Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesung 20/kontrolle

Höhere Ableitungen

Die Ableitung $f^{'}$ einer (in jedem Punkt) differenzierbaren Funktion nennt man häufig auch die erste Ableitung von $f$ . Unter der nullten Ableitung versteht man die Funktion selbst. Höhere Ableitungen werden rekursiv definiert.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei $I \subseteq ℝ$ ein Intervall und sei

f : I ⟶ ℝ

eine Funktion. Die Funktion $f$ heißt $n$ -mal differenzierbar, wenn sie $(n - 1)$ -mal differenzierbar ist und die $(n - 1)$ -te Ableitung, also $f^{(n - 1)}$ , differenzierbar ist. Die Ableitung

f^{(n)} (x) := (f^{(n - 1)})^{'} (x)

nennt man dann die $n$ -te Ableitung von $f$ .

Die zweite Ableitung schreibt man auch als $f^{''}$ , die dritte Ableitung als $f^{'''}$ . Wenn eine Funktion $n$ -mal differenzierbar ist, so sagt man auch, dass die Ableitungen bis zur $n$ -ten Ordnung existieren. Eine Funktion $f$ heißt unendlich oft differenzierbar, wenn sie $n$ -mal differenzierbar ist für jedes $n$ .

Eine differenzierbare Funktion ist stetig, allerdings muss die Ableitung keineswegs stetig sein. Daher ist der folgende Begriff nicht überflüssig.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei $I \subseteq ℝ$ ein Intervall und

f : I ⟶ ℝ

eine Funktion. Man sagt, dass $f$ stetig differenzierbar ist, wenn $f$ differenzierbar ist und die Ableitung $f^{'}$ stetig ist.

Eine Funktion heißt $n$ -mal stetig differenzierbar, wenn sie $n$ -mal differenzierbar ist und die $n$ -te Ableitung stetig ist.

Extrema von Funktionen

Wir untersuchen jetzt mit Mitteln der Differentialrechnung, wann eine differenzierbare Funktion

f : I ⟶ ℝ,

wobei $I \subseteq ℝ$ ein Intervall ist, (lokale) Extrema besitzt und wie ihr Wachstumsverhalten aussieht.

Satz Satz 20.3 ändern

Es sei

f :] a, b [⟶ ℝ

eine Funktion, die in $c \in] a, b [$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei.

Dann ist $f^{'} (c) = 0$ .

Beweis

Wir können annehmen, dass $f$ ein lokales Maximum in $c$ besitzt. Es gibt also ein $ϵ > 0$ mit $f (x) \leq f (c)$ für alle $x \in [c - ϵ, c + ϵ]$ . Es sei ${(s_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Folge mit $c - ϵ \leq s_{n} < c$ , die gegen $c$ („von unten“) konvergiere. Dann ist $s_{n} - c < 0$ und $f (s_{n}) - f (c) \leq 0$ und somit ist der Differenzenquotient

\frac{f (s_{n}) - f (c)}{s_{n} - c} \geq 0,

was sich dann nach Lemma 12.10 auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist $f^{'} (c) \geq 0$ . Für eine Folge ${(t_{n})}_{n \in ℕ}$ mit $c + ϵ \geq t_{n} > c$ gilt andererseits

\frac{f (t_{n}) - f (c)}{t_{n} - c} \leq 0 .

Daher ist auch $f^{'} (c) \leq 0$ und somit ist insgesamt $f^{'} (c) = 0$ .

◻

Man beachte, dass das Verschwinden der Ableitung nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für die Existenz eines Extremums ist. Das einfachste Beispiel für dieses Phänomen ist die Funktion $ℝ ⟶ ℝ$ , $x ⟼ x^{3}$ , die streng wachsend ist, deren Ableitung aber im Nullpunkt verschwindet.

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Der folgende Satz heißt Satz von Rolle.

