Kurs:Lineare Algebra/Teil II/16/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	2	3	2	0	4	0	2	6	6	3	0	0	3	3	46

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Norm zu einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}\mathbb {R}$- Vektorraum ${}V$.
2. Eine winkeltreue Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

3. Die Mittelsenkrechte zur Strecke zwischen den beiden Punkten ${}A\neq B$ in einer euklidischen Ebene.
4. Ein selbstadjungierter Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

5. Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
6. Ein stabiler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Zu einem Vektor ${}v\in V$ nennt man

   ${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$

   die Norm von ${}v$.

2. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren ${}v,w\in V$ die Beziehung

   ${}\angle (\varphi (v),\varphi (w))=\angle (v,w)\,$

   gilt.

3. Zu den beiden Punkten ${}A\neq B$ nennt man die Gerade, die senkrecht auf der durch ${}A$ und ${}B$ gegebenen Gerade steht und durch den Mittelpunkt der Strecke zwischen ${}A$ und ${}B$ verläuft, die Mittelsenkrechte der Strecke.
4. Der Endomorphismus ${}\varphi$ heißt selbstadjungiert, wenn

   ${}\left\langle \varphi (u),v\right\rangle =\left\langle u,\varphi (v)\right\rangle \,$

   für alle ${}u,v\in V$ gilt.

5. Eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus ${}T$ aus dieser Klasse gibt.
6. Der Endomorphismus ${}\varphi$ heißt stabil, wenn die Folge ${}\varphi ^{n}$ in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ beschränkt ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
2. Der Satz über die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$.
3. Der Satz über Basen in einem Dachprodukt.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ und es seien ${}G$ bzw. ${}H$ die Gramschen Matrizen von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen

   ${}w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$

   die wir durch die Übergangsmatrix ${}A=(a_{ij})_{i,j}$

   ausdrücken. Dan
2. Die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ sind genau die Teilmengen der Form

   ${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

   mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${}d$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}m$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von ${}V$ und es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Dann bilden die Dachprodukte

   $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$

   eine Basis von ${}\bigwedge ^{n}V$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Es sei ${}v\in V$ ein fixierter Vektor und ${}a\in {\mathbb {K} }$. Zeige, dass

${\left\{u\in V\mid \left\langle u,v\right\rangle =a\right\}}$

ein affiner Unterraum von ${}V$ ist.

Lösung

Zunächst ist

${}U={\left\{u\in V\mid \left\langle u,v\right\rangle =0\right\}}\,$

ein Untervektorraum von ${}V$, da es sich um den Kern der linearen Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,u\longmapsto \left\langle u,v\right\rangle$

handelt. Die besagte Menge ${}{\left\{w\in V\mid \left\langle w,v\right\rangle =a\right\}}$ ist das Urbild von ${}a$ unter ${}\psi$. Bei einer linearen Abbildung gilt stets, dass die Fasern affine Räume über dem Kern sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit der Eigenschaft, dass es einerseits eine Orthogonalbasis des ${}\mathbb {R} ^{2}$ gibt, die unter ${}\varphi$ in eine Orthogonalbasis überführt wird, es andererseits aber auch eine Orthogonalbasis gibt, die unter ${}\varphi$ nicht in eine Orthogonalbasis überführt wird.

Lösung

Wir betrachten die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}$ gegebene lineare Abbildung. Die Standardbasis ${}e_{1},e_{2}$, die eine Orthogonalbasis (sogar Orthonormalbasis) ist, wird auf ${}e_{1},2e_{2}$ abgebildet, was eine Orthogonalbasis ist. Wegen

${}\left\langle e_{1}+e_{2},e_{1}-e_{2}\right\rangle =\left\langle e_{1},e_{1}\right\rangle -\left\langle e_{2},e_{2}\right\rangle =0\,$

ist ${}e_{1}+e_{2},e_{1}-e_{2}$ eine Orthogonalbasis. Die Bildbasis davon ist

$e_{1}+2e_{2},e_{1}-2e_{2},$

was wegen

${}\left\langle e_{1}+2e_{2},e_{1}-2e_{2}\right\rangle =\left\langle e_{1},e_{1}\right\rangle -4\left\langle e_{2},e_{2}\right\rangle =-3\,$

keine Orthogonalbasis ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes.

Lösung

Es ist

${}\Vert {u+v}\Vert ^{2}=\left\langle u+v,u+v\right\rangle =\left\langle u,u\right\rangle +\left\langle u,v\right\rangle +\left\langle v,u\right\rangle +\left\langle v,v\right\rangle =\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Eigenwerte einer Isometrie.

