Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 57/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Körpererweiterung, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Zeige, dass das charakteristische Polynom zu mit dem charakteristischen Polynom der Tensorierung übereinstimmt.
Allerdings können beim Übergang von nach neue Nullstellen des charakteristischen Polynoms und damit neue Eigenwerte und Eigenvektoren auftreten.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Körpererweiterung und seien und Vektorräume über .
a) Definiere eine - lineare Abbildung
die auf abbildet.
b) Es seien die beiden Vektorräume nun endlichdimensional. Zeige, dass die Abbildung aus Teil (a) ein Isomorphismus ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Körpererweiterung, ein - Vektorraum und ein -Vektorraum. Es sei
eine - lineare Abbildung. Zeige, dass es eine -lineare Abbildung
gibt, die fortsetzt (also auf mit übereinstimmt).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Vereinfache in den Ausdruck
Aufgabe Referenznummer erstellen
Vereinfache in den Ausdruck
Aufgabe Referenznummer erstellen
Vereinfache in den Ausdruck
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zeige die Gleichheit .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum der Dimension . Zeige, dass nicht der Nullraum ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und ein - dimensionaler - Vektorraum. Es sei . Zeige .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es seien . Zeige, dass die Abbildung
multilinear und alternierend ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige folgende Aussage über das Dachprodukt: Es sei ein Körper und ein - Vektorraum der Dimension . Es seien und Vektoren in , die miteinander in der Beziehung
stehen, wobei eine - Matrix bezeichnet. Dann gilt in die Beziehung
Aufgabe Referenznummer erstellen
Beweise Satz 57.9 direkt aus der Konstruktion für das Tensorprodukt und der Konstruktion für das Dachprodukt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein - Vektorraum und sei .
- Kann man durch die Zuordnung
eine (lineare) Abbildung von nach festlegen?
- Kann man auf die kanonische Abbildung
die universelle Eigenschaft für das Dachprodukt anwenden, um eine lineare Abbildung von nach zu erhalten?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein - Vektorraum und sei
(mit Faktoren) die kanonische multilineare Abbildung.
- Es sei eine
Permutation.
Zeige, dass es eine multilineare Abbildung
mit
gibt.
- Zeige, dass multilinear und alternierend ist.
- Zeige, dass es eine lineare Abbildung
mit
gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Körpererweiterung, ein - Vektorraum und . Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie der -Vektorräume
(wobei links das Dachprodukt über steht) gibt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Körpererweiterung, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Zeige
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und
die zugehörige Komplexifizierung. Zeige, dass genau dann (asymptotisch) stabil ist, wenn dies für gilt.
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