Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abzählbarkeit einer Menge ${}M$.
2. Eine ${}\sigma$-Algebra auf einer Menge ${}M$.
3. Der Kegel zu einer Basismenge ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und einer Spitze ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$.
4. Ein zusammenhängender topologischer Raum ${}X$.
5. Die Tangentialabbildung in einem Punkt ${}P\in M$ zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N,$

   wobei ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.

6. Das Wegintegral zu einer ${}1$-Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$.
7. Eine geschlossene Differentialform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
8. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand.

Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abzählbarkeit einer Menge ${}M$.
2. Eine ${}\sigma$-Algebra auf einer Menge ${}M$.
3. Der Kegel zu einer Basismenge ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und einer Spitze ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$.
4. Ein zusammenhängender topologischer Raum ${}X$.
5. Die Tangentialabbildung in einem Punkt ${}P\in M$ zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N,$

   wobei ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.

6. Das Wegintegral zu einer ${}1$-Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$.
7. Eine geschlossene Differentialform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
8. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand.

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
2. Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

   auf einem ${}\sigma$-endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
3. Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
4. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Lösung

1. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {A}}$. Es seien ${}\mu _{1}$ und ${}\mu _{2}$ zwei Maße auf ${}(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${}{\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ mit ${}M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit ${}\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty$. Dann ist

   ${}\mu _{1}=\mu _{2}\,.$

2. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

   ${}\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$

3. Es sei

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$

   eine stetige Funktion und sei ${}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zu ${}f$ um die ${}x$-Achse. Dann besitzt ${}K$ das Volumen

   ${}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\,.$

4. Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$- Differentialform mit kompaktem Träger auf ${}M$. Dann ist

   ${}\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$

 

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von ${}30$ cm und wird mit Öl und mit ${}25$ kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von ${}4$ cm und eine Höhe von ${}0{,}5$ cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von ${}0{,}1$ mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von ${}1$ mm.

a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne (rechne mit ${}\pi =3{,}14$; Einheit nicht vergessen)?

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

Lösung

a) Die Grundfläche der Pfanne ist ${}15^{2}\pi =225\pi$ und die Grundfläche einer Bratkartoffel ist ${}2^{2}\pi =4\pi$ (in Quadratzentimetern). Daher werden ${}25\cdot 4=100\pi$ Quadratzentimeter von den Kartoffeln bedeckt und ${}125\pi$ Quadratzentimeter nicht. Daher ist die Ölmenge in Kubikzentimetern

${}100\pi \cdot 0{,}01+125\pi \cdot 0{,}1=\pi +12{,}5\pi =13{,}5\pi \cong 13{,}5\cdot 3{,}14=42{,}39\,.$

In der Pfanne befindet sich also ${}42{,}39$ Kubikzentimeter Öl.

b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche (für die Grundfläche der Pfanne und der Kartoffeln), die Produktformel für das Maß (bei der Berechnung der Ölmenge aus Grundfläche und Höhe) einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen (bei der Zerlegung in den bedeckten und den unbedeckten Teil) angewendet.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\5\\-1\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\7\\1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.

Lösung

Das Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter der durch die Matrix

$M={\begin{pmatrix}2&4&7\\0&5&7\\-3&-1&1\end{pmatrix}}$

gegebenen linearen Abbildung. Nach Satz 68.2 ist sein Volumen gleich dem Betrag der Determinante dieser Matrix. Wir berechnen die Determinante mittels der Regel von Sarrus, d.h. wir betrachten

${\begin{pmatrix}2&4&7&2&4\\0&5&7&0&5\\-3&-1&1&-3&-1\end{pmatrix}}.$

Daher ist

${}\det M=10-84+105+14=129-84=45\,.$

Das Volumen ist also ${}45$.

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und es sei ${}T_{n}\uparrow M$ eine Ausschöpfung von ${}M$ mit Teilmengen ${}T_{n}\subseteq M$, ${}n\in \mathbb {N}$. Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ sei ${}A_{n}\subseteq M\times \mathbb {R}$ der Subgraph zur Indikatorfunktion ${}e_{T_{n}}$. Zeige, dass die ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Ausschöpfung von ${}M\times [0,1]$ bilden.

