeuger $\zeta$ festgelegt sind). Die Zuordnung ist also ein Gruppenhomomorphismus. Für verschiedene Einheiten  $a\ne a^{\prime }$  ist  ${\zeta }^a\ne {\zeta }^{a^{\prime }}$  und somit  ${\phi }_a\ne {\phi }_{a^{\prime }}$.  Die Abbildung ist also injektiv. Da es links und rechts $\phi \left(n\right)$ Elemente gibt, ist die Abbildung eine Bijektion.

$◻$

Beispiel Referenznummer erstellen

Wir betrachten den achten Kreisteilungskörper $K_8$. Die Einheitengruppe $(\mathbb{Z}/(8){)}^{\times }$ ist $\{1,3,5,7\}$, wobei $3,5,7$ die Ordnung $2$ besitzen. Die nach Satz 19.1 zugehörigen Körperautomorphismen sind neben der Identität die Abbildungen ${\phi }_3,{\phi }_5,{\phi }_7$, die auf den Einheitswurzeln ($\zeta$ sei eine primitive achte Einheitswurzel) folgendermaßen wirken.

${\phi }_3:\zeta ⟷{\zeta }^3,{\zeta }^2=\mathrm{i}⟷{\zeta }^6=-\mathrm{i},{\zeta }^5⟷{\zeta }^7,$

${\phi }_5:\zeta ⟷{\zeta }^5,\mathrm{i}={\zeta }^2⟷{\zeta }^{10}=\mathrm{i},{\zeta }^3⟷{\zeta }^7,-\mathrm{i}⟷-\mathrm{i},$

und

${\phi }_7:\zeta ⟷{\zeta }^7,\mathrm{i}={\zeta }^2⟷{\zeta }^{14}=-\mathrm{i},{\zeta }^3⟷{\zeta }^5.$

Korollar Referenznummer erstellen

Zu jeder endlichen abelschen Gruppe $G$

gibt es eine endliche Galoiserweiterung  $\mathbb{Q}\subseteq L$,  deren Galoisgruppe gleich $G$ ist.

Beweis

Nach Fakt ***** lässt sich $G$ als Restklassengruppe einer Einheitengruppe ${(\mathbb{Z}/(n))}^{\times }$ auffassen. Es sei

$q:{(\mathbb{Z}/(n))}^{\times }⟶G$

der zugehörige surjektive Restklassenhomomorphismus und $H$ der Kern davon. Nach Satz 19.1 ist ${(\mathbb{Z}/(n))}^{\times }$ die Galoisgruppe der $n$-ten Kreisteilungserweiterung  $\mathbb{Q}\subseteq K_n$.  Es sei  $M\subseteq K_n$  der Fixkörper zu $H$. Nach Satz 16.4 ist  $\mathbb{Q}\subseteq M$  eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$.

$◻$

Es ist ein offenes Problem, ob jede endliche Gruppe als Galoisgruppe einer Galoiserweiterung von $\mathbb{Q}$ auftritt. Diese Fragestellung gehört zur sogenannten inversen Galoistheorie.

Galoiseigenschaften des Kompositums

Wir betrachten eine wichtige Konstruktion, das sogenannte Kompositum.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und seien  $K\subseteq M_1,M_2\subseteq L$  zwei Zwischenkörper. Dann nennt man den von $M_1$ und $M_2$ erzeugten Unterkörper das Kompositum der beiden Körper (in $L$). Es wird mit $M_1{M}_2$ bezeichnet.

Lemma Lemma 19.5 ändern

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche separable Körpererweiterung und sei  $K\subseteq K^{\prime }$  eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das Kompositum  $L^{\prime }=L{K}^{\prime }$  gebildet sei.

Dann ist  $K^{\prime }\subseteq L^{\prime }$  ebenfalls eine endliche separable Körpererweiterung.

Beweis

Es sei  $K\subseteq L=K[x_1,\dots ,x_n]$  separabel, und seien $F_i\in K[X]$ die zu $x_i$ gehörigen (separablen) Minimalpolynome. Dann ist  $L^{\prime }=K^{\prime }[x_1,\dots ,x_n]$  und die Minimalpolynome $G_i$ der $x_i$ über $K^{\prime }$ sind in $K^{\prime }[X]$ Teiler der $F_i$ und daher selbst separabel. Nach Satz 12.7 ist  $K^{\prime }\subseteq L^{\prime }$  eine separable Körpererweiterung.

$◻$

Lemma Lemma 19.6 ändern

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche normale Körpererweiterung und sei  $K\subseteq K^{\prime }$  eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das Kompositum  $L^{\prime }=L{K}^{\prime }$  gebildet sei.

