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Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Abzählbarkeit einer Menge .
  2. Eine -Algebra auf einer Menge .
  3. Der Kegel zu einer Basismenge und einer Spitze .
  4. Ein zusammenhängender topologischer Raum .
  5. Die Tangentialabbildung in einem Punkt zu einer differenzierbaren Abbildung

    wobei und differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.

  6. Das Wegintegral zu einer -Differentialform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve .
  7. Eine geschlossene Differentialform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  8. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand.

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Abzählbarkeit einer Menge .
  2. Eine -Algebra auf einer Menge .
  3. Der Kegel zu einer Basismenge und einer Spitze .
  4. Ein zusammenhängender topologischer Raum .
  5. Die Tangentialabbildung in einem Punkt zu einer differenzierbaren Abbildung

    wobei und differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.

  6. Das Wegintegral zu einer -Differentialform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve .
  7. Eine geschlossene Differentialform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  8. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand.


 


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
  2. Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion
    auf einem -endlichen Maßraum .
  3. Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion .
  4. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.
  1. Es sei ein Messraum und es sei ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für . Es seien und zwei Maße auf , die auf übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung mit und mit . Dann ist
  2. Es sei ein -endlicher Maßraum und

    eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes die Abschätzung

  3. Es sei

    eine stetige Funktion und sei der Rotationskörper zu um die -Achse. Dann besitzt das Volumen

  4. Es sei eine - dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei eine stetig differenzierbare - Differentialform mit kompaktem Träger auf . Dann ist


 


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von cm und wird mit Öl und mit kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von cm und eine Höhe von cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von mm.

a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne (rechne mit ; Einheit nicht vergessen)?

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

a) Die Grundfläche der Pfanne ist und die Grundfläche einer Bratkartoffel ist (in Quadratzentimetern). Daher werden Quadratzentimeter von den Kartoffeln bedeckt und Quadratzentimeter nicht. Daher ist die Ölmenge in Kubikzentimetern

In der Pfanne befindet sich also Kubikzentimeter Öl.

b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche (für die Grundfläche der Pfanne und der Kartoffeln), die Produktformel für das Maß (bei der Berechnung der Ölmenge aus Grundfläche und Höhe) einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen (bei der Zerlegung in den bedeckten und den unbedeckten Teil) angewendet.


 


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

im erzeugten Parallelotops.

Das Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung. Nach Satz 68.2 ist sein Volumen gleich dem Betrag der Determinante dieser Matrix. Wir berechnen die Determinante mittels der Regel von Sarrus, d.h. wir betrachten

Daher ist

Das Volumen ist also .


 


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Menge und es sei eine Ausschöpfung von mit Teilmengen , . Zu jedem sei der Subgraph zur Indikatorfunktion . Zeige, dass die , , eine Ausschöpfung von bilden.

Der Subgraph zur Indikatorfunktion ist

Wegen ist somit auch . Offenbar ist . Für ein beliebiges gibt es aufgrund der Ausschöpfungseigenschaft ein mit . Für dieses ist auch , sodass gilt. Also liegt eine Ausschöpfung vor.


 


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

auf einem -endlichen Maßraum .

Es sei

eine messbare nichtnegative Funktion und . Es sei . Dann ist

(im Subgraphen), also


 


Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Es sei der Subgraph der Sinusfunktion auf dem Intervall , wobei mit dem zweidimensionalen Borel-Lebesgue-Maß versehen sei. Berechne die beiden folgenden Integrale.

a)

b)

a) Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist

b)


 


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Die Determinante links ist

und die Determinante rechts ist

Da beide Determinanten positiv sind, repräsentieren sie die gleiche Orientierung des .


 


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die drei eindimensionalen Mannigfaltigkeiten

paarweise nicht homöomorph sind.

Als abgeschlossene beschränkte Teilmenge des ist der Einheitskreis kompakt (Satz von Heine-Borel). Die reelle Gerade und sind hingegen nicht kompakt, da sie unbeschränkte Teilmengen von sind. Also ist .

Die reelle Gerade ist zusammenhängend, wie aus dem Zwischenwertsatz folgt. Dagegen ist nicht zusammenhängend, da man

schreiben kann, sodass man eine sowohl offene als auch abgeschlossene nichtleere Teilmenge erhält. Also ist .


 


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

in jedem Punkt surjektiv ist.

Wir schreiben den Torus als mit dem Einheitskreis . Die Abbildung

ist surjektiv, da es sich in den beiden Komponenten um die Standardparametrisierung des Einheitskreises handelt. Auch die Surjektivität der Tangentialabbildung lässt sich komponentenweise überprüfen, da der Tangentialraum einer Produktmannigfaltigkeit das Produkt der Tangentialräume ist. Die Ableitung von

ist , sodass dieser Bildvektor stets den eindimensionalen Tangentialraum des Einheitskreises im Bildpunkt aufspannt.


 


Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

(mit ) und

und die Differentialform

auf dem .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg in Abhängigkeit von .

a) Die zurückgezogene Differentialform ist

b) Das Wegintegral ist


 


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Berechne die Matrix der Abbildung

im Punkt bezüglich einer geeigneten Basis.

Die Jacobimatrix von ist allgemein

Für den Punkt liegt daher die Jacobimatrix

vor. Diese Matrix beschreibt die lineare Abbildung

bezüglich der Standardbasen. Wir bestimmen die Matrixdarstellung für die Abbildung

bezüglich der Basen , (links) und (rechts). Dazu müssen wir die Bilder dieser Dachprodukte ausrechnen. Es ist

und

Die beschreibende Matrix ist also


 


Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei

die durch

gegeben ist.

a) Berechne die äußere Ableitung von .

b) Berechne die äußere Ableitung von .

a) Es ist , und zwar ist nach der Quotientenregel

b) Die äußere Ableitung von ist .


 


Aufgabe * (9 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension . Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit die Dimension besitzt.

Es sei ein Punkt und eine offene Kartenumgebung zusammen mit einer Karte

wobei die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius sei und wobei gelte. Für betrachten wir

Es ist also die Kugeloberfläche mit Mittelpunkt und Radius , ist darin der durch definierte „Äquator“ u.s.w. Man erhält aus , indem man zusätzlich noch setzt. Daher liegt eine absteigende Kette von abgeschlossenen Teilmengen

vor

( besteht aus den beiden Punkten ). Wir fassen als die Faser über dem Nullpunkt der Abbildung

auf. Die Jacobimatrix dieser Abbildung ist

Der Rang dieser Matrix ist nur bei kleiner als , ein solcher Punkt liegt also nicht auf . Das bedeutet, dass die Abbildung in der Faser regulär ist, sodass aufgrund des Satzes über implizite Abbildungen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von der Dimension ist.

Wir setzen nun für und . Da die kompakt sind, sind die auch abgeschlossene Teilmengen in . Da die Bedingung für eine abgeschlossene Mannigfaltigkeit eine lokale Eigenschaft ist, handelt es sich um abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten von .


 

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