Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 9

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{𝔳}^{𝔲}$ und $M_{𝔲}^{𝔳}$ für die Standardbasis $𝔲$ und die durch die Vektoren

$v_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\text{ und }{v}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

gegebene Basis $𝔳$ im ${ℝ}^3$.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien

$𝔳=\left(\begin{array}{c}7\\ -4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right)\text{ und }𝔲=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$

im ${ℝ}^2$.

a) Zeige, dass sowohl $𝔳$ als auch $𝔲$ eine Basis des ${ℝ}^2$ ist.

b) Es sei  $P\in {ℝ}^2$  derjenige Punkt, der bezüglich der Basis $𝔳$ die Koordinaten $(-2,5)$ besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis $𝔲$?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von $𝔳$ nach $𝔲$ beschreibt.

Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrix $M_{𝔳}^{𝔳}$ zum identischen Basiswechsel von $𝔳$ nach $𝔳$.

Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{𝔳}^{𝔲}$ und $M_{𝔲}^{𝔳}$ für die Standardbasis $𝔲$ und die durch die Vektoren

$v_1=\left(\begin{array}{c}3+5\mathrm{i}\\ 1-\mathrm{i}\end{array}\right)\text{ und }{v}_2=\left(\begin{array}{c}2+3\mathrm{i}\\ 4+\mathrm{i}\end{array}\right)$

gegebene Basis $𝔳$ im ${ℂ}^2$.

Aufgabe *

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{𝔳}^{𝔲}$ und $M_{𝔲}^{𝔳}$ für die Standardbasis $𝔲$ und die durch die Vektoren

$v_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 7\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 4\end{array}\right)\text{ und }{v}_3=\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ 9\end{array}\right)$

gegebene Basis $𝔳$ im ${ℝ}^3$.

Aufgabe

Es sei $V$ der Vektorraum der Polynome vom Grad $\le d$. Bestimme die Übergangsmatrizen zwischen den Basen  $𝔲=X^0,X^1,X^2,\dots ,X^d$  und  $𝔳=P_0,P_1,P_2,\dots ,P_d$  mit  $P_0=1$  und

$P_i=(X-1)\cdots (X-i)$

für  $d=0,1,2,3,4$. 

Aufgabe

Es sei $V$ der Vektorraum der Polynome vom Grad $\le 3$ mit der Basis  $𝔲=X^0,X^1,X^2,X^3$.  Zeige, dass die Polynome

$X^3+3X^2-X+4,-X^3+4X^2+5X+3,2X^2-X+1,3X^3+5X^2+7X-2$

ebenfalls eine Basis von $V$ bilden und bestimme die beiden Übergangsmatrizen.

Aufgabe

Es sei $V$ der Vektorraum der $2\times 2$-Matrizen mit der Standardbasis

$𝔲=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$

Zeige, dass

$𝔳=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

ebenfalls eine Basis von $V$ ist und bestimme die Übergangsmatrizen.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Es seien $𝔲=u_1,\dots ,u_n,𝔳=v_1,\dots ,v_n$ und $𝔴=w_1,\dots ,w_n$ Basen von $V$. Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

$M_{𝔴}^{𝔲}=M_{𝔴}^{𝔳}\circ M_{𝔳}^{𝔲}$

stehen.

Aufgabe *

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Es seien $𝔳=v_1,\dots ,v_n$ und $𝔲=u_1,\dots ,u_n$ Basen von $V$ und $𝔴=w_1,\dots ,w_m$ und $𝔷=z_1,\dots ,z_m$ Basen von $W$. Es seien $M_{𝔲}^{𝔳}$ und $M_{𝔷}^{𝔴}$ die Übergangsmatrizen. Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis $(v_1,0),\dots ,(v_n,0),(0,w_1),\dots ,(0,w_m)$ zur Basis $(u_1,0),\dots ,(u_n,0),(0,z_1),\dots ,(0,z_m)$ vom Produktraum $V\times W$ beschrieben?