Lösung

Der Subgraph zur Indikatorfunktion ${}e_{T_{n}}$ ist

${}{\begin{aligned}A_{n}&={\left\{(x,t)\mid x\in M,\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\\&={\left\{(x,t)\mid x\in T_{n},\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\cup {\left\{(x,t)\mid x\in M\setminus T_{n},\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\\&={\left\{(x,t)\mid x\in T_{n},\,0\leq t\leq 1\right\}}\cup {\left\{(x,t)\mid x\in M\setminus T_{n},\,0\leq t\leq 0\right\}}\\&=T_{n}\times [0,1]\cup (X\setminus T_{n})\times \{0\}\\&=T_{n}\times [0,1]\cup X\times \{0\}.\end{aligned}}$

Wegen ${}T_{n}\subseteq T_{n+1}$ ist somit auch ${}A_{n}\subseteq A_{n+1}$. Offenbar ist ${}A_{n}\subseteq M\times [0,1]$. Für ein beliebiges ${}(x,t)\in M\times [0,1]$ gibt es aufgrund der Ausschöpfungseigenschaft ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}x\in T_{n}$. Für dieses ${}n$ ist auch ${}(x,t)\in A_{n}$, so dass ${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=M\times [0,1]$ gilt. Also liegt eine Ausschöpfung vor.

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

auf einem ${}\sigma$-endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.

Lösung

Es sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine messbare nichtnegative Funktion und ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$. Es sei ${}T={\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}$. Dann ist

${}T\times [0,a]\subseteq S(f)\,$

(im Subgraphen), also

${}a\cdot \mu (T)=(\mu \otimes \lambda ^{1})(T\times [0,a])\leq (\mu \otimes \lambda ^{1})(S(f))=\int _{M}f\,d\mu \,.$

 

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}G$ der Subgraph der Sinusfunktion auf dem Intervall ${}[0,\pi ]$, wobei ${}G$ mit dem zweidimensionalen Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{2}$ versehen sei. Berechne die beiden folgenden Integrale.

a) ${}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}$

b) ${}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}$

Lösung

a) Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist

${}{\begin{aligned}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{\pi }(\int _{0}^{\sin x}x\,dy)\,dx\\&=\int _{0}^{\pi }x\sin x\,dx\\&=(\sin x-x\cos x)|_{0}^{\pi }\\&=\pi .\end{aligned}}$

b)

${}{\begin{aligned}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{\pi }(\int _{0}^{\sin x}y\,dy)\,dx\\&=\int _{0}^{\pi }(({\frac {1}{2}}y^{2})|_{0}^{\sin x})\,dx\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}x\,dx\\&={\frac {1}{4}}(x-\sin x\cos x)|_{0}^{\pi }\\&={\frac {1}{4}}\pi .\end{aligned}}$

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{2}$,

${\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Lösung

Die Determinante links ist

${}2\cdot 7-4\cdot (-5)=14+20=34\,$

und die Determinante rechts ist

${}(-3)(-5)-6\cdot 2=15-12=3\,.$

Da beide Determinanten positiv sind, repräsentieren sie die gleiche Orientierung des ${}\mathbb {R} ^{2}$.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die drei eindimensionalen Mannigfaltigkeiten

$S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {(x,y)}\vert =1\right\}},\,\,\mathbb {R} \,{\text{ und }}\,\mathbb {R} \setminus \{0\}$

paarweise nicht homöomorph sind.

Lösung

Als abgeschlossene beschränkte Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist der Einheitskreis kompakt (Satz von Heine-Borel). Die reelle Gerade ${}\mathbb {R}$ und ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$ sind hingegen nicht kompakt, da sie unbeschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$ sind. Also ist ${}S^{1}\not \cong \mathbb {R} ,\,\mathbb {R} \setminus \{0\}$.

Die reelle Gerade ist zusammenhängend, wie aus dem Zwischenwertsatz folgt. Dagegen ist ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$ nicht zusammenhängend, da man

${}\mathbb {R} _{+}=(\mathbb {R} \setminus \{0\})\cap [0,\infty ]=(\mathbb {R} \setminus \{0\})\cap \,]0,\infty ]\,$

schreiben kann, so dass man eine sowohl offene als auch abgeschlossene nichtleere Teilmenge erhält. Also ist ${}\mathbb {R} \,\not \cong \mathbb {R} \setminus \{0\}$.

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow X$

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}X$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ surjektiv ist.

Lösung

Wir schreiben den Torus als ${}X=S^{1}\times S^{1}$ mit dem Einheitskreis ${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {(x,y)}\vert =1\right\}}$. Die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S^{1}\times S^{1},\,(u,v)\longmapsto (\cos u,\sin u,\cos v,\sin v),$

ist surjektiv, da es sich in den beiden Komponenten um die Standardparametrisierung des Einheitskreises handelt. Auch die Surjektivität der Tangentialabbildung lässt sich komponentenweise überprüfen, da der Tangentialraum einer Produktmannigfaltigkeit das Produkt der Tangentialräume ist. Die Ableitung von

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$

ist ${}(-\sin t,\cos t)\neq (0,0)$, so dass dieser Bildvektor stets den eindimensionalen Tangentialraum des Einheitskreises im Bildpunkt aufspannt.

