Kurs:Lineare Algebra/Teil II/16/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 3 2 2 0 4 0 2 6 6 3 0 0 3 40




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Norm zu einem Skalarprodukt auf einem -Vektorraum .
  2. Eine winkeltreue Abbildung

    auf einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt.

  3. Ein selbstadjungierter Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.

  4. Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  5. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  6. Ein stabiler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Zu einem Vektor nennt man

    die Norm von .

  2. Eine lineare Abbildung

    heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren die Beziehung

    gilt.

  3. Der Endomorphismus heißt selbstadjungiert, wenn

    für alle gilt.

  4. Eine Teilmenge heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus aus dieser Klasse gibt.
  5. Die Abbildung heißt stetig in , wenn für jedes ein derart existiert, dass

    gilt.

  6. Der Endomorphismus heißt stabil, wenn die Folge in beschränkt ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
  2. Der Satz über die Untergruppen von .
  3. Der Satz über Basen in einem Dachprodukt.


Lösung

  1. Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine Bilinearform auf . Es seien und zwei Basen von und es seien bzw. die Gramschen Matrizen von bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen

    die wir durch die Übergangsmatrix

    ausdrücken. Dan
  2. Die Untergruppen von sind genau die Teilmengen der Form
    mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl .
  3. Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension . Es sei eine Basis von und es sei . Dann bilden die Dachprodukte
    eine Basis von .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Es sei ein fixierter Vektor und . Zeige, dass

ein affiner Unterraum von ist.


Lösung

Zunächst ist

ein Untervektorraum von , da es sich um den Kern der linearen Abbildung

handelt. Die besagte Menge ist das Urbild von unter . Bei einer linearen Abbildung gilt stets, dass die Fasern affine Räume über dem Kern sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

mit der Eigenschaft, dass es einerseits eine Orthogonalbasis des gibt, die unter in eine Orthogonalbasis überführt wird, es andererseits aber auch eine Orthogonalbasis gibt, die unter nicht in eine Orthogonalbasis überführt wird.


Lösung

Wir betrachten die durch die Matrix gegebene lineare Abbildung. Die Standardbasis , die eine Orthogonalbasis (sogar Orthonormalbasis) ist, wird auf abgebildet, was eine Orthogonalbasis ist. Wegen

ist eine Orthogonalbasis. Die Bildbasis davon ist

was wegen

keine Orthogonalbasis ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes.


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Durch die Punkte sei ein Dreieck mit den Seitenlängen und den Winkeln gegeben. Es sei der Flächeninhalt des Dreiecks. Zeige


Lösung

Es sei die Länge der Höhe durch . Dann gilt

woraus sich

ergibt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.


Lösung

Es ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Die lineare Abbildung werde bezüglich der Basis durch die Matrix beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?


Lösung

Aus der Matrixdarstellung ist zu entnehmen, dass ein Eigenvektor zum Eigenwert und ein Eigenvektor zum Eigenwert ist. Da die Eigenwerte verschieden sind, erzeugen diese Vektoren die einzigen Eigenräume. Wegen

stehen diese nicht orthogonal aufeinander und daher gibt es keine Orthonormalsbasis aus Eigenvektoren (auch nicht über ), und ist nicht normal.


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum.

  1. Wir betrachten auf die Relation , die durch gegeben ist, falls es eine lineare Abbildung mit gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht?
  2. Wir betrachten auf die Relation , die durch gegeben ist, falls es eine bijektive lineare Abbildung mit gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
  3. Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation aus (2).


Lösung

  1. Die Relation ist reflexiv, da man für die Identität nehmen kann, und sie ist transitiv, da es bei und lineare Abbildungen mit

    und

    gibt. Daher ist insgesamt

    und somit . Die Relation ist nicht symmetrisch, da aufgrund der Existenz der Nullabbildung stets gilt, aber umgekehrt nur bei gilt.

  2. Wenn man sich auf bijektive Abbildungen beschränkt, so liegt eine Äquivalenzrelation vor. Die Argumentation für die Reflexivität und die Transititvität ist wie in Teil (1), da ja die Verknüpfung von bijektiven Abbildungen wieder bijektiv ist. Wenn gilt, so bedeutet dies die Existenz einer bijektiven linearen Abbildung mit

    Somit ist

    und daher .

  3. Es gibt zwei Äquivalenzklassen. Der Nullpunkt ist nur zu sich selbst äquivalent, da unter jeder linearen Abbildung auf sich selbst abgebildet wird. Hingegen sind je zwei Vektoren , die beide nicht sind, untereinander äquivalent. Man kann sie nämlich jeweils zu einer Basis bzw. von ergänzen. Aufgrund des Festlegungssatzes gibt es eine lineare Abbildung mit , also insbesondere mit , und diese ist bijektiv, da sie eine Basis auf eine Basis abbildet.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.


Lösung

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element gibt es mindestens ein mit . Wegen der Kommutativität des Diagramms muss

gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein geben kann.
Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Seien also zwei Urbilder von . Dann ist

und somit ist . Daher ist . Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien und seien Urbilder davon. Dann ist ein Urbild von und daher ist

D.h. ist ein Gruppenhomomorphismus.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und zyklische Gruppen und ihre Produktgruppe. Zeige, dass sich als Untergruppe von realisieren lässt.


Lösung

Es sei

und

Dann ist

eine zyklische Untergruppe der Ordnung von und ebenso

eine zyklische Untergruppe der Ordnung von . Daher ist insgesamt

eine Realisierung von als Untergruppe von .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Eigenverteilung zur spaltenstochastischen Matrix


Lösung

Wir berechnen den Kern von

Dieser wird von erzeugt und die stationäre Verteilung ist