Satz Satz 20.4 ändern

Es sei $a < b$ und sei

f : [a, b] ⟶ ℝ

eine stetige, auf $] a, b [$ differenzierbare Funktion mit $f (a) = f (b)$ .

Dann gibt es ein $c \in] a, b [$ mit

$f^{'} (c) = 0 .$

Beweis

Wenn $f$ konstant ist, so ist die Aussage richtig. Es sei also $f$ nicht konstant. Dann gibt es ein $x \in] a, b [$ mit $f (x) \neq f (a) = f (b)$ . Sagen wir, dass $f (x)$ größer als dieser Wert ist. Aufgrund von Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es ein $c \in [a, b]$ , wo die Funktion ihr Maximum annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses $c$ ist dann $f^{'} (c) = 0$ nach Satz 20.3.

◻

Der folgende Satz, der direkt aus dem Satz von Rolle folgt, heißt Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Satz Satz 20.5 ändern

Es sei $a < b$ und sei

f : [a, b] ⟶ ℝ

eine stetige, auf $] a, b [$ differenzierbare Funktion.

Dann gibt es ein $c \in] a, b [$ mit

$f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} .$

Beweis

Wir betrachten die Hilfsfunktion

g : [a, b] ⟶ ℝ, x ⟼ g (x) := f (x) - \frac{f (b) - f (a)}{b - a} (x - a) .

Diese Funktion ist ebenfalls stetig und in $] a, b [$ differenzierbar. Ferner ist $g (a) = f (a)$ und

g (b) = f (b) - (f (b) - f (a)) = f (a) .

Daher erfüllt $g$ die Voraussetzungen von Satz 20.4 und somit gibt es ein $c \in] a, b [$ mit $g^{'} (c) = 0$ . Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also

f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} .

◻

Korollar Korollar 20.6 ändern

Es sei

f :] a, b [⟶ ℝ

eine differenzierbare Funktion mit $f^{'} (x) = 0$ für alle $x \in] a, b [$ .

Dann ist $f$ konstant.

Beweis

Wenn $f$ nicht konstant ist, so gibt es $x < x^{'}$ mit $f (x) \neq f (x^{'})$ . Dann gibt es aufgrund von Satz 20.5 ein $c$ , $x < c < x^{'}$ , mit $f^{'} (c) = \frac{f (x^{'}) - f (x)}{x^{'} - x} \neq 0$ , ein Widerspruch zur Voraussetzung.

◻

Satz Satz 20.7 ändern

Es sei $I \subseteq ℝ$ ein offenes Intervall und

f : I ⟶ ℝ

eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

Die Funktion $f$ ist genau dann auf $I$ wachsend (bzw. fallend), wenn $f^{'} (x) \geq 0$ (bzw. $f^{'} (x) \leq 0$ ) für alle $x \in I$ ist.

Wenn $f^{'} (x) \geq 0$ für alle $x \in I$ ist und $f^{'}$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist $f$ streng wachsend.

Wenn $f^{'} (x) \leq 0$ für alle $x \in I$ ist und $f^{'}$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist $f$ streng fallend.

Beweis

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn $f$ wachsend ist, und $x \in I$ ist, so gilt für den Differenzenquotienten

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} \geq 0

für jedes $h$ mit $x + h \in I$ . Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert für $h \to 0$ , und dieser ist $f^{'} (x)$ .
Es sei umgekehrt die Ableitung $\geq 0$ . Nehmen wir an, dass es zwei Punkte $x < x^{'}$ in $I$ mit $f (x) > f (x^{'})$ gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein $c$ mit $x < c < x^{'}$ mit

f^{'} (c) = \frac{f (x^{'}) - f (x)}{x^{'} - x} < 0

im Widerspruch zur Voraussetzung.

(2). Es sei nun $f^{'} (x) > 0$ mit nur endlich vielen Ausnahmen. Angenommen es wäre $f (x) = f (x^{'})$ für zwei Punkte $x < x^{'}$ . Da $f$ nach dem ersten Teil wachsend ist, ist $f$ auf dem Intervall $[x, x^{'}]$ konstant. Somit ist $f^{'} = 0$ auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass $f^{'}$ nur endlich viele Nullstellen besitzt.