 

Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,c]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{3}),$

(mit $c\geq 1$) und

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{3},u^{2}+v^{2},u^{-1}v^{-1}),$

und die Differentialform

${}\omega =(x-y)dx-z^{2}dy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$ in Abhängigkeit von ${}c$.

Lösung

a) Die zurückgezogene Differentialform ist

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}((x-y)dx-z^{2}dy+dz)&=(u^{3}-u^{2}-v^{2})d(u^{3})-u^{-2}v^{-2}d(u^{2}+v^{2})+d(u^{-1}v^{-1})\\&=3(u^{5}-u^{4}-u^{2}v^{2})du-2u^{-1}v^{-2}du-2u^{-2}v^{-1}dv-u^{-2}v^{-1}du-u^{-1}v^{-2}dv\\&=(3u^{5}-3u^{4}-3u^{2}v^{2}-2u^{-1}v^{-2}-u^{-2}v^{-1})du+(-2u^{-2}v^{-1}-u^{-1}v^{-2})dv.\,\end{aligned}}$

b) Das Wegintegral ist

${}{\begin{aligned}\int _{1}^{c}(3t^{5}-3t^{4}-3t^{2}t^{6}-2t^{-1}t^{-6}-t^{-2}t^{-3})dt+(-2t^{-2}t^{-3}-t^{-1}t^{-6})dt^{3}&=\int _{1}^{c}(3t^{5}-3t^{4}-3t^{8}-2t^{-7}-t^{-5})dt+(-2t^{-5}-t^{-7})3t^{2}dt\\&=\int _{1}^{c}(3t^{5}-3t^{4}-3t^{8}-2t^{-7}-t^{-5}-6t^{-3}-3t^{-5})dt\\&=\int _{1}^{c}(-3t^{8}+3t^{5}-3t^{4}-6t^{-3}-4t^{-5}-2t^{-7})dt\\&=(-{\frac {1}{3}}t^{9}+{\frac {1}{2}}t^{6}-{\frac {3}{5}}t^{5}+3t^{-2}+t^{-4}+{\frac {1}{3}}t^{-6})|_{1}^{c}\\&=-{\frac {1}{3}}c^{9}+{\frac {1}{2}}c^{6}-{\frac {3}{5}}c^{5}+3c^{-2}+c^{-4}+{\frac {1}{3}}c^{-6}-(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{5}}+3+1+{\frac {1}{3}})\\&=-{\frac {1}{3}}c^{9}+{\frac {1}{2}}c^{6}-{\frac {3}{5}}c^{5}+3c^{-2}+c^{-4}+{\frac {1}{3}}c^{-6}-{\frac {39}{10}}.\,\end{aligned}}$

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},xy-z^{3}).$

Berechne die Matrix der Abbildung

$\bigwedge ^{2}T_{P}(\varphi )\colon \bigwedge ^{2}T_{P}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}$

im Punkt ${}P=(1,3,5)$ bezüglich einer geeigneten Basis.

Lösung

Die Jacobimatrix von ${}\varphi$ ist allgemein

${\begin{pmatrix}yz^{2}&xz^{2}&2xyz\\y&x&-3z^{2}\end{pmatrix}}.$

Für den Punkt ${}P=(1,3,5)$ liegt daher die Jacobimatrix

${\begin{pmatrix}75&25&30\\3&1&-75\end{pmatrix}}$

vor. Diese Matrix beschreibt die lineare Abbildung

$L\colon T_{P}\mathbb {R} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}$

bezüglich der Standardbasen. Wir bestimmen die Matrixdarstellung für die Abbildung

$\bigwedge ^{2}L\colon \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{2}$

bezüglich der Basen ${}e_{1}\wedge e_{2},\,e_{1}\wedge e_{3}$ , ${}e_{2}\wedge e_{3}$ (links) und ${}e_{1}\wedge e_{2}$ (rechts). Dazu müssen wir die Bilder dieser Dachprodukte ausrechnen. Es ist

${}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{1}\wedge e_{2})&=L(e_{1})\wedge L(e_{2})\\&=(75e_{1}+3e_{2})\wedge (25e_{1}+1e_{2})\\&=75e_{1}\wedge e_{2}+75e_{2}\wedge e_{1}\\&=75e_{1}\wedge e_{2}-75e_{1}\wedge e_{2}\\&=0,\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{1}\wedge e_{3})&=L(e_{1})\wedge L(e_{3})\\&=(75e_{1}+3e_{2})\wedge (30e_{1}-75e_{2})\\&=-75^{2}e_{1}\wedge e_{2}+90e_{2}\wedge e_{1}\\&=(-5625-90)e_{1}\wedge e_{2}\\&=-5715e_{1}\wedge e_{2},\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{2}\wedge e_{3})&=L(e_{2})\wedge L(e_{3})\\&=(25e_{1}+1e_{2})\wedge (30e_{1}-75e_{2})\\&=-1875e_{1}\wedge e_{2}+30e_{2}\wedge e_{1}\\&=-1905e_{1}\wedge e_{2}.\end{aligned}}$

