Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/14/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 2 3 2 4 5 3 2 2 4 6 2 4 4 2 3 4 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Binomialkoeffizient .
  2. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
  3. Die eulersche Zahl .
  4. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  5. Ein Erzeugendensystem eines -Vektorraumes .
  6. Eine -Matrix über einem Körper .


Lösung

  1. Der Binomialkoeffizient ist durch

    definiert.

  2. Die Menge

    mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

    definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.

  3. Die eulersche Zahl ist durch

    definiert.

  4. Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Obersummen von oberen Treppenfunktionen von .
  5. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem von , wenn man jeden Vektor als Linearkombination der darstellen kann.
  6. Eine -Matrix über ist ein Schema der Form

    wobei die aus sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Quadratwurzel von .
  2. Der Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.
  3. Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.


Lösung

  1. Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich ist. D.h. die reelle Zahl ist irrational.
  2. Es sei ein reelles Intervall,

    eine -mal stetig differenzierbare Funktion und ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte

    Dann gelten folgende Aussagen.

    1. Wenn gerade ist, so besitzt in kein lokales Extremum.
    2. Sei ungerade. Bei besitzt in ein isoliertes Minimum.
    3. Sei ungerade. Bei besitzt in ein isoliertes Maximum.
  3. Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

    eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Dann gilt


Aufgabe (2 Punkte)

Anfang März beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay Stunden (in Paraguay wurde es Stunden später hell). Am 25. März 2018 wurde in Deutschland die Uhr von der Winterzeit auf die Sommerzeit umgestellt, die Uhr wurde also um eine Stunde nachts von auf vorgestellt. In der gleichen Nacht wurde die Uhr in Paraguay umgestellt. Wie groß war die Zeitdifferenz nach der Umstellung?


Lösung

Da Paraguay auf der Südhalbkugel liegt, wird dort Ende März von der dortigen Sommerzeit auf die dortige Winterzeit umgestellt, dort wird also die Uhr zurückgestellt. Daher beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay danach ganze Stunden.


Aufgabe (2 Punkte)

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Lösung

Seien gegeben mit . Wir müssen zeigen, dass ist. Es ist

Da nach Voraussetzung injektiv ist, folgt , wie gewünscht.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Lösung

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir . Man betrachtet die Zahl

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen teilbar, da bei Division von durch immer ein Rest verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von , die es nach Satz 2.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu .


Lösung

Der Grad ist , der Leitkoeffizient ist , der Leitterm ist und der Koeffizient zu ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in eindeutig bestimmt ist.


Lösung

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte , , gibt. Dann ist . Wir betrachten . Wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit

und wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für . Sei mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch


Aufgabe (5 Punkte)

Zu sei die Summe der ungeraden Zahlen bis und die Summe der geraden Zahlen bis . Entscheide, ob die Folge

in konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir verwenden, dass die Summe der ersten ungeraden Zahlen gleich dem Quadrat der Anzahl der beteiligten Zahlen ist. Für gerade ist

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers um eins erhöht vorkommt, und für ungerade ist

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers bis auf den letzten um eins erhöht vorkommt. Beide Teilfolgen (gerade bzw. ungerade Glieder) konvergieren gegen und somit konvergiert die Gesamtfolge gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Lösung

Es ist und , es muss also nach Korollar 11.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) eine Nullstelle im Intervall geben. Wir berechnen den Funktionswert an der Intervallmitte und erhalten

Wir müssen also mit dem rechten Teilintervall weitermachen. Dessen Intervallmitte ist . Der Funktionswert an dieser Stelle ist

Jetzt müssen wir mit dem linken Teilintervall weitermachen, dessen Mitte ist . Der Funktionswert an dieser Stelle ist

Somit wissen wir, dass es eine Nullstelle zwischen und gibt.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

stetig ist.


Lösung

Wir schreiben

Somit kann man als die Hintereinanderschaltung der Funktionen , und auffassen. Diese Funktionen sind jeweils nach Satz 11.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)), Beispiel ***** und Satz 12.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) stetig. Aufgrund von Lemma 10.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist dann die Hintereinanderschaltung ebenfalls stetig.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem Dreieck die Gleichheiten

gelten, wobei die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln sind.


Lösung

Es sei die Länge der Höhe durch . Es gilt dann

da jeweils rechtwinklige Dreiecke vorliegen mit der Dreiecksseite als Hypotenuse und der Höhe als gegenüberliegender Kathete zum Winkel. Somit ist

und dies stimmt entsprechend auch mit überein.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

  1. Zeige, dass eine ungerade Funktion im Nullpunkt ein globales Extremum haben kann.
  2. Zeige, dass eine ungerade Funktion im Nullpunkt kein isoliertes lokales Extremum haben kann.


