Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 30/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von $P$ unter der affinen Abbildung $φ$ , die durch $φ (P_{i}) = Q_{i}$ festgelegt ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe * Aufgabe 30.2 ändern

Es sei $E$ ein affiner Raum über einem $K$ -Vektorraum $V$ und es sei

P_{1}, \dots, P_{n}

eine endliche Familie von Punkten aus $E$ . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

Die Punkte $P_{1}, \dots, P_{n}$ sind affin unabhängig.
Für jedes $i \in {1, \dots, n}$ ist die Vektorfamilie
$\vec{P_{i} P_{1}}, \dots, \vec{P_{i} P_{i - 1}}, \vec{P_{i} P_{i + 1}}, \dots, \vec{P_{i} P_{n}}$

linear unabhängig.
Es gibt ein $i \in {1, \dots, n}$ derart, dass die Vektorfamilie
$\vec{P_{i} P_{1}}, \dots, \vec{P_{i} P_{i - 1}}, \vec{P_{i} P_{i + 1}}, \dots, \vec{P_{i} P_{n}}$

linear unabhängig ist.
Die Punkte $P_{1}, \dots, P_{n}$ bilden in dem von ihnen erzeugten affinen Unterraum eine affine Basis.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $E$ ein affiner Raum über einem $K$ -Vektorraum $V$ und es sei $P_{1}, \dots, P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus $E$ . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

Die Punkte bilden eine affine Basis von $E$ .
Die Punkte bilden ein minimales affines Erzeugendensystem von $E$ .
Die Punkte sind maximal affin unabhängig.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $E$ ein affiner Raum über einem $K$ -Vektorraum $V$ und es sei $P_{1}, \dots, P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus $E$ . Zeige, dass diese Punkte genau dann eine affine Basis von $E$ bilden, wenn sie sowohl affin unabhängig sind als auch ein affines Erzeugendensystem von $E$ bilden.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von $P$ unter der affinen Abbildung $φ$ , die durch $φ (P_{i}) = Q_{i}$ festgelegt ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die affine Ebene

E = {(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ - 6 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - 1 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) ∣ s, t \in ℝ}

als Urbild über $1$ einer affinen Abbildung $ψ : ℝ^{3} \to ℝ$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beschreibe die affine Gerade

G = {(\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ 4 \end{matrix}) ∣ s \in ℝ}

als Urbild über $(1, 0)$ einer affinen Abbildung $ψ : ℝ^{3} \to ℝ^{2}$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Polynome $P \in ℝ [X]$ , die eine affin-lineare Abbildung

P : ℝ ⟶ ℝ

definieren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien $E$ und $F$ affine Räume über dem Körper $K$ . Zeige, dass die Projektionen

E \times F ⟶ E

und

E \times F ⟶ F

affine Abbildungen sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien $E$ und $F$ affine Räume über dem Körper $K$ . Zeige, dass die Räume genau dann isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $E$ ein affiner Raum und es sei $P_{1}, \dots, P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus $E$ . Es sei

F = {(a_{1}, \dots, a_{n}) \in K^{n} ∣ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 1} \subset K^{n} .

Zeige, dass durch die Zuordnung

(a_{1}, \dots, a_{n}) ⟼ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} P_{i}

eine wohldefinierte affin-lineare Abbildung von $F$ nach $E$ gegeben ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

φ : E ⟶ F

eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über $K$ . Zeige, dass zu jedem affinen Unterraum $H \subseteq E$ das Bild $φ (H)$ ein affiner Unterraum von $F$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

ψ : E ⟶ E

eine affine Abbildung auf einem affinen Raum $E$ . Zeige, dass der lineare Anteil $ψ_{0}$ genau dann die Identität ist, wenn $ψ$ eine Translation ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$ -Vektorraum $V$ . Zeige, dass die Abbildung, die einer affinen Abbildung

ψ : E ⟶ E

ihren linearen Anteil $ψ_{0}$ zuordnet, folgende Eigenschaften erfüllt.

${({Id}_{E})}_{0} = {Id}_{V},$
$(ψ \circ φ)_{0} = ψ_{0} \circ φ_{0} .$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien $E$ und $F$ affine Räume über dem Körper $K$ , es sei $P_{1}, \dots, P_{n} \in E$ eine affine Basis von $E$ und seien $Q_{1}, \dots, Q_{n} \in F$ Punkte. Es sei

ψ : E ⟶ F

die zugehörige affin-lineare Abbildung mit

ψ (P_{i}) = Q_{i} .

Zeige die folgenden Aussagen.

a) $ψ$ ist genau dann bijektiv, wenn $Q_{1}, \dots, Q_{n}$ eine affine Basis von $F$ ist.

b) $ψ$ ist genau dann injektiv, wenn $Q_{1}, \dots, Q_{n}$ affin unabhängig ist.

c) $ψ$ ist genau dann surjektiv, wenn $Q_{1}, \dots, Q_{n}$ ein affines Erzeugendensystem von $F$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

φ : E ⟶ F

eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über $K$ . Zeige, dass die Urbilder $φ^{- 1} (Q)$ zu allen $Q \in F$ zueinander parallel sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Vergleiche verschiedene Konzepte für Vektorräume und affine Räume einschließlich ihrer Abbildungen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

φ : E ⟶ F

eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über $K$ . Zeige, dass zu jedem affinen Unterraum $G \subseteq F$ das Urbild $φ^{- 1} (G)$ ein affiner Unterraum von $E$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe die affine Ebene

E = {(\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ - 2 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 8 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}) ∣ s, t \in ℝ}

als Urbild über $1$ einer affinen Abbildung $ψ : ℝ^{3} \to ℝ$ .

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $E$ ein affiner Raum der Dimension $n$ und

ψ : E ⟶ E

eine affine Abbildung. Es seien $P_{1}, \dots, P_{n + 1} \in E$ affin unabhängige Punkte, die zugleich Fixpunkte von $ψ$ seien. Zeige, dass $ψ$ die Identität ist.