Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 25/kontrolle

Es sei $φ : V \to V$ ein trigonalisierbarer Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$ -Vektorraum $V$ und sei $P \in K [X]$ ein Polynom. Zeige, dass $P (φ)$ ebenfalls trigonalisierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum. Es sei

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung und

φ^{*} : V^{*} ⟶ V^{*}

die duale Abbildung. Zeige, dass $φ$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn $φ^{*}$ trigonalisierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum. Es sei

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Zeige, dass $φ$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn $φ$ bezüglich einer geeigneten Basis durch eine untere Dreiecksmatrix

(\begin{matrix} a_{1} & 0 & \dots & \dots & 0 \\ * & a_{2} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ * & \dots & * & a_{n - 1} & 0 \\ * & \dots & \dots & * & a_{n} \end{matrix})

beschrieben wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige dass die Hintereinanderschaltung von zwei diagonalisierbaren Abbildungen im Allgemeinen nicht trigonalisierbar sein muss.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

Der Nullraum $0 \subseteq V$ ist $φ$ -invariant.
$V$ ist $φ$ -invariant.
Eigenräume sind $φ$ -invariant.
Es seien $U_{1}, U_{2} \subseteq V$ $φ$ -invariante Unterräume. Dann sind auch $U_{1} \cap U_{2}$ und $U_{1} + U_{2}$ $φ$ -invariant.
Es sei $U \subseteq V$ ein $φ$ -invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum $φ (U)$ und der Urbildraum $φ^{- 1} (U)$ $φ$ -invariant.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung und $v \in V$ . Zeige, dass der kleinste $φ$ -invariante Unterraum von $V$ , der $v$ enthält, gleich

⟨ φ^{n} (v), n \in ℕ ⟩

ist.

Aufgabe * Aufgabe 25.12 ändern

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Es sei $U \subseteq V$ ein $φ$ -invarianter Unterraum von $V$ . Zeige, dass zu einem Polynom $P \in K [X]$ der Raum $U$ ebenfalls $P (φ)$ -invariant ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ , bezüglich der die Matrix zur linearen Abbildung

φ : V ⟶ V

eine obere Dreiecksmatrix sei. Zeige, dass die erzeugten Untervektorräume

⟨ v_{1}, \dots, v_{i} ⟩

$φ$ -invariant für jedes $i$ sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $π \in S_{n}$ eine Permutation und $M_{π}$ die zugehörige Permutationsmatrix über einem Körper $K$ . Zu $J \subseteq {1, \dots, n}$ sei

V_{J} = ⟨ e_{j}, j \in J ⟩ \subseteq K^{n} .

a) Zeige, dass $V_{J}$ genau dann $M_{π}$ -invariant ist, wenn $π (J) \subseteq J$ ist.

b) Zeige, dass es $M_{π}$ -invariante Unterräume geben kann, die nicht von der Form $V_{J}$ sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Minimalpolynome der (links oben) Untermatrizen zu

(\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum. Zeige, dass es Fahnen in $V$ gibt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein $n$ -dimensionaler $K$ -Vektorraum über einem Körper $K$ . Es sei

0 = V_{0} \subset V_{1} \subset \dots \subset V_{n - 1} \subset V_{n} = V

eine Fahne in $V$ . Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

φ : V ⟶ V

derart gibt, dass diese Fahne die einzige $φ$ -invariante Fahne ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen und $V$ ein zweidimensionaler $K$ -Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in $V$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ der Körper mit drei Elementen und $V$ ein dreidimensionaler $K$ -Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in $V$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

M = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

eine Matrix über einem Körper $K$ .

a) Zeige, dass es eine zu $M$ ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich $0$ ist.

b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu $M$ ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich $0$ sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

φ : V ⟶ V

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen $K$ -Vektorraum $V$ . Zeige, dass $φ$ genau dann eine Streckung ist, wenn die beschreibende Matrix unabhängig von den gewählten Basen ist.