Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 9

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .




Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrix zum identischen Basiswechsel von nach .


Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien

im .

a) Zeige, dass sowohl als auch eine Basis des ist.

b) Es sei derjenige Punkt, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von nach beschreibt.


Aufgabe *

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe

Es sei der Vektorraum der Polynome vom Grad mit der Basis . Zeige, dass die Polynome

ebenfalls eine Basis von bilden und bestimme die beiden Übergangsmatrizen.


Aufgabe

Es sei der Vektorraum der -Matrizen mit der Standardbasis

Zeige, dass

ebenfalls eine Basis von ist und bestimme die Übergangsmatrizen.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und Basen von . Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

stehen.


Aufgabe

Sei ein Körper.

a) Zeige, dass der von

erzeugte Untervektorraum die Dimension besitzt.

b) Bestimme eine Basis und die Dimension des Lösungsraumes der linearen Gleichung

c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts .

d) Bestätige Lemma 9.7 in diesem Beispiel.


Aufgabe

Zeige, dass der Raum der -Matrizen über einem Körper die direkte Summe aus den Spaltenräumen , , ist, wobei der -te Spaltenraum aus denjenigen -Matrizen besteht, die in der -ten Spalte beliebige Einträge und sonst überall den Eintrag besitzen. Man gebe die direkte Summenzerlegung für die -Matrix

an.


Aufgabe

Zeige, dass der Raum der -Matrizen über einem Körper die direkte Summe aus dem Raum der Diagonalmatrizen, dem Raum der oberen Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale und dem Raum der unteren Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale ist.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume in einem Vektorraum derart, dass ist, dass für ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.


Eine Funktion heißt gerade, wenn für alle die Gleichheit

gilt.

Eine Funktion heißt ungerade, wenn für alle die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei der Vektorraum aller Funktionen von nach . Zeige, dass es eine direkte Summenzerlegung

gibt, wobei den Untervektorraum der geraden Funktionen und den Untervektorraum der ungeraden Funktionen bezeichnet.


Aufgabe

Der Vektorraum sei die direkte Summe der Untervektorräume und . Zeige, dass ein Untervektorraum nicht die direkte Summe der Untervektorräume und sein muss.


Aufgabe

Bestimme ein direktes Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum .


Aufgabe *

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und Untervektorräume gleicher Dimension. Zeige, dass und ein gemeinsames direktes Komplement besitzen.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Vektorenfamilien

im .

a) Zeige, dass sowohl als auch eine Basis des ist.

b) Es sei derjenige Punkt, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von nach beschreibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit einer Basis . Es sei ein Vektor mit einer Darstellung

wobei sei für ein bestimmtes . Es sei

Bestimme die Übergangsmatrizen und .


Aufgabe (8 (2+2+3+1) Punkte)

Sei ein Körper.

a) Zeige, dass der von

erzeugte Untervektorraum die Dimension besitzt.

b) Bestimme eine Basis und die Dimension des Lösungsraumes der linearen Gleichung

c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts .

d) Bestätige Lemma 9.7 in diesem Beispiel.



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