- Es sei ein
Messraum
und es sei ein
durchschnittsstabiles Erzeugendensystem
für .
Es seien
und
zwei
Maße
auf , die auf übereinstimmen. Es gebe eine
Ausschöpfung
mit und mit . Dann ist
-
- Es sei ein -endlicher Maßraum und
-
eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes die Abschätzung
-
- Es sei
-
eine stetige Funktion und sei der Rotationskörper zu um die -Achse. Dann besitzt das Volumen
-
- Es sei eine
-
dimensionale
orientierte
differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand
und mit
abzählbarer Basis der Topologie,
und es sei eine
stetig differenzierbare
-
Differentialform
mit
kompaktem
Träger auf . Dann ist
-
a) Die Grundfläche der Pfanne ist und die Grundfläche einer Bratkartoffel ist
(in Quadratzentimetern).
Daher werden Quadratzentimeter von den Kartoffeln bedeckt und Quadratzentimeter nicht. Daher ist die Ölmenge in Kubikzentimetern
-
In der Pfanne befindet sich also Kubikzentimeter Öl.
b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche
(für die Grundfläche der Pfanne und der Kartoffeln),
die Produktformel für das Maß
(bei der Berechnung der Ölmenge aus Grundfläche und Höhe)
einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen
(bei der Zerlegung in den bedeckten und den unbedeckten Teil)
angewendet.
Das Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter der durch die Matrix
-
gegebenen linearen Abbildung. Nach
Satz 68.2
ist sein Volumen gleich dem Betrag der Determinante dieser Matrix. Wir berechnen die Determinante mittels der Regel von Sarrus, d.h. wir betrachten
-
Daher ist
-
Das Volumen ist also .
Der Subgraph zur Indikatorfunktion ist
Wegen ist somit auch . Offenbar ist . Für ein beliebiges gibt es aufgrund der Ausschöpfungseigenschaft ein mit . Für dieses ist auch , sodass gilt. Also liegt eine Ausschöpfung vor.
Es sei
-
eine messbare nichtnegative Funktion und
. Es sei
. Dann ist
-
(im Subgraphen),
also
-
a) Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist
b)
Die Determinante links ist
-
und die Determinante rechts ist
-
Da beide Determinanten positiv sind, repräsentieren sie die gleiche Orientierung des .
Als abgeschlossene beschränkte Teilmenge des ist der Einheitskreis kompakt
(Satz von Heine-Borel). Die reelle Gerade und sind hingegen nicht kompakt, da sie unbeschränkte Teilmengen von sind. Also ist .
Die reelle Gerade ist zusammenhängend, wie aus dem
Zwischenwertsatz
folgt. Dagegen ist nicht zusammenhängend, da man
-
schreiben kann, sodass man eine sowohl offene als auch abgeschlossene nichtleere Teilmenge erhält. Also ist .
Wir schreiben den Torus als mit dem Einheitskreis .
Die Abbildung
-
ist surjektiv, da es sich in den beiden Komponenten um die Standardparametrisierung des Einheitskreises handelt. Auch die Surjektivität der Tangentialabbildung lässt sich komponentenweise überprüfen, da der Tangentialraum einer Produktmannigfaltigkeit das Produkt der Tangentialräume ist. Die Ableitung von
-
ist , sodass dieser Bildvektor stets den eindimensionalen Tangentialraum des Einheitskreises im Bildpunkt aufspannt.
a) Die zurückgezogene Differentialform ist
b) Das Wegintegral ist
Die Jacobimatrix von ist allgemein
-
Für den Punkt
liegt daher die Jacobimatrix
-
vor. Diese Matrix beschreibt die lineare Abbildung
-
bezüglich der Standardbasen. Wir bestimmen die Matrixdarstellung für die Abbildung
-
bezüglich der Basen
,
(links)
und
(rechts).
Dazu müssen wir die Bilder dieser Dachprodukte ausrechnen. Es ist
und
Die beschreibende Matrix ist also
-
Es sei ein Punkt und eine offene Kartenumgebung zusammen mit einer Karte
-
wobei die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius sei und wobei gelte. Für betrachten wir
-
Es ist also die Kugeloberfläche mit Mittelpunkt und Radius , ist darin der durch definierte „Äquator“ u.s.w. Man erhält aus , indem man zusätzlich noch setzt. Daher liegt eine absteigende Kette von abgeschlossenen Teilmengen
-
vor
( besteht aus den beiden Punkten ).
Wir fassen als die Faser über dem Nullpunkt der Abbildung
-
auf. Die Jacobimatrix dieser Abbildung ist
-
Der Rang dieser Matrix ist nur bei kleiner als , ein solcher Punkt liegt also nicht auf . Das bedeutet, dass die Abbildung in der Faser regulär ist, sodass aufgrund des Satzes über implizite Abbildungen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von der Dimension ist.
Wir setzen nun für und . Da die kompakt sind, sind die auch abgeschlossene Teilmengen in . Da die Bedingung für eine abgeschlossene Mannigfaltigkeit eine lokale Eigenschaft ist, handelt es sich um abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten von .
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