Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/11/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 2 4 2 3 4 3 4 5 5 3 3 3 5 4 4 1 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Die Differenzierbarkeit einer Abbildung
    in einem Punkt .
  4. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

    auf einem kompakten Intervall .

  5. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  6. Eine invertierbare -Matrix über einem Körper .


Lösung

  1. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
  2. Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

    gilt.

  3. Die Funktion heißt differenzierbar in , wenn der Limes

    existiert.

  4. Die Funktion heißt Riemann-integrierbar auf , wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.
  5. Eine Abbildung

    heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

    1. für alle .
    2. für alle und .
  6. Die Matrix heißt invertierbar, wenn es eine Matrix mit

    gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
  2. Der Zwischenwertsatz.
  3. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
  2. Seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen und . Dann gibt es ein mit .
  3. Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und
    sei eine -lineare Abbildung. Dann ist injektiv genau dann, wenn ist.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Im Pokal spielt Bayern München gegen den TSV Wildberg. Der Trainer vom TSV Wildberg, Herr Tor Acker, sagt „Wir haben in dem Spiel nichts zu verlieren“. Die Logiklehrerin von Wildberg, Frau Loki Schummele, sagt „Wenn die Wildberger in dem Spiel nichts zu verlieren haben, dann haben auch die Münchner in dem Spiel nichts zu gewinnen“. Der Trainer von Bayern München, Herr Roland Rollrasen, sagt „Wir haben in dem Spiel etwas zu gewinnen“.

  1. Ist die Aussage von Frau Schummele logisch korrekt?
  2. Es sei vorausgesetzt, dass die Aussage des Bayerntrainers wahr ist. Welche Folgerung kann man dann für die Aussage von Herrn Acker ziehen?


Lösung

  1. Die Aussage ist logisch korrekt.
  2. Die Kontraposition der korrekten Aussage aus Teil (1) ist: Wenn die Münchner in dem Spiel etwas zu gewinnen haben, dann haben die Wildberger in dem Spiel etwas zu verlieren. Da der Vordersatz, der die Aussage des Bayerntrainers ist, vorausgesetzt werden soll, so folgt mit Modus Ponens, dass die Wildberger in dem Spiel etwas zu verlieren haben. Dies steht im Widerspruch zur Aussage des Trainers von Wildberg, seine Aussage ist also falsch.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.


Lösung

Eine ungerade Zahl besitzt die Form mit einer ganzen Zahl . Somit ist

Die hinten ist ein Vielfaches von . Genau eine der beiden Zahlen und ist gerade, also von der Form . Daher ist ein Vielfaches von und somit ist die gesamte Zahl ein Vielfaches von .


Aufgabe (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

über und berechne den Betrag der Lösung.


Lösung

Es ist

Der Betrag ist


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Summe


Lösung

Mit der Formel für die geometrische Reihe ist

Ferner ist

Also ist insgesamt


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.


Lösung

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle nichtnegative reelle Zahlen sind. Es ist

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Lösung

Wegen und muss nach dem Zwischenwertsatz im Intervall eine Nullstelle von liegen.

Die Intervallmitte ist , dort hat den Wert

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen.

Die Intervallmitte von diesem Intervall ist , dort hat den Wert

Dies ist positiv, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen.

Die Intervallmitte von diesem Intervall ist , dort hat den Wert

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen. Die Länge dieses Intervalls ist .


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es seien die beiden Polynome

gegeben.

a) Berechne (es soll also in eingesetzt werden).

b) Berechne die Ableitung von direkt und mit Hilfe der Kettenregel.


Lösung

a) Es ist

b) Die Ableitung von ist

Es ist und

Nach der Kettenregel ist daher


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine Exponentialfunktion mit . Zu jedem definiert die Gerade durch die beiden Punkte und einen Schnittpunkt mit der -Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige

Skizziere die Situation.


Lösung

Aufgrund des Strahlensatzes muss die Beziehung

gelten. Wegen

folgt daraus

Umstellen ergibt

und

und schließlich

Somit ist auch

und daher ist


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über die Beziehung


Lösung

Für ist nach der Kettenregel

Zum Induktionsschluss sei die Aussage für Funktionen schon bewiesen, und seien Funktionen gegeben. Dann ist aufgrund der Produktregel und der Induktionsvoraussetzung


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion streng wachsend ist.


Lösung

Die Ableitung von ist
Wegen
ist , und da der Kosinus nur bei reellen Zahlen der Form () den Wert besitzt, besitzt nur dort eine Nullstelle. Nach Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020))  (2) (angewendet auf ein beliebiges beschränktes Teilintervall) ist die Funktion streng wachsend.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad zur Funktion im Nullpunkt.


Lösung

Die relevanten Ableitungen sind

und

Daher ist , und . Das Taylor-Polynom zu dieser Funktion im Nullpunkt ist daher das konstante Polynom .


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu und eingeschlossen wird.


Lösung

Für zwischen und ist und für ist . Die eingeschlossene Fläche liegt also innerhalb des Einheitsquadrates. Daher ist der Flächeninhalt gleich dem bestimmten Integral der Wurzelfunktion von bis minus dem bestimmten Integral (in den gleichen Grenzen) zur Parabel. Daher ist der Flächeninhalt gleich


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum ( ein Körper) und seien Untervektorräume der Dimension und . Es gelte . Zeige, dass ist.


Lösung

Es sei eine Basis von und eine Basis von . Wir betrachten die Familie der Vektoren

Wegen kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen -dimensionalen Untervektorraum von geben würde. Also gibt es Koeffizienten , die nicht alle sind, mit

Dieser Vektor gehört zu . Er ist nicht , da andernfalls beidseitig alle Koeffizienten sein müssten.


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite Gleichung zweimal von der ersten Gleichung abziehen . Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf

Es ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Zu zwei quadratischen -Matrizen gilt für die charakteristischen Polynome die Beziehung

Nach Definition ist nämlich

wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.


Lösung

Es ist

daher ist der Determinantenmultiplikationssatz nicht anwendbar.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und seien Elemente in . Zeige, dass

ist.


Lösung

Sei . Dann ist

Also ist

woraus wegen direkt folgt.