Lösung

  1. Die Nullfunktion ist ungerade und besitzt im Nullpunkt ein globales Maximum, das gleichzeitig globales Minimum ist.
  2. Sei ungerade, es gilt also , für alle . Dann ist insbesondere , also . Nehmen wir an, dass im Nullpunkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt. Das bedeutet, dass es ein derart gibt, dass

    für alle gilt. Für diese ist aber auch und es ergibt sich direkt der Widerspruch


Aufgabe (6 (1+1+4) Punkte)

  1. Es sei und die Exponentialfunktion zur Basis . Zeige, dass es ein mit für alle gibt.
  2. Es sei vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion mit und mit

    für alle gibt.

  3. Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion mit für alle , die keine Exponentialfunktion ist.


Lösung

  1. Es sei und die Exponentialfunktion zur Basis . Zeige, dass es ein mit für alle gibt. Wir setzen

    Dann ist

  2. Aus der Bedingung folgt

    Damit ist in der Tat

  3. Wir betrachten die Funktion

    mit . Jedes liegt in einem eindeutigen halboffenen Intervall mit . Wir setzen die Funktion auf ganz durch die Festlegung

    fort. Dies stimmt für mit überein, da dort ist. Für ist

    Die Funktion ist stetig, was auf den ganzzahligen Intervallen klar ist und an den Intervallgrenzen wegen (der Funktionslimes ist für )

    gilt. Die Funktion ist auch streng monoton wachsend, was ebenfalls auf den ganzzahligen Intervallen klar ist und an den Übergängen wegen der Stetigkeit gilt. Die Funktion ist keine Exponentialfunktion, da sie auf linear ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Lösung

Es ist

daher ist eine Stammfunktion des Tangens auf .


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.


Lösung

Aufgrund von Satz 18.17 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) existiert das Integral. Mit der Integralfunktion

gilt die Beziehung

Aufgrund von Satz 19.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist differenzierbar mit

d.h. ist eine Stammfunktion von . Wegen Lemma 19.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist . Daher ist


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die erste Gleichung mit der zweiten addieren. Dies führt auf

Nun addieren wir die erste Gleichung mit der zweiten Gleichung und es ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von -Tupeln der Länge . Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ?


Lösung

Die Einerreihe ist das Tupel

Jede weitere Reihe im kleinen Einmaleins ergibt sich durch Multiplikation dieser Reihe mit einer natürlichen Zahl , sie gehören also schon zu dem von der Einerreihe erzeugten Untervektorraum. Daher ist die Dimension gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.


Lösung

Wir betrachten das kommutative Diagramm

Da die Koordinatenabbildungen biljektiv sind, ist genau dann surjektiv, wenn surjektiv ist. Der Bildvektor des -ten Standardvektors unter ist die -te Spalte von und der Bildraum zu ist der von den Spalten erzeugte Untervektorraum. Somit ist die Surjektivität äquivalent dazu, dass die Spalten ein Erzeugendensystem des bilden.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die komplexen Zahlen , für die die Matrix

nicht invertierbar ist.


Lösung

Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ist. Wir müssen also die Nullstellen der Determinante bestimmen. Die Determinante ist (nach der Regel von Sarrus)

Dies ist gleich genau dann, wenn

ist. Durch quadratisches Ergänzen führt diese Gleichung auf

Daher sind

die beiden einzigen Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese zwei reellen Zahlen sind also die einzigen (reellen oder komplexen) Zahlen, für die die Matrix nicht invertierbar ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine untere Dreiecksmatrix. Zeige, ausgehend von der Definition der Determinante, dass die Determinante von das Produkt der Diagonaleinträge ist (es darf verwendet werden, dass die Determinante zu einer Matrix mit einer Nullzeile gleich ist).


Lösung

Wie führen Induktion nach , wobei eine -Matrix sei. Der Induktionsanfang für ist klar, sei die Aussage für alle unteren Dreiecksmatrizen der Länge schon bewiesen. Die Determinantenformel sagt

Für ist die erste Zeile von ohne den ersten Eintrag eine Zeile von , und zwar ist dies eine Nullzeile, da ja eine untere Dreiecksmatrix ist. Daher sind die Determinanten zu den , , gleich und die hintere Summe in der obigen Formel ist . Hingegen ist wieder eine untere Dreiecksmatrix und ihre Determinante ist nach Induktionsvoraussetzung gleich . Also ist