Lösung

Es sei ${}\varphi (v)=\lambda v$ mit ${}v\neq 0$, d.h. ${}v$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$. Wegen der Isometrieeigenschaft gilt

${}\Vert {v}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

Wegen ${}\Vert {v}\Vert \neq 0$ folgt daraus ${}\vert {\lambda }\vert =1$. Im Reellen bedeutet dies ${}\lambda =\pm 1$.

Aufgabe (2 Punkte)

Durch die Punkte ${}A,B,C$ sei ein Dreieck mit den Seitenlängen ${}a,b,c$ und den Winkeln ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ gegeben. Es sei ${}F$ der Flächeninhalt des Dreiecks. Zeige

${}{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {abc}{2F}}\,.$

Lösung

Es sei ${}h$ die Länge der Höhe durch ${}C$. Dann gilt

${}\sin \alpha ={\frac {h}{b}}={\frac {hc}{bc}}={\frac {2F}{bc}}\,,$

woraus sich

${}{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {abc}{2F}}\,$

ergibt.

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle w_{r},w_{s}\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{ir}v_{i},\sum _{k=1}^{n}a_{ks}v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,k\leq n}a_{ir}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(\sum _{1\leq k\leq n}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(G\circ A\right)}_{is}\\&={\left({A^{\text{tr}}}\circ {\left(G\circ A\right)}\right)}_{rs}.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (2 Punkte)

Die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\-7\end{pmatrix}}$ durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}}$ beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?

Lösung

Aus der Matrixdarstellung ist zu entnehmen, dass ${}{\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}3$ und ${}{\begin{pmatrix}6\\-7\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}-2$ ist. Da die Eigenwerte verschieden sind, erzeugen diese Vektoren die einzigen Eigenräume. Wegen

${}\left\langle {\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\-7\end{pmatrix}}\right\rangle =-30-28=-58\neq 0\,$

stehen diese nicht orthogonal aufeinander und daher gibt es keine Orthonormalsbasis aus Eigenvektoren (auch nicht über ${}{\mathbb {C} }$), und ${}\varphi$ ist nicht normal.

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum.

1. Wir betrachten auf ${}V$ die Relation ${}R$, die durch ${}uRv$ gegeben ist, falls es eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ mit ${}\varphi (u)=v$ gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht?
2. Wir betrachten auf ${}V$ die Relation ${}S$, die durch ${}uSv$ gegeben ist, falls es eine bijektive lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ mit ${}\varphi (u)=v$ gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
3. Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation ${}S$ aus (2).

Lösung

1. Die Relation ist reflexiv, da man für ${}\varphi$ die Identität nehmen kann, und sie ist transitiv, da es bei ${}uRv$ und ${}vRw$ lineare Abbildungen ${}\varphi ,\psi$ mit

   ${}\varphi (u)=v\,$

   und

   ${}\psi (v)=w\,$

   gibt. Daher ist insgesamt

   ${}(\psi \circ \varphi )(u)=w\,$

   und somit ${}uRw$. Die Relation ist nicht symmetrisch, da aufgrund der Existenz der Nullabbildung stets ${}xR0$ gilt, aber umgekehrt ${}0Rx$ nur bei ${}x=0$ gilt.

2. Wenn man sich auf bijektive Abbildungen beschränkt, so liegt eine Äquivalenzrelation vor. Die Argumentation für die Reflexivität und die Transititvität ist wie in Teil (1), da ja die Verknüpfung von bijektiven Abbildungen wieder bijektiv ist. Wenn ${}uSv$ gilt, so bedeutet dies die Existenz einer bijektiven linearen Abbildung ${}\varphi$ mit

   ${}\varphi (u)=v\,.$

   Somit ist

   ${}u=\varphi ^{-1}(v)\,$

   und daher ${}vRu$.

3. Es gibt zwei Äquivalenzklassen. Der Nullpunkt ${}0$ ist nur zu sich selbst äquivalent, da unter jeder linearen Abbildung ${}0$ auf sich selbst abgebildet wird. Hingegen sind je zwei Vektoren ${}u,v$, die beide nicht ${}0$ sind, untereinander äquivalent. Man kann sie nämlich jeweils zu einer Basis ${}u_{1}=u,u_{2},\ldots ,u_{n}$ bzw. ${}v_{1}=v,v_{2},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ ergänzen. Aufgrund des Festlegungssatzes gibt es eine lineare Abbildung mit ${}\varphi (u_{i})=v_{i}$, also insbesondere mit ${}\varphi (u)=v$, und diese ist bijektiv, da sie eine Basis auf eine Basis abbildet.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.

