Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 8

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme die Dimension des Raumes aller ${}m\times n$- Matrizen.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Dimension des Lösungsraumes des linearen Gleichungssystems

${}4x-3y+7z+5u-v=0\,,$

${}y+6z-10u+3v=0\,$

in den Variablen ${}x,y,z,u,v$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller ${}n\times n$- Matrizen über ${}K$ ist und bestimme seine Dimension.

Eine ${}n\times n$- Matrix

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,$

heißt symmetrisch, wenn ${}a_{ij}=a_{ji}$ für alle ${}i,j$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der symmetrischen ${}n\times n$- Matrizen einen Untervektorraum im Raum aller ${}n\times n$-Matrizen bildet und bestimme dessen Dimension.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge der oberen Dreiecksmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller ${}n\times n$- Matrizen über ${}K$ ist und bestimme seine Dimension.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit endlicher Dimension

${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit endlicher Dimension. Es sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum mit ${}\dim _{K}{\left(U\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Zeige, dass dann ${}U=V$ ist.

Aufgabe *

Es seien ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren

${}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}c\\a\\b\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}b\\c\\a\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,.$

Man gebe Beispiele für ${}a,b,c$ derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension ${}0,1,2,3$ besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume mit ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=n$ und ${}\dim _{K}{\left(W\right)}=m$. Welche Dimension besitzt der Produktraum ${}V\times W$?

Aufgabe *

Es sei ${}W$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$- Vektorraum (${}K$ ein Körper) und seien ${}U,V\subseteq W$ Untervektorräume der Dimension ${}\dim _{K}{\left(U\right)}=r$ und ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=s$. Es gelte ${}r+s>n$. Zeige, dass ${}U\cap V\neq 0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}d\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad ${}\leq d$ ein endlichdimensionaler Untervektorraum von ${}K[X]$ ist. Was ist seine Dimension?

Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad ${}\leq 4$, für die ${}-2$ und ${}3$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in ${}\mathbb {R} [X]$ ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie

$v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathrm {i} }v_{1},\ldots ,{\mathrm {i} }v_{n}$

eine Basis von ${}V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.

Aufgabe

Es sei die Standardbasis ${}e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ im ${}\mathbb {R} ^{4}$ gegeben und die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\3\\0\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\1\\5\\7\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}-4\\9\\-5\\1\end{pmatrix}}.$

Zeige, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß Satz 8.2 zu einer Basis. Kann man jeden Standardvektor nehmen?

Aufgabe

Wir betrachten die linearen Gleichungen

${}9x-8y+7z-8u+4v=0\,,$

${}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3y+7z-4u+6v=0\,,$

${}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-2z+5u+7v=0\,$

über ${}\mathbb {R}$.

1. Bestimme eine Basis ${}{\mathfrak {b}}_{1}$ des Lösungsraumes des gesamten Gleichungssystems.
2. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{1}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{2}$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das aus den ersten beiden Gleichungen besteht.
3. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{2}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{3}$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das allein aus der ersten Gleichung besteht.
4. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{3}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{4}$ des Gesamtraumes ${}\mathbb {R} ^{5}$.

Aufgabe *

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von ${}9$-Tupeln der Länge ${}9$, also die Zeilenvektoren in der Matrix

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&4&6&8&0&2&4&6&8\\3&6&9&2&5&8&1&4&7\\4&8&2&6&0&4&8&2&6\\5&0&5&0&5&0&5&0&5\\6&2&8&4&0&6&2&8&4\\7&4&1&8&5&2&9&6&3\\8&6&4&2&0&8&6&4&2\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{pmatrix}}.$

Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{9}$?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass ${}V$ nicht zugleich eine endliche Basis und eine unendliche Basis besitzen kann.

Das magische Quadrat aus Dürers Stich Melencolia I.

Eine ${}n\times n$- Matrix ${}{\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ über einem Körper ${}K$ heißt magisches Quadrat (oder linear-magisches Quadrat über ${}K$), wenn jede Spaltensumme und jede Zeilensumme in der Matrix gleich einer bestimmen Zahl ${}c\in K$ ist.

In diesem Sinne ist

${\begin{pmatrix}c&0&\cdots &0\\0&c&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&c\end{pmatrix}}$

für jedes ${}c\in K$ ein magisches Quadrat.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller linear-magischen Quadrate der Länge ${}n$ über ${}K$ einen Untervektorraum im Raum aller ${}n\times n$- Matrizen bildet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Familie von ${}m$ Vektoren in ${}V$ und sei

${}U=\langle v_{i},\,i=1,\ldots ,m\rangle \,$

der davon aufgespannte Untervektorraum. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn die Dimension von ${}U$ gleich ${}m$ ist.

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

a) Bestimme die Dimension des Lösungsraumes des linearen Gleichungssystems

${}2x+5y+7z+4u-3v+2w=0\,$

${}4x+9y+6z+5u-v+w=0\,$

${}7x+8y-3z+u+3v+3w=0\,$

${}-x+6y+16z+8u-7v=0\,$

in den Variablen ${}x,y,z,u,v,w$.

b) Was ist die Dimension des Lösungsraumes, wenn man dieses System in den Variablen ${}x,y,z,u,v,w,r,s$ auffasst?

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad ${}\leq 6$, für die ${}-1$, ${}0$ und ${}1$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in ${}\mathbb {R} [X]$ ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme die Dimension des Raumes aller linear-magischen Quadrate der Länge ${}n$ über ${}K$.

Aufgabe (7 (3+2+1+1) Punkte)

Wir betrachten die linearen Gleichungen

${}8x-3y+5z+7u+6v=0\,,$

${}9x+2y+\,\,z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-v=0\,,$

${}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,7y-\,\,z+4u\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=0\,$

über ${}\mathbb {R}$.

1. Bestimme eine Basis ${}{\mathfrak {b}}_{1}$ des Lösungsraumes des gesamten Gleichungssystems.
2. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{1}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{2}$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das aus den ersten beiden Gleichungen besteht.
3. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{2}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{3}$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das allein aus der ersten Gleichung besteht.
4. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{3}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{4}$ des Gesamtraumes ${}\mathbb {R} ^{5}$.