◻

Korollar Referenznummer erstellen

Eine reelle Polynomfunktion

f : ℝ ⟶ ℝ

vom Grad $d \geq 1$ besitzt maximal $d - 1$ lokale Extrema, und die reellen Zahlen lassen sich in maximal $d$ Intervalle unterteilen, auf denen abwechselnd $f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 20.6.

◻

Der zweite Mittelwertsatz und die Regel von l'Hospital

Die folgende Aussage heißt auch zweiter Mittelwertsatz.

Satz Satz 20.9 ändern

Es sei $b > a$ und seien

f, g : [a, b] ⟶ ℝ

stetige, auf $] a, b [$ differenzierbare Funktionen mit

g^{'} (x) \neq 0

für alle $x \in] a, b [$ .

Dann ist $g (b) \neq g (a)$ und es gibt ein $c \in] a, b [$ mit

$\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f^{'} (c)}{g^{'} (c)} .$

Beweis

Die Aussage

g (a) \neq g (b)

folgt aus Satz 20.4. Wir betrachten die Hilfsfunktion

h (x) := f (x) - \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} g (x) .

Es ist

\begin{matrix} h (a) & = f (a) - \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} g (a) \\ = \frac{f (a) g (b) - f (a) g (a) - f (b) g (a) + f (a) g (a)}{g (b) - g (a)} \\ = \frac{f (a) g (b) - f (b) g (a)}{g (b) - g (a)} \\ = \frac{f (b) g (b) - f (b) g (a) - f (b) g (b) + f (a) g (b)}{g (b) - g (a)} \\ = f (b) - \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} g (b) \\ = h (b) . \end{matrix}

Also ist $h (a) = h (b)$ und Satz 20.4 liefert die Existenz eines $c \in] a, b [$ mit

h^{'} (c) = 0 .

Umstellen ergibt die Behauptung.

◻

Zur Berechnung von Grenzwerten einer Funktion, die als Quotient gegeben ist, ist die folgende Regel von l'Hospital hilfreich.

Korollar Referenznummer erstellen

Es sei $I \subseteq ℝ$ ein offenes Intervall und $a \in I$ ein Punkt. Es seien

f, g : I ⟶ ℝ

stetige Funktionen, die auf $I ∖ {a}$ differenzierbar seien mit $f (a) = g (a) = 0$ und mit $g^{'} (x) \neq 0$ für $x \neq a$ . Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert

w := \lim_{x \in I ∖ {a}, x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

existiert.

Dann existiert auch der Grenzwert

$\lim_{x \in I ∖ {a}, x \to a} \frac{f (x)}{g (x)},$

und sein Wert ist ebenfalls $w$ .

Beweis

Da $g^{'}$ im Intervall keine Nullstelle besitzt und $g (a) = 0$ ist, besitzt auch $g$ nach Satz 20.4 außer $a$ keine Nullstelle. Es sei ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Folge in $I ∖ {a}$ , die gegen $a$ konvergiert. Zu jedem $x_{n}$ gibt es nach Satz 20.9, angewandt auf $I_{n} := [x_{n}, a]$ bzw. $[a, x_{n}]$ , ein $c_{n}$ (im Innern^[1] von $I_{n}$ ) mit

\frac{f (x_{n}) - f (a)}{g (x_{n}) - g (a)} = \frac{f^{'} (c_{n})}{g^{'} (c_{n})} .

Die Folge ${(c_{n})}_{n \in ℕ}$ konvergiert ebenfalls gegen $a$ , sodass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen $\frac{f^{'} (a)}{g^{'} (a)} = w$ konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen $w$ , und wegen $f (a) = g (a) = 0$ bedeutet das, dass $\frac{f (x_{n})}{g (x_{n})}$ gegen $w$ konvergiert.