Lösung
- Eine Abbildung
von
nach
ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge
genau ein Element der Menge
zugeordnet wird.
- Die Konvergenz gegen
bedeutet, dass es zu jedem reellen
ein
derart gibt, dass für alle
die Abschätzung
-

gilt.
- Die Funktion
heißt differenzierbar in
, wenn der
Limes
-
existiert.
- Die Funktion
heißt Riemann-integrierbar auf
, wenn
Ober-
und
Unterintegral
von
existieren und übereinstimmen.
- Eine
Abbildung
-
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
für alle
.
für alle
und
.
- Die Matrix
heißt invertierbar, wenn es eine Matrix
mit
-

gibt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Satz über die Interpolation durch Polynome.
- Der Zwischenwertsatz.
- Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
Lösung
- Es sei
ein Körper und es seien
verschiedene Elemente
und
Elemente
gegeben. Dann gibt es ein Polynom
vom Grad
derart, dass
für alle
ist.
- Seien
reelle Zahlen und sei
eine stetige Funktion. Es sei
eine reelle Zahl zwischen
und
.
Dann gibt es ein
mit
.
- Es sei
ein Körper,
und
seien
-Vektorräume und
-
sei eine
-lineare Abbildung. Dann ist
injektiv genau dann, wenn
ist.
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
Im Pokal spielt Bayern München gegen den TSV Wildberg. Der Trainer vom TSV Wildberg, Herr Tor Acker, sagt „Wir haben in dem Spiel nichts zu verlieren“. Die Logiklehrerin von Wildberg, Frau Loki Schummele, sagt „Wenn die Wildberger in dem Spiel nichts zu verlieren haben, dann haben auch die Münchner in dem Spiel nichts zu gewinnen“. Der Trainer von Bayern München, Herr Roland Rollrasen, sagt „Wir haben in dem Spiel etwas zu gewinnen“.
- Ist die Aussage von Frau Schummele logisch korrekt?
- Es sei vorausgesetzt, dass die Aussage des Bayerntrainers wahr ist. Welche Folgerung kann man dann für die Aussage von Herrn Acker ziehen?
Lösung
- Die Aussage ist logisch korrekt.
- Die Kontraposition der korrekten Aussage aus Teil (1) ist: Wenn die Münchner in dem Spiel etwas zu gewinnen haben, dann haben die Wildberger in dem Spiel etwas zu verlieren. Da der Vordersatz, der die Aussage des Bayerntrainers ist, vorausgesetzt werden soll, so folgt mit Modus ponens, dass die Wildberger in dem Spiel etwas zu verlieren haben. Dies steht im Widerspruch zur Aussage des Trainers von Wildberg, seine Aussage ist also falsch.
Lösung
Löse die lineare Gleichung
-

über
und berechne den Betrag der Lösung.
Lösung
Es ist

Der Betrag ist
-

Berechne die Summe
-
Lösung
Mit der Formel für die geometrische Reihe ist
-

Ferner ist
-

Also ist insgesamt
-

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
Lösung
Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir
annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle
nichtnegative
reelle Zahlen sind. Es ist
-

Somit folgt die Konvergenz aus dem
Majorantenkriterium und der
Konvergenz
der
geometrischen Reihe.
Lösung
Wegen
und
muss nach dem Zwischenwertsatz im Intervall
eine Nullstelle von
liegen.
Die Intervallmitte ist
, dort hat
den Wert
-

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall
![{\displaystyle {}[0,{\frac {1}{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80cc085ee39fb9c2a60220bc57f0d8e054b687d6)
liegen.
Die Intervallmitte von diesem Intervall ist
, dort hat
den Wert
-

Dies ist positiv, also muss eine Nullstelle im Intervall
![{\displaystyle {}[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a936e505c2881f3f33d3219aa51cea342b36a33)
liegen.
Die Intervallmitte von diesem Intervall ist
, dort hat
den Wert
-

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall
liegen. Die Länge dieses Intervalls ist
.
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Es seien die beiden Polynome
-
gegeben.
a) Berechne
(es soll also
in
eingesetzt werden).
b) Berechne die Ableitung von
direkt und mit Hilfe der Kettenregel.
Lösung
a) Es ist

b) Die Ableitung von
ist
-

Es ist
und
-

Nach der Kettenregel ist daher

Lösung
Aufgrund des Strahlensatzes muss die Beziehung
-

gelten. Wegen
-

folgt daraus
-

Umstellen ergibt
-

und
-

und schließlich
-

Somit ist auch
-

und daher ist
-

Es seien
-
differenzierbare Funktionen.
Beweise durch Induktion über
die Beziehung
-

Lösung
Zeige, dass die Funktion
streng wachsend ist.
Lösung
Die Ableitung von

ist
-

Wegen
-

ist

, und da der Kosinus nur bei reellen Zahlen der Form

(

) den Wert

besitzt, besitzt

nur dort eine Nullstelle. Nach
Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) (2) (angewendet auf ein beliebiges beschränktes Teilintervall) ist die Funktion streng wachsend.
Bestimme das
Taylor-Polynom
vom Grad
zur Funktion
im Nullpunkt.
Lösung
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu
und
eingeschlossen wird.
Lösung
Lösung
Es sei
eine Basis von
und
eine Basis von
. Wir betrachten die Familie der Vektoren
-
Wegen
kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen
-dimensionalen Untervektorraum von
geben würde. Also gibt es Koeffizienten
, die nicht alle
sind, mit
-
Dieser Vektor gehört zu
. Er ist nicht
, da andernfalls beidseitig alle Koeffizienten
sein müssten.
Löse das
inhomogene Gleichungssystem
-
Lösung
Wir eliminieren zuerst die Variable
, indem wir die zweite Gleichung zweimal von der ersten Gleichung abziehen . Dies führt auf
-
Nun eliminieren wir die Variable
, indem wir
(bezogen auf das vorhergehende System)
und
ausrechnen. Dies führt auf
-
Es ergibt sich
-

und
-

Rückwärts gelesen ergibt sich
-

-

und
-

Bestimme die
inverse Matrix
zu
-
Lösung
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Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
„Zu zwei quadratischen
-Matrizen
gilt für die
charakteristischen Polynome
die Beziehung
-

Nach Definition ist nämlich
-

wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.
Lösung
Es ist
-

daher ist der Determinantenmultiplikationssatz nicht anwendbar.
Lösung