Lösung

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element ${}u\in Q$ gibt es mindestens ein ${}g\in G$ mit ${}\psi (g)=u$. Wegen der Kommutativität des Diagramms muss

${}{\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (g)\,$

gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${}{\tilde {\varphi }}$ geben kann.
Wir müssen zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also ${}g,g'\in G$ zwei Urbilder von ${}u$. Dann ist

${}\psi {\left(g'g^{-1}\right)}=uu^{-1}=e_{Q}\,$

und somit ist ${}g'g^{-1}\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Daher ist ${}\varphi (g)=\varphi (g')$. Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien ${}u,v\in Q$ und seien ${}g,h\in G$ Urbilder davon. Dann ist ${}gh$ ein Urbild von ${}uv$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(uv)=\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)={\tilde {\varphi }}(u){\tilde {\varphi }}(v)\,.$

D.h. ${}{\tilde {\varphi }}$ ist ein Gruppenhomomorphismus.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}\mathbb {Z} /(m)$ und ${}\mathbb {Z} /(n)$ zyklische Gruppen und ${}G=\mathbb {Z} /(m)\times \mathbb {Z} /(n)$ ihre Produktgruppe. Zeige, dass sich ${}G$ als Untergruppe von ${}\operatorname {SO} _{4}\,(\mathbb {R} )$ realisieren lässt.

Lösung

Es sei

${}\alpha ={\frac {2\pi }{m}}\,$

und

${}\beta ={\frac {2\pi }{n}}\,.$

Dann ist

${\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{pmatrix}},k=0,\ldots ,m-1,$

eine zyklische Untergruppe der Ordnung ${}m$ von ${}\operatorname {SO} _{2}$ und ebenso

${\begin{pmatrix}\cos \ell \beta &-\sin \ell \beta \\\sin \ell \beta &\cos \ell \beta \end{pmatrix}},\ell =0,\ldots ,n-1,$

eine zyklische Untergruppe der Ordnung ${}n$ von ${}\operatorname {SO} _{2}$. Daher ist insgesamt

${\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha &0&0\\\sin k\alpha &\cos k\alpha &0&0\\0&0&\cos \ell \beta &-\sin \ell \beta \\0&0&\sin \ell \beta &\cos \ell \beta \end{pmatrix}},k=0,\ldots ,m-1,\ell =0,\ldots ,n-1,$

eine Realisierung von ${}\mathbb {Z} /(m)\times \mathbb {Z} /(n)$ als Untergruppe von ${}\operatorname {SO} _{4}$.

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Eigenverteilung zur spaltenstochastischen Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {2}{3}}&0\\{\frac {1}{6}}&0&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}.$

Lösung

Wir berechnen den Kern von

${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {2}{3}}&0\\{\frac {1}{6}}&0&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&0\\-{\frac {1}{6}}&0&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}\,.$

Dieser wird von ${}{\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt und die stationäre Verteilung ist

${}{\begin{pmatrix}{\frac {2}{6}}\\{\frac {3}{6}}\\{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne in ${}\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}6\\-7\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-7\\3\\-3\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\begin{pmatrix}6\\-7\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-7\\3\\-3\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}}\\&={\left(6e_{1}-7e_{2}\right)}\otimes {\left(-7e_{1}+3e_{2}-3e_{3}\right)}\otimes {\left(-5e_{1}+4e_{2}\right)}\\&=210e_{1}\otimes e_{1}\otimes e_{1}-168e_{1}\otimes e_{1}\otimes e_{2}-90e_{1}\otimes e_{2}\otimes e_{1}+72e_{1}\otimes e_{2}\otimes e_{2}+90e_{1}\otimes e_{3}\otimes e_{1}-72e_{1}\otimes e_{3}\otimes e_{2}\\&\,-245e_{2}\otimes e_{1}\otimes e_{1}+196e_{2}\otimes e_{1}\otimes e_{2}+105e_{2}\otimes e_{2}\otimes e_{1}-84e_{2}\otimes e_{2}\otimes e_{2}-105e_{2}\otimes e_{3}\otimes e_{1}+84e_{2}\otimes e_{3}\otimes e_{2}.\,\end{aligned}}$