Die beschreibende Matrix ist also

$\left(0,-5715,-1905\right).$

 

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

die durch

${}f(t)={\frac {\sin ^{3}(t^{4})}{1+t^{2}}}\,$

gegeben ist.

a) Berechne die äußere Ableitung von ${}f$.

b) Berechne die äußere Ableitung von ${}fdt$.

Lösung

a) Es ist ${}df=f'dt$, und zwar ist nach der Quotientenregel

${}{\begin{aligned}f'&={\frac {(1+t^{2})3\sin ^{2}(t^{4})\cos(t^{4})4t^{3}-2t\sin ^{3}(t^{4})}{(1+t^{2})^{2}}}\\&={\frac {12(t^{3}+t^{5})\sin ^{2}(t^{4})\cos(t^{4})-2t\sin ^{3}(t^{4})}{1+2t^{2}+t^{4}}}.\end{aligned}}$

b) Die äußere Ableitung von ${}fdt$ ist ${}f'dt\wedge dt=0$.

 

Aufgabe * (9 Punkte)

Es sei ${}M\neq \emptyset$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

${}M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots \subseteq M_{n-1}\subseteq M_{n}=M\,$

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M_{i}$ die Dimension ${}i$ besitzt.

Lösung

Es sei ${}P\in M$ ein Punkt und ${}P\in U$ eine offene Kartenumgebung zusammen mit einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n},$

wobei ${}V=B(0,3)$ die offene Kugel mit Mittelpunkt ${}0$ und Radius ${}3$ sei und wobei ${}\alpha (P)=0$ gelte. Für ${}i=1,\ldots ,n-1$ betrachten wir

$B_{i}={\left\{x\in V\mid (x_{1}-1)^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1,\,x_{i+2}=0,\,x_{i+3}=0,\ldots ,x_{n}=0\right\}}.$

Es ist also ${}B_{n-1}$ die Kugeloberfläche mit Mittelpunkt ${}(1,0,\ldots ,0)$ und Radius ${}1$, ${}B_{n-2}$ ist darin der durch ${}x_{n}=0$ definierte „Äquator“ u.s.w. Man erhält ${}B_{i}$ aus ${}B_{i+1}$, indem man zusätzlich noch ${}x_{i+2}=0$ setzt. Daher liegt eine absteigende Kette von abgeschlossenen Teilmengen

$B_{n-1}\supseteq B_{n-2}\supseteq \ldots \supseteq B_{1}\supseteq B_{0}$

vor

(${}B_{0}$ besteht aus den beiden Punkten ${}(\pm 1,0,\ldots ,0)$). Wir fassen ${}B_{i}$ als die Faser über dem Nullpunkt der Abbildung

$\varphi _{i}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-i},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto ((x_{1}-1)^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1,x_{i+2},\ldots ,x_{n}),$

auf. Die Jacobimatrix dieser Abbildung ist

${\begin{pmatrix}2x_{1}-2&2x_{2}&\ldots &2x_{i+1}&2x_{i+2}&\ldots &2x_{n-1}&2x_{n}\\0&0&\ldots &0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&1\end{pmatrix}}.$

Der Rang dieser Matrix ist nur bei ${}x_{1}=1,\,x_{2}=\cdots =x_{i+1}=0$ kleiner als ${}n-i$, ein solcher Punkt liegt also nicht auf ${}B_{i}$. Das bedeutet, dass die Abbildung ${}\varphi _{i}$ in der Faser ${}B_{i}$ regulär ist, so dass ${}B_{i}$ aufgrund des Satzes über implizite Abbildungen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}V$ der Dimension ${}i$ ist.

Wir setzen nun ${}M_{i}=\alpha ^{-1}(B_{i})$ für ${}i=1,\ldots ,n-1$ und ${}M_{n}=M$. Da die ${}B_{i}$ kompakt sind, sind die ${}M_{i}$ auch abgeschlossene Teilmengen in ${}M$. Da die Bedingung für eine abgeschlossene Mannigfaltigkeit eine lokale Eigenschaft ist, handelt es sich um abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten von ${}M$.

 

Zur pdf-Version dieser Klausur

Zur pdf-Version dieser Klausur mit Lösungen