Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 29

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Ableitung von Potenzreihen



Satz  

Es sei

eine

konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius .

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe dargestellte Funktion ist in jedem Punkt differenzierbar mit

Beweis  

Sei , , vorgegeben und sei  mit . Dann konvergiert gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen für hinreichend groß ist

so dass die Potenzreihe in und somit in konvergiert (dafür, dass der Konvergenzradius von nicht größer als ist, siehe Aufgabe *****).
Die Potenzreihe

ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach Korollar 26.9 stetige Funktion dar und besitzt in den Wert . Daher zeigt die Gleichung (von Potenzreihen und dargestellten Funktionen)

dass in linear approximierbar, also nach Satz 27.5 differenzierbar ist mit der Ableitung .
Sei nun . Nach dem Entwicklungssatz gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ,

deren dargestellte Funktion mit der durch dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von übereinstimmt, und wobei

gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen (angewendet auf und die formale Potenzreihenableitung )





Satz  

Die Exponentialfunktion

ist differenzierbar mit

Beweis  

Aufgrund von Satz 29.1 ist



Korollar

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus

ist

Beweis

Siehe Aufgabe 29.4.




Korollar  

Es sei .

Dann ist die Funktion

differenzierbar und ihre Ableitung ist

Beweis  

Nach Aufgabe 26.10 ist

Die Ableitung nach ist aufgrund von Satz 29.2, Satz 29.3 und der Kettenregel gleich




Korollar  

Für die eulersche Zahl gilt die Gleichheit

Beweis  

Die äußeren Gleichheiten sind Definitionen. Aufgrund von Satz 29.3 ist . Dies bedeutet aufgrund der Definition des Differentialquotienten insbesondere

Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als und wenden darauf die Exponentialfunktion an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der Stetigkeit und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Gleichungskette

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle {{}} \begin{align} \exp 1 & = \exp { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} { \left(\right) } \right) } \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \exp { \left( n \cdot {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex |#default= \ln }} \right) } \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }^n \\ & = e . \end{align} }



Satz

Die Sinusfunktion

ist differenzierbar mit

und die

Kosinusfunktion

ist differenzierbar mit

Beweis

Siehe Aufgabe 29.10.



Die Zahl

Die Zahl ist der Flächeninhalt bzw. der halbe Kreisumfang eines Kreises mit Radius . Um darauf eine präzise Definition dieser Zahl aufzubauen müsste man zuerst die Maßtheorie (bzw. die Länge von „krummen Kurven“) entwickeln. Auch die trigonometrischen Funktionen haben eine intuitive Interpretation am Einheitskreis, doch auch diese setzt das Konzept der Bogenlänge voraus. Ein alternativer Zugang ist es, die Zahl über analytische Eigenschaften der durch ihre Potenzreihen definierten Funktionen Sinus und Kosinus zu definieren und dann erst nach und nach die Beziehung zum Kreis herzustellen.



Lemma  

Die Kosinusfunktion

besitzt im reellen Intervall genau eine Nullstelle.

Beweis  

Wir betrachten die Kosinusreihe

Für ist . Für kann man geschickt klammern und erhält

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also mindestens eine Nullstelle im angegebenen Intervall.
Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wir die Ableitung des Kosinus, diese ist nach Fakt *****

Es genügt zu zeigen, dass der Sinus im Intervall positiv ist, denn dann ist das Negative davon stets negativ und der Kosinus ist dann nach Satz 28.5 im angegebenen Intervall streng fallend, so dass es nur eine Nullstelle gibt. Für gilt



Eine rationale Approximation der Zahl auf einem -Pie.



Definition  

Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Die Kreiszahl ist definiert durch



Satz  

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in folgende Periodizitätseigenschaften.

  1. Es ist und für alle .
  2. Es ist und für alle .
  3. Es ist und für alle .
  4. Es ist , , , und . Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form , .
  5. Es ist , , , und . Die Nullstellen des Sinus sind von der Form , .

Beweis  

Aufgrund der Kreisgleichung

ist , also ist wegen der Überlegung im Beweis zu Lemma 29.7. Daraus folgen mit den Additionstheoremen die in (3) angegebenen Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus. Es genügt daher, die Aussagen für den Kosinus zu beweisen. Alle Aussagen folgen dann aus der Definition von und aus (3).


Sine cosine plot.svg



Korollar

Die reelle Sinusfunktion

induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion

Beweis

Siehe Aufgabe 29.16.




Polarkoordinaten für



Satz  

Die komplexe Exponentialfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn für ein ist.
  3. Es ist genau dann, wenn für ein ist.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 25.11, aus Satz 29.11 und aus Satz 25.8.


Insbesondere gilt also die berühmte Formel

Aus der Eulerschen Gleichung

kann man ebenso die Gleichung bzw. ablesen, die die fünf wichtigsten Zahlen der Mathematik enthält.



Satz  

Zu jeder komplexen Zahl  , ,

gibt es eine eindeutige Darstellung

mit und mit .

Beweis  

Wegen Satz 25.11 ist

d.h. ist als Betrag der komplexen Zahl festgelegt. Wir können durch den Betrag teilen und können dann davon ausgehen, dass eine komplexe Zahl mit und mit vorliegt. Es ist dann zu zeigen, dass es eine eindeutige Darstellung

gibt. Bei (bzw. ) ist und (bzw. ) ist die einzige Lösung. Wir zeigen, dass es für ein gegebenes stets genau zwei Möglichkeiten für mit gibt, und eine davon wird durch das Vorzeichen von ausgeschlossen. Bei gibt es aufgrund von Korollar 29.10 ein eindeutiges mit . Für dieses gilt wegen und . Bei gibt es wiederum ein eindeutiges mit . Wegen ist dies aber keine Lösung für beide Gleichungen. Stattdessen erfüllt beide Gleichungen.


Die in diesem Satz beschriebene Darstellung für eine komplexe Zahl heißen ihre Polarkoordinaten. Zu heißt der Betrag und das Argument (oder der Winkel) von .



Korollar  

Sei eine komplexe Zahl und .

Dann gibt es eine komplexe Zahl mit

Beweis  

Bei ist eine Lösung, sei also . Nach Satz 29.12 gibt es eine Darstellung

mit . Es sei die reelle -te Wurzel von , die nach Satz 21.9 existiert. Wir setzen . Dann ist nach Satz 25.8

Diese letzte Aussage besagt, dass jedes Polynom der Form in mindestens eine Nullstelle besitzt. Insofern handelt es sich dabei um eine Vorstufe für den Fundamentalsatz der Algebra, den wir das nächste Mal unter Verwendung dieser Aussage beweisen werden.


<< | Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)