Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/T2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 3 6 4 4 5 3 3 4 5 2 4 5 4 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Exponentialreihe für .
  2. Der Tangens.
  3. Die Differenzierbarkeit einer Abbildung
    in einem Punkt .
  4. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
  5. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  6. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .


Lösung

  1. Für jedes heißt die Reihe

    die Exponentialreihe in .

  2. Die Funktion

    heißt Tangens.

  3. Die Funktion heißt differenzierbar in , wenn der Limes

    existiert.

  4. Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Die Kreiszahl ist definiert durch
  5. Das Polynom

    heißt das Taylor-Polynom vom Grad zu in .

  6. Eine Funktion

    heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

    von gibt derart, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
  2. Die Kettenregel für differenzierbare Funktionen .
  3. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


Lösung

  1. Für reelle Zahlen gilt
  2. Seien

    Teilmengen und seien

    und

    Funktionen mit . Es sei in differenzierbar und sei in differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

    in differenzierbar mit der Ableitung

  3. Sei und sei

    eine stetige, auf differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein mit


Aufgabe (2 Punkte)

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

gilt und . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen und geben, also eine Zahl mit . Es ist doch aber stets .“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?


Lösung

Die Funktion ist im Nullpunkt nicht definiert, den Zwischenwertsatz kann man nur für stetige Funktionen anwenden, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Lösung

Es ist und , es muss also nach Korollar 11.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)) eine Nullstelle im Intervall geben. Wir berechnen den Funktionswert an der Intervallmitte und erhalten

Wir müssen also mit dem rechten Teilintervall weitermachen. Dessen Intervallmitte ist . Der Funktionswert an dieser Stelle ist

Jetzt müssen wir mit dem linken Teilintervall weitermachen, dessen Mitte ist . Der Funktionswert an dieser Stelle ist

Somit wissen wir, dass es eine Nullstelle zwischen und gibt.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die folgende Aussage: Jede beschränkte Folge von reellen Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge (Satz von Bolzano-Weierstraß).


Lösung

Die Folge sei durch

beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist . Sei das -te Intervall bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften

In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element

mit . Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe 8.18 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)) gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl .


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Lösung

Wir behaupten die Abschätzungen

Um dies zu zeigen, weisen wir die Gültigkeit der Abschätzungen

nach. Diese gelten wegen

und


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.


Lösung

Die geometrische Reihe ist und die Exponentialreihe ist . Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen ergibt sich einfach dadurch, dass man jeden Summanden mit jedem Summanden multipliziert und gleiche Potenzen aufsummiert. Daher können die Potenzen etc. ignoriert werden und es ist

Das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der beiden Reihen ist also


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine Exponentialfunktion mit . Zu jedem definiert die Gerade durch die beiden Punkte und einen Schnittpunkt mit der -Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige

Skizziere die Situation.


Lösung

Aufgrund des Strahlensatzes muss die Beziehung

gelten. Wegen

folgt daraus

Umstellen ergibt

und

und schließlich

Somit ist auch

und daher ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

gegebenen Geraden.


Lösung

Der Einheitskreis ist durch

gegeben. Darin setzen wir

ein und erhalten

Also ist

und damit

Somit ist

Die Schnittpunkte sind also und .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


Lösung

Wir zeigen, dass die Reihe absolut konvergiert, woraus nach Satz 9.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)) die Konvergenz folgt. Wegen ist

Die Reihe konvergiert nach Beispiel 9.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)), so dass nach dem Majorantenkriterium konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.


Lösung Periodische Funktionen/Rationales Verhältnis der Längen/Summe ist periodisch/Abstand/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über die Beziehung


Lösung

Für ist nach der Kettenregel

Zum Induktionsschluss sei die Aussage für Funktionen schon bewiesen, und seien Funktionen gegeben. Dann ist aufgrund der Produktregel und der Induktionsvoraussetzung


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Lösung

a) Es ist

b) Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.


Lösung

Die Ableitung ist ein Polynom vom Grad . Dieses besitzt nach Korollar 6.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)) höchstens Nullstellen. Nach Fakt ***** besitzt daher höchstens lokale Extrema. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen der Ableitung und auch unterhalb der kleinsten und oberhalb der größten Nullstelle ist die Ableitung entweder echt positiv oder echt negativ. Wenn wir stets benachbarte Intervalle zusammenlegen, auf denen die Ableitung jeweils positiv oder jeweils negativ ist, so erhalten wir eine Zerlegung von in Intervalle, auf denen die Ableitung positiv oder negativ mit eventuell endlich vielen Ausnahmepunkten ist, und positiv und negativ wechseln sich ab. In diesen Intervallen ist dann nach Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)) streng wachsend oder streng fallend.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.


Lösung

Da die Exponentialfunktion keine Nullstelle besitzt, liegt nur bei , also bei eine Nullstelle vor. Unterhalb davon ist die Funktion negativ, oberhalb davon positiv.

Zur Bestimmung der lokalen Extrema leiten wir ab, was zu

führt. Die Nullstellenbestimmung der Ableitung führt auf

Quadratisches Ergänzen führt zu

bzw.

Also ist

und somit

Für ist die Ableitung negativ, für mit ist sie positiv und für wieder negativ. Daher ist die Funktion unterhalb von streng fallend, zwischen und streng wachsend und oberhalb von wieder streng fallend. Daher liegt in ein isoliertes lokales Minimum und in ein isoliertes lokales Maximum vor. Da es sonst keine lokalen Extrema gibt, und die Funktion für wächst, aber negativ bleibt, und für fällt, aber positiv bleibt, sind dies auch globale Extrema.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert von

im Punkt , und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.


Lösung

a) Durch Polynomdivision erhält man und . Daher ist

Daher ist

b) Die Ableitungen sind und , die beide für keine Nullstelle besitzen. Nach der Regel von l'Hospital ist daher


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad zur Funktion

im Entwicklungspunkt .


Lösung

Es ist

Es ist

und daher ist

Es ist

und daher ist

Es ist

und daher ist

Das Taylor-Polynom vom Grad in ist somit