Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 9
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe
Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren
gegebene Basis im .
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Bestimme die Übergangsmatrix zum identischen Basiswechsel von nach .
Aufgabe
Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren
gegebene Basis im .
Aufgabe
Wir betrachten die Vektorenfamilien
im .
a) Zeige, dass sowohl als auch eine Basis des ist.
b) Es sei derjenige Punkt, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ?
c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von nach beschreibt.
Aufgabe *
Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren
gegebene Basis im .
Aufgabe
Es sei der Vektorraum der Polynome vom Grad mit der Basis . Zeige, dass die Polynome
ebenfalls eine Basis von bilden und bestimme die beiden Übergangsmatrizen.
Aufgabe
Es sei der Vektorraum der - Matrizen mit der Standardbasis
Zeige, dass
ebenfalls eine Basis von ist und bestimme die Übergangsmatrizen.
Aufgabe *
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum der Dimension . Es seien und Basen von . Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung
stehen.
Aufgabe
Es sei ein Körper.
a) Zeige, dass der von
erzeugte Untervektorraum die Dimension besitzt.
b) Bestimme eine Basis und die Dimension des Lösungsraumes der linearen Gleichung
c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts .
d) Bestätige Lemma 9.7 in diesem Beispiel.
Aufgabe
Zeige, dass der Raum der - Matrizen über einem Körper die direkte Summe aus den Spaltenräumen , , ist, wobei der -te Spaltenraum aus denjenigen -Matrizen besteht, die in der -ten Spalte beliebige Einträge und sonst überall den Eintrag besitzen. Man gebe die direkte Summenzerlegung für die -Matrix
an.
Aufgabe
Zeige, dass der Raum der - Matrizen über einem Körper die direkte Summe aus dem Raum der Diagonalmatrizen, dem Raum der oberen Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale und dem Raum der unteren Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale ist.
Aufgabe *
Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume in einem Vektorraum derart, dass ist, dass für ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.
Eine Funktion heißt gerade, wenn für alle die Gleichheit
gilt.
Eine Funktion heißt ungerade, wenn für alle die Gleichheit
gilt.
Aufgabe
Es sei der Vektorraum aller Funktionen von nach . Zeige, dass es eine direkte Summenzerlegung
gibt, wobei den Untervektorraum der geraden Funktionen und den Untervektorraum der ungeraden Funktionen bezeichnet.
Aufgabe
Der Vektorraum sei die direkte Summe der Untervektorräume und . Zeige, dass ein Untervektorraum nicht die direkte Summe der Untervektorräume und sein muss.
Aufgabe
Bestimme ein direktes Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum .
Aufgabe *
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und Untervektorräume gleicher Dimension. Zeige, dass und ein gemeinsames direktes Komplement besitzen.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren
gegebene Basis im .
Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)
Wir betrachten die Vektorenfamilien
im .
a) Zeige, dass sowohl als auch eine Basis des ist.
b) Es sei derjenige Punkt, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ?
c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von nach beschreibt.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum mit einer Basis . Es sei ein Vektor mit einer Darstellung
wobei sei für ein bestimmtes . Es sei
Bestimme die Übergangsmatrizen und .
Aufgabe (8 (2+2+3+1) Punkte)
Es sei ein Körper.
a) Zeige, dass der von
erzeugte Untervektorraum die Dimension besitzt.
b) Bestimme eine Basis und die Dimension des Lösungsraumes der linearen Gleichung
c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts .
d) Bestätige Lemma 9.7 in diesem Beispiel.
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