Dann ist  $K^{\prime }\subseteq L^{\prime }$  ebenfalls eine normale Körpererweiterung.

Beweis

Wir können  $L=K[x_1,\dots ,x_n]$  schreiben, und wir wissen, dass es zugehörige Polynome  $F_i\in K[X]$  mit  $F_i(x_i)=0$  gibt, die über $L$ zerfallen. Daher ist  $L^{\prime }=K^{\prime }[x_1,\dots ,x_n]$  und dieselben Polynome, aufgefasst in $K^{\prime }[X]$, erfüllen die gleichen Eigenschaften. Aus Satz 14.3  (3) ergibt sich die Normalität.

$◻$

Aus diesen beiden Lemmata ergibt sich der folgende Satz, der für die Charakterisierung der auflösbaren Körpererweiterungen wichtig ist.

Satz Satz 19.7 ändern

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Galoiserweiterung und sei  $K\subseteq K^{\prime }$  eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das Kompositum  $L^{\prime }=L{K}^{\prime }$  gebildet sei.

Dann ist  $K^{\prime }\subseteq L^{\prime }$  ebenfalls eine endliche Galoiserweiterung, und für ihre Galoisgruppe gilt die natürliche Isomorphie

$\mathrm{Gal}(L^{\prime }/K^{\prime })\cong \mathrm{Gal}(L/L\cap K^{\prime }).$

Beweis

Die Erweiterung  $K^{\prime }\subseteq L^{\prime }$  ist normal nach Lemma 19.6 und separabel nach Lemma 19.5, also eine Galoiserweiterung aufgrund von Satz 15.6.
Zur Berechnung der Galoisgruppe gehen wir von der Einschränkungsabbildung

$\mathrm{\Psi }:\mathrm{Gal}(L^{\prime }/K^{\prime })⟶\mathrm{Gal}(L/K),\phi ⟼\phi {|}_L,$

aus, die wegen der Normalität von  $K\subseteq L$  nach Satz 14.3  (4) ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist. Es sei $\phi \in \mathrm{Gal}(L^{\prime }/K^{\prime })$ ein Automorphismus, dessen Bild unter diesem Homomorphismus trivial sei, also  $\phi {|}_L={\mathrm{Id}}_L$.  Da auch  $\phi {|}_{K^{\prime }}={\mathrm{Id}}_{K^{\prime }}$  gilt, ist $\phi$ auf dem Kompositum  $L^{\prime }=L{K}^{\prime }$  die Identität, also das neutrale Element. Daher ist $\mathrm{\Psi }$ nach dem Kernkriterium injektiv.
Das Bild von $\mathrm{\Psi }$ ist eine Untergruppe  $H=\mathrm{bild}\mathrm{\Psi }\subseteq \mathrm{Gal}(L/K)$.  Aufgrund der Galoiskorrespondenz gibt es einen Zwischenkörper $Z$, $K\subseteq Z\subseteq L$, mit  $H=\mathrm{Gal}(L/Z)$,  und zwar ist $Z$ der Fixkörper von $H$. Es liegt also insgesamt die Situation

$\mathrm{Gal}(L^{\prime }/K^{\prime })\stackrel{\cong }{⟶}\mathrm{bild}\mathrm{\Psi }=H=\mathrm{Gal}(L/Z)\subseteq \mathrm{Gal}(L/K)$

vor. Wir behaupten  $L\cap K^{\prime }=Z$.  Für jedes $\phi \in \mathrm{Gal}(L^{\prime }/K^{\prime })$ ist  $\phi {|}_{K^{\prime }}={\mathrm{Id}}_{K^{\prime }}$,  und daher ist auch  $(\phi {|}_L){|}_{L\cap K^{\prime }}={\mathrm{Id}}_{L\cap K^{\prime }}$.  Also ist  $L\cap K^{\prime }\subseteq Z$.  Wenn $x\in Z$ ist, so bedeutet dies, dass für jedes $\phi \in \mathrm{Gal}(L^{\prime }/K^{\prime })$ die Gleichheit  $(\phi {|}_L)(x)=x$  gilt. Dann ist aber $x\in K^{\prime }$ nach Satz 15.6, da  $K^{\prime }\subseteq L^{\prime }$  eine Galoiserweiterung ist. Somit ist $x\in L\cap K^{\prime }$. Insgesamt ist also

$\mathrm{Gal}(L^{\prime }/K^{\prime })\cong \mathrm{bild}\mathrm{\Psi }=\mathrm{Gal}(L/L\cap K^{\prime }).$

$◻$

<< | Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011) | >> PDF-Version dieser Vorlesung Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)