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der von

$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ -3\end{array}\right)$

erzeugte Untervektorraum  $U\subseteq K^3$  die Dimension $2$ besitzt.

b) Bestimme eine Basis und die Dimension des Lösungsraumes  $L\subseteq K^3$  der linearen Gleichung

$-6x_1+4x_2+5x_3=0.$

c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts $U\cap L$.

d) Bestätige Satz 9.7 in diesem Beispiel.

Aufgabe

Zeige, dass der Raum der $n\times n$-Matrizen über einem Körper $K$ die direkte Summe aus dem Raum der Diagonalmatrizen, dem Raum der oberen Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale und dem Raum der unteren Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume $U_1,U_2,U_3$ in einem Vektorraum $V$ derart, dass  $V=U_1+U_2+U_3$  ist, dass  $U_i\cap U_j=0$  für  $i\ne j$  ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.

Eine Funktion $f:ℝ\to ℝ$ heißt gerade, wenn für alle  $x\in ℝ$  die Gleichheit

$f(x)=f(-x)$

gilt.

Eine Funktion $f:ℝ\to ℝ$ heißt ungerade, wenn für alle  $x\in ℝ$  die Gleichheit

$f(-x)=-f(x)$

gilt.

Aufgabe

Es sei  $V=\mathrm{Abb}(ℝ,ℝ)$  der Vektorraum aller Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$. Zeige, dass es eine direkte Summenzerlegung

$V=G\oplus U$

gibt, wobei $G$ den Untervektorraum der geraden Funktionen und $U$ den Untervektorraum der ungeraden Funktionen bezeichnet.

Aufgabe

Der Vektorraum $V$ sei die direkte Summe der Untervektorräume $V_1$ und $V_2$. Zeige, dass ein Untervektorraum  $U\subseteq V$  nicht die direkte Summe der Untervektorräume $U\cap V_1$ und $U\cap V_2$ sein muss.

Aufgabe

Bestimme ein direktes Komplement zu dem von $\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}2\\ -7\\ 3\end{array}\right)$ erzeugten Untervektorraum  $U\subseteq {ℝ}^3$. 

Aufgabe *

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und  $U_1,U_2\subseteq V$  Untervektorräume gleicher Dimension. Zeige, dass $U_1$ und $U_2$ ein gemeinsames direktes Komplement besitzen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{𝔳}^{𝔲}$ und $M_{𝔲}^{𝔳}$ für die Standardbasis $𝔲$ und die durch die Vektoren

$v_1=\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 1\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -8\end{array}\right)\text{ und }{v}_3=\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ -3\end{array}\right)$

gegebene Basis $𝔳$ im ${ℝ}^3$.

Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Vektorenfamilien

$𝔳=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 5\end{array}\right)\text{ und }𝔲=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -2\end{array}\right)$

im ${ℝ}^3$.

a) Zeige, dass sowohl $𝔳$ als auch $𝔲$ eine Basis des ${ℝ}^3$ ist.

b) Es sei  $P\in {ℝ}^3$  derjenige Punkt, der bezüglich der Basis $𝔳$ die Koordinaten $(2,5,4)$ besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis $𝔲$?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von $𝔳$ nach $𝔲$ beschreibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis  $𝔳=v_1,\dots ,v_n$.  Es sei  $w\in V$  ein Vektor mit einer Darstellung

$w=\sum _{i=1}^n{s}_i{v}_i,$

wobei  $s_k\ne 0$  sei für ein bestimmtes $k$. Es sei

$𝔴=v_1,\dots ,v_{k-1},w,v_{k+1},\dots ,v_n.$

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{𝔴}^{𝔳}$ und $M_{𝔳}^{𝔴}$.

Aufgabe (8 (2+2+3+1) Punkte)

Es sei $K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der von

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -1\\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 5\\ -3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$

erzeugte Untervektorraum  $U\subseteq K^4$  die Dimension $3$ besitzt.

b) Bestimme eine Basis und die Dimension des Lösungsraumes  $L\subseteq K^4$  der linearen Gleichung

$7x_1+5x_2+3x_3-6x_4=0.$

c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts $U\cap L$.

d) Bestätige Satz 9.7 in diesem Beispiel.