Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/39/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 3 5 1 4 2 4 4 4 3 4 8 4 5 1 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine surjektive Abbildung
  2. Eine Folge reeller Zahlen.
  3. Das Cauchy-Produkt zu zwei Reihen und reeller Zahlen.
  4. Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt .
  5. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .

  6. Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
  2. Eine reelle Folge ist eine Abbildung
  3. Das Cauchy-Produkt der beiden Reihen und ist die Reihe
  4. Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .

  5. Die Funktion

    heißt die Integralfunktion zu zum Startpunkt .

  6. Ein Element heißt ein Eigenwert zu , wenn es einen von verschiedenen Vektor mit

    gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Produktregel für reelle Folgen.
  2. Der zweite Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
  3. Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.


Lösung

  1. Es seien und konvergente Folgen in . Dann ist die Folge ebenfalls konvergent und es gilt
  2. Es sei und seien

    stetige, auf differenzierbare Funktionen mit

    für alle . Dann ist und es gibt ein mit

  3. Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.


Aufgabe (2 Punkte)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w w w
w w f f
w f w w
w f f f
f w w f
f w f w
f f w f
f f f w


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Fallunterscheidung.


Lösung Beweis durch Fallunterscheidung/Erläuterung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es seien und nichtleere Mengen und

Abbildungen für . Es sei , , und die Produktabbildung, also

a) Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn alle surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.


Lösung

a) Seien alle surjektiv und sei . Zu jedem gibt es ein mit . Daher ist ein Urbild von unter .

Sei umgekehrt surjektiv, und sei gegeben. Da die alle nicht leer sind, gibt es jeweils ein . Wir setzen

Dafür gibt es nach Voraussetzung ein Urbild . Für die -te Komponente davon muss gelten.

b) Sei , sei die leere Abbildung und seien und irgendwelche (nichtleere) Mengen und sei eine beliebige nicht surjektive Abbildung. Dann ist und und daher ist die Produktabbildung ebenfalls die leere Abbildung, also surjektiv, obwohl nicht alle surjektiv sind.


Aufgabe (1 Punkt)

Finde eine natürliche Zahl derart, dass

ist.


Lösung

Man kann nehmen. Es ist nämlich


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ganzzahligen Lösungen der Ungleichung


Lösung

Es ist

Bei positivem führt die Bedingung

auf

bzw.

Dies ist für

erfüllt. Für negatives schreiben wir

mit positiv. Die Bedingung

bedeutet dann

und ist für jedes (positive) erfüllt, da links eine positive rationale Zahl steht. Insgesamt ist die Ungleichung also für alle ganzen Zahlen erfüllt.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in eindeutig bestimmt ist.


Lösung

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte , , gibt. Dann ist . Wir betrachten . Wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit

und wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für . Sei mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei eine stetige Funktion mit und sei eine Nullfolge. Zu bezeichne die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst.

  1. Sei fixiert. Zeige, dass die Folge , , eine Nullfolge ist.
  2. Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass die Folge , , keine Nullfolge sein muss.


Lösung

  1. Als Hintereinanderschaltung von stetigen Funktionen ist nach Lemma 10.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) auch stetig. Nach Lemma 10.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) konvergiert auch die Bildfolge, und zwar wegen

    gegen . Somit ist eine Nullfolge.

  2. Sei

    dies ist eine Nullfolge, und sei

    Dann ist

    und somit ist

    also die konstante Folge mit dem Wert und keine Nullfolge.


Aufgabe (4 Punkte)

Die beiden lokalen Extrema der Funktion

definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.


Lösung

Es ist

Die Ableitung hat also bei und bei eine Nullstelle. Wegen liegt bei ein lokales Maximum mit dem Wert und bei ein lokales Minimum mit dem Wert vor. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist . Der Flächeninhalt des Teilbereichs des Rechteckes unterhalb des Graphen ist

Der Flächeninhalt des Teilbereichs des Rechteckes oberhalb des Graphen ist ebenfalls .


Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

Nach Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist

und

wobei wir im vorletzten Schritt gesetzt haben.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für , , die Gleichheit

gilt.


Lösung

Es ist

Wir wenden die Umkehrfunktion auf diese Gleichung an und erhalten


Aufgabe (8 (2+4+2) Punkte)

Wir betrachten die Sinusfunktion

auf und den oberen Halbkreis oberhalb dieses Intervalls.

  1. Skizziere die Situation. Beschreibe den oberen Halbkreis als Graph einer Funktion .
  2. Zeige, dass

    für alle gilt. Tipp: Betrachte die Situation für und für .

  3. Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Halbkreis und dem Sinusbogen.


Lösung

  1. Es handelt sich um den oberen Halbkreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Für die Punkte auf dem Kreisbogen gilt

    somit ist der obere Halbbogen der Graph der Funktion

  2. Es ist

    auf zu zeigen, wobei die Situation symmetrisch zur Achse durch ist. Da beide Funktionen nichtnegativ sind, genügt es, die quadrierte Abschätzung nachzuweisen, also

    Beide Funktionen sind auf streng wachsend und haben im Nullpunkt den Wert . Für ist

    Für vergleichen wir die Ableitungen der quadrierten FUnktionen. Es ist

    und

    Im angegebenen Bereich ist

    die Funktion wächst also schneller als und somit gilt auch in diesem Abschnitt die Abschätzung.

  3. Der Flächeninhalt unter dem Kreisbogen ist der halbe Flächeninhalt eines Kreises mit Radius , also gleich

    Der Flächeninhalt unter dem Sinusbogen ist

    Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .


Lösung

Durch Umnummerieren kann man erreichen. Es sei die Gleichung

(mit ) und die Gleichung

Dann hat die Gleichung

die Gestalt

in der nicht mehr vorkommt. Wegen sind die Gleichungssysteme äquivalent.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig in sind.


Lösung

Es seien und Basen von bzw. und es seien die Spaltenvektoren von . Die Abbildung hat die Eigenschaft

wobei der -te Eintrag des -ten Spaltenvektors ist. Daher ist

Dies ist genau dann , wenn für alle ist, und dies ist äquivalent zu

Dafür gibt es ein nichttriviales (Lösungs-)Tupel genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn nicht injektiv ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Es seien und quadratische Matrizen über einem Körper . Zeige


Lösung

Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.


Lösung

Sei und sei eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch zu einer Basis von ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt

Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe 26.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) gleich , so dass die algebraische Vielfachheit mindestens ist.