Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 14/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige durch ein Beispiel von zwei Basen und im , dass die Koordinatenfunktion von der Basis und nicht nur von abhängt.
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Löse das lineare Gleichungssystem
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass durch Realteil und Imaginärteil reelle Linearformen auf definiert sind, wobei als reeller Vektorraum betrachtet wird.
Ist der Betrag einer komplexen Zahl eine reelle Linearform?
Aufgabe * Aufgabe 14.5 ändern
Es sei ein - dimensionaler - Vektorraum und es sei ein -dimensionaler Untervektorraum. Zeige, dass es eine Linearform mit gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und ein Untervektorraum. Es sei mit . Zeige, dass es eine Linearform mit und gibt.
Aufgabe * Aufgabe 14.7 ändern
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum und . Zu jedem gebe es eine Linearform
mit
Zeige, dass die linear unabhängig sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von verschiedene lineare Abbildung
keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum über einem Körper und es seien Linearformen auf . Zeige, dass die Beziehung
genau dann gilt, wenn zu dem von den erzeugten Untervektorraum (im Dualraum) gehört.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Drücke die Vektoren der Dualbasis zur Basis im als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis aus.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Drücke die Vektoren der Standarddualbasis als Linearkombinationen bezüglich der Dualbasis zur Basis aus.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und Vektorräume über einem Körper mit einer Basis von und einer Basis von . Zeige, dass
eine Basis des Homomorphismenraumes ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Aufgabe 14.15 ändern
Zeige, dass die Definition 14.16 der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Zeige, dass die Zuordnung
- linear ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (6 (1+1+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und .
1) Zeige, dass die Vektoren
Lösungen zur linearen Gleichung
sind.
2) Zeige, dass diese drei Vektoren linear abhängig sind.
3) Unter welchen Bedingungen erzeugen diese Vektoren den Lösungsraum der Gleichung?
4) Unter welchen Bedingungen erzeugen die ersten beiden Vektoren den Lösungsraum der Gleichung?
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Drücke die Vektoren der Dualbasis zur Basis im als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis aus.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Drücke die Vektoren der Dualbasis zur Basis im als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis aus.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei der Raum der - Matrizen über dem Körper mit der Standardbasis . Beschreibe die Spur als Linearkombination bezüglich der dualen Basis .
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